ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ЭНЕРГЕТИКИ

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются основные теоремы и методы теории вероятностей, применяемые к случайным событиям в энергетике. На реальных и приближенных примерах показывается актуальность и удобство использования соответствующих формул.

Ключевые слова: случайное событие, вероятность, формула, энергетика, теория вероятностей, независимые события, зависимые события.

Современная энергетика, как и многие другие области человеческой деятельности, порой невозможна без своевременного прогнозирования и учета, позволяющего определить риски и возможные потери, скорректировать условия эксплуатации и, в целом, оптимизировать работу системы. Большая роль в этом отводится методам математической статистики. Статистика как один из разделов теории вероятности, с применением соответствующих законов и теорем, позволяет сделать это максимально эффективно.

Как известно, теория вероятностей изучает закономерности случайных событий, величин и функций. При этом, основным, разумеется, является понятие случайного события. Рассмотрим теорию вероятностей случайных событий и их примеры в энергетике.

Случайные события

Случайным называется событие, которое в результате опыта может произойти либо не произойти. Что дает нам основание считать то или иное событие случайным?

Лишь опыт и наблюдения позволяют сказать нам, является ли случайным событие или нет. При этом число опытов должно быть достаточно большим для того, чтобы безошибочно определить характер события.

Возникает вопрос, закономерны ли случайные события? На первый взгляд, два этих понятия взаимно исключают друг друга, но на самом деле между ними существует связь.

Статистически было подмечено, что если опыт повторять много раз при одних и тех же условиях, то относительная частота возникновения события, т. е. отношение числа опытов, в результате которых событие происходит, к общему числу опытов, начнет колебаться около некоторой постоянной величины. Когда эти колебания достаточно устойчивы, возникает основание считать, что эта величина выражает объективную возможность возникновения данного события. Она называется вероятностью события. Устойчивость колебаний возникает лишь при большом количестве опытов, что очень важно, поскольку в противном случае присутствует риск отнести то или иное случайное событие к достоверным, или же вовсе сказать, что оно невозможно.

Как и в других областях человеческой деятельности, случайные события происходят и в энергетике. Энергетические системы объединяют в себе большое число различных устройств. Какие-то из них могут быть, например, включенными или выключенными. Какое-то может выйти из строя в результате аварии. Следствием наложения множества таких случайных событий является непредсказуемость всей энергосистемы в целом. Лишь знание о вероятностных характеристиках работы тех или иных компонентов позволяет грамотно оценить ее надежность и эффективность.

Возможны два метода определения вероятности случайного события: классический и статистический.

В классическом методе рассматривается совокупность явлений, образующих полную группу попарно несовместимых и равновероятных случайных событий. Очевидно, в реальных условиях трудно найти реальные примеры таких событий, поэтому чаще всего используется статистический метод. Данный метод опирается на данные, накопленные в ходе длительных опытов и наблюдений. Статистика – дисциплина, изучающая законы обработки информации, является одним из разделов теории вероятностей, и отсюда следует, что данный метод нельзя использовать без применения соответствующих теорем и формул.

Случайные события, как известно, могут быть независимыми и зависимыми. Среди первых в энергетике чаще всего приходится рассматривать вероятности не простых случайных событий, а сложных, являющихся комбинациями ряда простых.

При рассмотрении сложных энергетических систем существует необходимость определения вероятности изменения рабочего состояния одного, двух, трех и более элементов. Также иногда необходимо знать вероятность успешной работы системы, поскольку этот параметр характеризует ее эффективность.

Рассмотрим примеры нахождения вероятностей независимых событий.

Пример 1. Определить вероятность выхода из строя энергетического блока ТЭЦ, состоящего из последовательно соединенных турбины низкого давления (ТНД), генератора (Г) и трансформатора (Т) если известны вероятности их повреждения: P(ТНД)=0.001,  P(Г)=0.002 и P(Т)=0.03.

Событием A будем считать выход блока из строя. Очевидно, что событие A может наступить по одной из семи гипотез: три гипотезы, когда выйдет из строя один из элементов; три гипотезы, когда выйдут из строя генератор и котел, котел и турбина, генератор и турбина; когда выйдут из строя все три элемента. В таком случае вероятность события A будет находиться как сумма вероятностей наступления всех семи гипотез. Вместе с тем, нетрудно заметить, что событие A является противоположным событию , когда блок работает исправно. В таком случае:

,

отсюда

.

При большом количестве одинаковых агрегатов в системе, либо большом числе количестве однотипных независимых испытаний оборудования, что актуально для заводских проб и обкаток, удобна биноминальная формула вероятности (Схема Бернулли) вида:

.

При большом числе однотипных испытаний возможно два исхода – событие либо происходит, либо не происходит. Возникает потребность в обозначении противоположного исхода. Будем обозначать его как «q». Вероятность события q равна:

.

Рассмотрим примеры использования схемы Бернулли.

Пример 2. На Биробиджанском заводе силовых трансформаторов проводят приемо-сдаточные испытания. Известно, что вероятность обнаружения дефекта у нового оборудования составляет 0.06. Найти вероятность того, что из 8 трансформаторов дефект будет обнаружен у 2.

По схеме Бернулли имеем:

.

Если же число испытаний n стремится к бесконечности, использование формулы биноминального распределения становится неудобным, так как требует больших вычислений. В таком случае целесообразно использовать локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой вероятность того, что при n числе независимых испытаний событие А произойдет m раз, приближенно равна:

где

.

Рассмотрим теорию вероятностей зависимых случайных событий.

Зависимые события – это события, в которых наступление одного изменяет вероятность наступления другого. Для оценки этой вероятности вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события A по B называют вероятность события A, если происходит событие B. Обозначается P(A/B) и находится как:

отсюда же:

Взаимосвязанными событиями в энергетике, например, являются повреждения фаз в трехфазной системе питания. При повреждении одной из фаз в линии с незаземленной нейтралью, напряжение на соседних фазах повышается в  раз, что существенно повышает вероятность их короткого замыкания. Но даже если нейтраль заземлена, ионизация воздуха вокруг проводов при КЗ также существенно повышает риск повреждения соседних фаз. Также существуют и другие примеры взаимосвязанных событий.

Пример 3. Блок резервного питания подстанции состоит из 4-х аккумуляторов. Вероятность повреждения одного аккумулятора составляет 0.01, при этом известно, что повреждение одного из аккумуляторов увеличивает вероятность повреждения остальных трех до 0.05. Если же повреждаются два аккумулятора, вероятность выхода из строя остальных двух возрастает до 0.1. Если же во всем блоке останется всего один рабочий аккумулятор, он будет бесперебойно работать с вероятностью 0.55. Найти вероятность того, что весь блок аккумуляторов выйдет из строя.

Пусть событие A – повреждение одного аккумулятора. P(A) = 0.01. Пусть B – повреждение второго аккумулятора, не важно какого именно. P(B/A) = 0.005. Пусть C – повреждение третьего аккумулятора, также не важного какого именно. P(C/BA) = 0.01. И пусть D – повреждение четвертого аккумулятора. P(D/CBA) = 1 – 0.92 = 0.45. В таком случае:

Вероятность повреждения двух аккумуляторов составляет:

Вероятность повреждения трех аккумуляторов:

Вероятность того, что весь блок выйдет из строя:

.

Таким образом, в данной работе мы познакомились с основными теоремами и методами теории вероятностей, применяемыми к случайным событиям в энергетике. Рассмотрели примеры независимых и зависимых случайных событий, возникающих в энергетике. Убедились в простоте и удобстве использования формул.

Список литературы:

1. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. – 2-е. изд., стер. - М.: Наука, 1973. - 831 с.: ил.
2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
3. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М.: «Высш. школа», 1977., 479 с.