СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИММЕТРИЧНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Цель

Провести спектральный анализ периодического сигнала s(t) (рис.1.1). Построить спектрограммы амплитуд и начальных фаз. Определить эффективную ширину спектра. Выполнить суммирование гармоник спектра. Исходные данные приведены в таблице 1.1. Для проведения расчетов воспользуемся пакетом математических прикладных программ «MathCAD»

1.2. Исходные данные

Рисунок 1.1— График периодических треугольных импульсов

Таблица 1.1.

Исходные данные

2. ХОД РАБОТЫ

 Воспользовавшись исходными данными, найдем длительность импульса и угловую частоту:

Зададим аналитическое выражение для сигнала s(t) на интервале времени, равном периоду T:

Построим график s(t):

Рисунок 2.1— График аналитически заданной функции  

Зададим количество гармоник:

Рассчитаем коэффициенты разложения:

Определим амплитуды и начальные фазы гармоник спектра:

Рассчитаем постоянную составляющую:

Построим спектрограммы амплитуд и начальных фаз:

Рисунок 2.2— Спектрограммы: Амплитуд (а) и Начальных фаз (б)

Представим спектр периодического сигнала  путем разложения его в гармонический ряд Фурье:

Проведём суммирование гармоник спектра с целью иллюстрации сходимости ряда Фурье к исходному сигналу. Рассмотрим этот процесс в динамике, увеличивая число гармоник до получения приемлемого результата:

а)б)

в) г)

Рисунок 2.3 — Графики   при N = 3(а),5(б),10(в),100(г)

Отметим, что при N = 100 ряд Фурье почти идентичен исходному сигналу. 

Определим эффективную ширину спектра, воспользовавшись энергетическим критерием. В соответствии с этим критерием эффективная ширина спектра периодического сигнала — это полоса частот, в пределах которой сосредоточено 90% средней мощности этого сигнала. Сначала определим среднюю мощность сигнала без учета мощности постоянной составляющей:

Средняя мощность, заключенная в составляющих спектра вплоть до N-ой гармоники, без учета мощности постоянной составляющей равна:

Найдем такое N, при котором:

Подбирая N, находим, что при N = 3:

Тогда эффективная ширина спектра будет равна:

Список литературы:

1. Гимпилевич Ю.Б. Сигналы и процессы в радиоэлектронике: Учеб. пособие / Ю.Б. Гимпилевич.— Севастополь: Изд-во СевГУ, 2018. — 248 с.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноровский. — М.: Дрофа, 2006. — 720 с.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. — М.: Высшая школа, 2005 — 464 с.