ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ЗАДАЧАХ ЭНЕРГЕТИКИ

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается применение теории вероятностей в энергетике к случайным величинам. Данная тема является довольно актуальной, логические продолжает тему применения теории вероятностей к случайным событиям, рассмотренную в работе под названием «Основы применения теории вероятностей в задачах энергетики». Приводятся реальные и приближенные к реальным, примеры использования случайных величин в энергетике.

Ключевые слова: случайная величина, математическое ожидание, дисперсия, вероятность, событие, распределение.

Случайная величина, как и случайное событие, является достаточно актуальным понятием в энергетике. Более того, поскольку зачастую каждому случайному событию можно поставить в соответствие некоторую случайную величину, которая его характеризует, необходимость обработки соответствующей информации только возрастает. Прежде чем приступить к рассмотрению типовых примеров использования случайных величин в энергетике, кратко дадим определение того, что такое случайная величина.

Итак, случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принимать различные значения. Примеры случайных величин в энергетике – отклонения от номинальной мощности, напор на гидроэлектростанции, число потребителей в энергосистеме и т. д.

Случайная величина может быть либо дискретной, либо непрерывной. Дискретной называется величина, которая принимает только разрозненные значения, например, число срабатываний аварийной защиты за какой-то промежуток времени. Непрерывная же величина даже в ограниченном интервале может изменяться непрерывно, т. е. иметь бесконечно большое число значений. Для дискретных случайных величин распределение их вероятностей может быть удобно задано в виде таблиц распределения, в которых в верхней строке указываются возможные значения случайной величины, а в нижней – соответствующие им значения вероятностей. При этом, если величина всегда принимает одно из случайных значений, суммарная вероятность должна равняться единице.

Пример 1. На подстанции 220 кВ Русская имеется два трансформатора. Вероятность аварийного выхода трансформатора из строя равна 0.04. Рассчитать вероятности всех возможных исходов в результате развития аварии.

За p будем считать вероятность выхода из строя трансформатора. p = 0.04. За q будем считать вероятность рабочего состояния трансформатора. q = 0.96. Случайной величиной m будем считать число трансформаторов, вышедших в аварию. m может принимать значения: 0, 1, 2. При этом имеется 3 попарно несовместимых события, образующих полную группу. Используя схему Бернулли, рассчитаем вероятности этих событий.

;

;

.

Соответствующая таблица распределения будет выглядеть следующим образом:

Таблица 1

Распределение вероятностей

Сумма вероятностей равна единице.

Для непрерывной случайной величины распределение вероятностей не удобно задавать в виде таблицы, поскольку даже на ограниченном интервале она имеет бесконечное число значений. Поэтому для непрерывных случайных величин находят вероятности их попадания в интервал, а не в точку.

Для количественной оценки вероятностей любой случайной величины используется понятие функции распределения F(x). Функция распределения показывает вероятность того, что случайная величина будет иметь значение меньше, чем аргумент функции x:

.

Для условий примера 1 имеем: F(0)= 0; F(1)= 0.9216; F(2)= 0.9984; F(+∞)=1.

Для непрерывных случайных величин также используется понятие плотности распределения вероятности:

.

По заданной формуле для распределения F(x) можно также найти вероятность попадания случайной величины в интервал (x₁, x₂), где x₁<x₂, достаточно взять разность функций распределения для этих значений случайной величины:

.

В энергетике в основном используются случайные величины со следующими распределениями вероятностей: нормальное, биноминальное, по закону Пуассона, равномерное, простейшее.

Иногда из-за отсутствия статистических материалов не всегда можно задать функции распределения. Порой это и не нужно. Достаточно лишь знать основные числовые характеристики случайных величин, такие как математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Математическое ожидание представляет собой реальное среднее значение случайной величины, которое, в отличие от простого среднего значения, учитывает ее возможные вероятности. Математическое ожидание вычисляется по формулам:

Для дискретной случайной величины

,

для непрерывной случайной величины

где  – плотность вероятности.

Рассмотрим примеры.

Пример 2. Пусть в энергосистеме возможны энергетические потери: 30, 100 и 200 МВт, причем их вероятности соответственно равны 0.003, 0.001 и 0.0002. Рассчитать математическое ожидание недопуска энергии за один год.

По формуле для математического ожидания дискретной случайной величины имеем:

.

Но в том случае, когда разброс значений случайной величины слишком большой, одного математического ожидания становится недостаточно для полной характеристики энергетических процессов. В связи с этим также вводится понятие дисперсии, как меры отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия выражается по формуле:

.

Для дискретной случайной величины:

,

для непрерывной случайной величины:

Квадратный корень из величины дисперсии называется среднеквадратичным или стандартным отклонением случайной величины:

Как уже говорилось выше, нормальное распределение широко используется в энергетике при работе со случайными величинами. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 3. Среднесуточная минимальная нагрузка в энергосистеме равна 1500 МВт. Примем, что отклонения суточных минимумов в данной энергосистеме подчинены закону нормального распределения с известными нам числовыми характеристиками. Требуется найти вероятность того, что суточный минимум будет колебаться в пределах 1300-1550 МВт. Известно, что дисперсия D[x]=2500.

Воспользуемся выражением для вероятности попадания случайной величины, подчиняющейся закону нормального распределения, в некоторый интервал [x₁; x₂):

где  – интеграл вероятности, M – математическое ожидание,  – среднеквадратическое отклонение.

M = 1500;  =  = 50. В таком случае имеем:

Таким образом, в данной работе мы познакомились с основными формулами и теоремами теории вероятностей, применяемыми к случайным величинам в энергетике. На реальных и приближенных примерах рассмотрели их использование в расчетах, выполняемых при решении задач по прогнозированию и оптимизации энергосистем.

Список литературы:

1. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. – 2-е. изд., стер. - М.: Наука, 1973. - 831 с.: ил.
2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
3. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977., 479 с.