МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

MODELING OF ELECTRIC CIRCUITS BY USING SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS

Alexey Pichuev

student, Department of higher mathematics Far Eastern State Transport University,

Russia, Khabarovsk

Elena N. Muraya

supervisor, candidate of technical sciences assistant professor, Department of higher mathematics, Far Eastern State Transport University,

Russia, Khabarovsk

АННОТАЦИЯ

Основная цель работы показать применения математики в прикладных задачах с учетом прикладного пакета, в частности в электротехники. В статье рассмотрена задача по электрической цепи, создана модель данной расчёта токов с применением систем линейных алгебраических уравнений. В результате использование прикладной программы показано, что решение можно получить за доли секунд, получается быстрое и точное решение. Смоделировав алгоритм решения СЛАУ один раз, можно рассчитать не одну цепь.

ABSTRACT

The main goal of the work is to show the application of mathematics in applied problems, taking into account the application package, in particular in electrical engineering. The article considers the problem of the electrical circuit, creates a model of this calculation of currents using systems of linear algebraic equations. As a result, the use of an application program shows that a solution can be obtained in a fraction of a second; a quick and accurate solution is obtained. Having modeled the SLAE solution algorithm once, it is possible to calculate more than one circuit.

Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, электрическая цепь, ток.

Keywords: system of linear algebraic equations, electric circuit, current.

Некоторые физические структуры и феномены моделируются при помощи систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Большое количество инженерных задач изначально приводится к нелинейным моделям дискретизацией (например, методом конечных элементов), приводящей в итоге к СЛАУ. Итак, реальные задачи требуют разрешения СЛАУ напрямую или на вспомогательно.

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений

                                                     (1)

где:

 – количество уравнений;

 – количество неизвестных;

 – определяемые неизвестные;

 – коэффициенты;

 – свободные члены.

При допущении, что известны коэффициенты и свободные члены, СЛАУ принимают матричный вид

                                               (2)

Или короче

                                                                              (3)

где:

 – системная матрица;

 – колонка неизвестных;

 – колонка свободных членов.

Дописав справа к матрице  колонку свободных членов, получаем так называемую расширенную матрицу.

СЛАУ – это решение базовых задач линейной алгебры двумя способами: прямым и итерационным; каждый из методов имеет достоинства, недостатки и условия применимости.

Прямым методом получают точное решение системы, итерационными – приближенное к истинному, путем многократного выполнения некоторых шагов.

К прямым относятся методы:

· Гаусса;

· Гаусса-Жордана;

· Крамера (для квадратных матриц);

· матричный;

· прогонки (для трёхдиагональных матриц).

К итерационным относят методы:

· простой итерации;

· релаксации.

СЛАУ может иметь единственное или не иметь решения вовсе (в этом случае говорят, что система несовместна), а также бесконечное множество решений.

Теорема Кронекера-Капелли гласит: «Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу расширенной, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и более одного решения, если ранг меньше числа неизвестных».

Особое внимание обращается на квадратные системы линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений

(). Критерий совместности для формулируется так: если определитель матрицы  не равен 0, то решение СЛАУ существует и оно единственно, в противном случае решений нет или их бесконечное множество.

Задача расчета токов и напряжений в электрических цепях (рисунок 1) приводит к решению СЛАУ. Обычно сопротивления и ЭДС известны, а значения силы тока необходимо вычислить. Для решения таких задач применяются правила Кирхгофа – соотношения, выполняющиеся между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи постоянного или переменного тока.

Рисунок 1. Пример электрической цепи

Составляя СЛАУ электроцепи (см. рисунок 1), выбор направления токов по ветвям осуществляется в произвольном порядке (для узлов не обязательно наличие и втекающих, и вытекающих токов), обход контуров желательно однонаправленный.

Следуя первому правилу, получаем равенство узла 1

                                                                          (4)

Равенство узла 2 противоположно по знаку, но эти равенства линейно-зависимы, поэтому в СЛАУ добавляется только одно. В общем, при количестве  узлов, электроцепь представлена  уравнениями токов.

Цепь, содержащая  ветвей, представлена  уравнениями напряжений. Конгруэнтность направления тока и выбранного случайным образом направления обхода контуров, дает положительное падение напряжения, в обратном случае – отрицательное.

Обход контуров I и II против часовой стрелки приводит к видам равенств

                                                                           (5)

Прописываем следующее множество

                                                                         (6)

Если токи неизвестны, уравнение выглядит так

                                                               (7)

Матричный вид СЛАУ

                                                          (8)

Системы уравнений в большинстве случаев получаются громоздкими и содержат большие цифры. Поэтому предлагается для решения СЛАУ использовать один из пакетов прикладных программ Maple. Причем в Maple можно реализовать любой метод решения СЛАУ: непосредственное решение системы уравнений, матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса.

Создания модели с использованием пакета Maple происходит с помощью команд, либо запрограммировать алгоритм решения одной цепи с использованием языка данной прикладной программы. Приведем пример расчета тока с заданными параметрами (R₁=225, R₂=120, R₃=150, E₁=15, E₂=30) цепи с использованием программы Maple.

eqns:=[-I1+I2-I3=0,100*I1-200*I3=12,120*I2+200*I3=6];##создали систему

>

> AB:=genmatrix(eqns,[I1,I2,I3],flag);###создали расширенную матрицу сиcтемы

> A:=delcols(AB,4..4);## создали матрицу, состоящую из коэффициентов переменных

> ### создали матрицу столбец, состоящую из свободных членов

> ### нашли обратную матрицу

> ### токи

> ## решение системы непосредственно

>

Если один или несколько токов получатся со знаком минус, то это будет означать, что реальное направление тока противоположно принятому направлению при составлении исходных уравнений.

Использование прикладной программы Maple показало, что решение можно получить за доли секунд, получается быстрое и точное решение. Смоделировав алгоритм решения СЛАУ в Maple один раз, можно рассчитать не одну цепь.

Список литературы:

1. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи [1] : учеб. пособие / Г. И. Атабеков.– 7-е изд., стер.– Санкт-Петербург : Лань, 2009.– 592 с.
2. Дьяконов В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании [3]: учебник/ В. П. Дьяконов. – М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 688 с.
3. Советов, Б. Я. Моделирование систем [4]: учеб. для академ. бакалавриата / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев; Санкт-Петербург. гос. электротехн. ун-т "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина).– 7-е изд.– Москва : Юрайт, 2016.– 343 с.
4. Шипачев, В. С. Высшая математика. Полный курс [5]: учеб. для бакалавров / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова.– 4-е изд., испр. и доп.– Москва : Юрайт, 2013.– 608 с.