ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИНИТНО-ВРЕМЕННОГО МЕТОДА ОЦЕНКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ

В работе рассмотрена задача прогнозирования навигационных параметров самолета для повышения безопасности полета, что является актуальным на сегодняшний день. В качестве навигационного параметра выбрана высота полета. При управлении самолетом необходимо знать, какая высота будет через некоторое время, так как изменение высоты или выход из эшелона влияет на жизненные параметры. Поэтому важно определить прогноз высоты и сделать его оптимальным.

В данной работе проведено сравнение комплексного оптимально-инвариантного финитно-временного метода оценки высоты с комплексным оптимально-инвариантным методом Калмана по точности. Также проведен анализ на робастность и помехозащищенность.

Прогнозирование высоты полета выполнено путем комплексирования системы с помощью фильтра разностного сигнала. Для комплексирования используются барометрический высотомер и радиотехнический.

На вход фильтра разностного сигнала подан сигнал:

,

где i = 1…N, N – количество измерений,  – погрешность барометрического высотомера,  – погрешность радиотехнического высотомера.

Моделью погрешности барометрического высотомера является стационарный случайный процесс с данной корреляционной функцией:

,

где i, j = 1…N,  – среднеквадратическое отклонение полезного сигнала, d – дискрет. Моделью погрешности радиотехнического высотомера является белый шум со следующей корреляционной функцией:

,

где i, j = 1…N,  – среднеквадратическое отклонение белого шума,  – дельта-функция.

При моделировании использованы следующие исходные данные:

- объем выборки N = 4000;

- среднеквадратическое отклонение полезного сигнала ;

- среднеквадратическое отклонение белого шума ;

- память финитно-временной обработки r1 = 5;

- дискрет d = 5; по теореме Котельникова дискрет не должен превышать значения 24 при значении α = 0,01:

.

Математическая формула для оптимального прогноза определена по теореме Дуба [1], в которой оптимальный прогноз определяется как условное математическое ожидание:

,

где  – оптимальная оценка, X – сигнал, Y – наблюдаемый сигнал.

Для прогнозирования показаний измерителей использован финитно-временной метод, основанный на следствии теоремы ортогонального проецирования (теорема Пугачева) [1]:

,

где  – оптимальная матрица по критерию среднего квадрата ошибки оценки,– матрица корреляционных моментов размерностью r1 x r1, r1 – память финитно-временного фильтра, – матрица корреляционных моментов погрешностей высотомеров размерностью r1 x r1:

.

Оптимальная оценка погрешности барометрического высотомера определена по формуле:

,

где  – вектор измерений размерностью r1 x 1.

Рассмотрено два вида прогнозирования: на текущий интервал времени и на бесконечный. Проведено сравнение финитно-временной обработки и метода Калмана по дисперсиям ошибок оценок (рисунки 1, 2).

Рисунок 1. Зависимость дисперсий финитно-временного метода (DOshOc_Xr1) и метода Калмана (DOshOc_k) от текущего интервала времени

Рисунок 2. Зависимость дисперсий финитно-временного метода (DOshOc_Xi) и метода Калмана (DOshOc_ki) от бесконечного интервала времени

Из рисунков видно, что финитно-временная обработка уступает по точности методу Калмана. При заданных исходных данных (N = 4000; α = 0,01; ; ;

r1 = 5; d = 5) по окончании выборки дисперсия ошибки оценки метода Калмана лучше финитно-временного метода в 1,1 раза при моделировании прогноза на бесконечный интервал времени. При моделировании прогноза на текущий интервал времени (T = 250 с) дисперсия ошибки оценки метода Калмана лучше финитно-временного метода в 1,4 раза.

Проведено моделирование на робастность и помехозащищенность. Диапазоны изменения данных: = 1…8; α = 0,02…0,1; r1 = 2…8. Результаты проверки представлены ниже.

Рисунок 3. Зависимость дисперсий финитно-временного метода и метода Калмана от изменения параметра α (робастность)

Рисунок 4. Зависимость дисперсий финитно-временного метода и метода Калмана от изменения параметра SIG0 (помехозащищенность)

Рисунок 5. Зависимость дисперсий финитно-временного метода и метода Калмана от изменения параметра r1

Как видно, финитно-временная обработка менее робастна, но более помехоустойчива к изменению параметров, чем метод Калмана. При увеличении памяти финитно-временного метода его дисперсия стремится к дисперсии метода Калмана.

В результате проделанной работы было показано, что финитно-временная обработка уступает по точности методу Калмана, но при этом имеет ряд преимуществ:

- более простой математический аппарат;

- более универсальная обработка;

- путем увеличения памяти фильтра можно достичь приближения финитно-временного метода к фильтру Калмана.

Список литературы:

1. Иванов, Ю.П. Информационно-статистическая теория измерений [Текст]/ Ю.П. Иванов, В.Г. Никитин. – СПб: ГУАП, 2011. 104 с.
2. Иванов, Ю.П, Бирюков Б.Л. Информационно-статистическая теория измерений. Модели сигналов и анализ точности систем [Текст]/ Ю.П Иванов, Б.Л. Бирюков. – СПб: ГУАП, 2008. 160 с.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974. Вып. 1, 2.