ДИОФАНТОВЫЙ СИНТЕЗАТОР ЧАСТОТ

DIOPHANTINE FREQUENCY SYNTHESIS

Sergey Sapelko

postgraduate, department I9 BSTU «VOENMEH» named after D.F. Ustinov

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Диофантовый синтезатор частот – относительно новый метод построения синтезатора частот с малым дробным шагом сетки. Этот метод использует свойства и принципы целых положительных чисел и диофантовыхуравнений.

ABSTRACT

Diophantine synthesizer is a new method of synthesizer construction. This method uses the properties and principles of integer positive numerical and diophantine formulas.

Ключевые слова: синтезатор частот, фазовая автоподстройка частоты, малый шаг сетки.

Keywords: frequencysynthesis, phase-locked loops, fine-step.

Уровень технического развития позволяет создавать устройства малых размеров, не уступающих по функциональным возможностям своим аналогам больших размеров. Это стало возможным благодаря высокой степени развития многофункциональных микрокомпонентов, таких как микроконтроллеры и микропроцессоры. Несмотря на миниатюризированность и многофункциональность устройств, в их основе продолжают лежать основные базовые принципы радиотехники.

Радиотехнические системы в основном работают с радиосигналами с высокостабильными параметрами, такими как частота, фаза и т.д. Для качественной обработки таких сигналов необходимы устойчивые к различным дестабилизирующим воздействиям источники опорных сигналов различной частоты. Достаточно часто необходимо иметь несколько опорных сигналов различной частоты для работы одного устройства, так как не все микросхемы способны работать от одной и той же частоты. Для решения данной задачи применяются синтезаторы частоты (СЧ). Они способны преобразовывать сигнал опорного генератора в сигналы с необходимыми параметрами частоты.

Существует несколько методов синтеза частот, на основе которых строятся СЧ, а именно:

• прямой аналоговый синтез (DirectAnalogSynthesis, DAS) на основе структуры смеситель/фильтр/делитель, при котором выходная частота получается непосредственно из опорной частоты посредством операций смешения, фильтрации, умножения и деления;
• косвенный синтез на основе фазовой автоматической подстройки частоты (ФАПЧ, PhaseLockedLoop, PLL), при котором выходная частота формируется с помощью дополнительного генератора (чаще всего это генератор, управляемый напряжением (ГУН), охваченного петлей ФАПЧ;
• прямой цифровой синтез частоты (DirectDigitalSynthesis, DDS), при котором выходной сигнал синтезируется цифровыми методами;
• гибридный синтез, представляющий собой комбинацию нескольких методов, описанных выше.

Каждый из этих методов синтеза частот имеет преимущества и недостатки, следовательно, для каждого конкретного приложения нужно делать выбор, основанный на наиболее приемлемой комбинации компромиссов.

Одним из самых простых методов синтеза частот является косвенный синтез на основе ФАПЧ. Структура СЧ с ФАПЧ представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. структура СЧ с ФАПЧ

СЧ, основанные на данном методе, могут формировать практически любую частоту, независимо от частоты опорного генератора, что является одним из главных преимуществ данного метода. Однако у такихСЧ есть и недостатки. Например, у них ограничен шаг сетки. Это ограничение появляется из-за целочисленных коэффициентов деления Nи M. Однако, если использовать дробные коэффициенты деления, то шаг сетки становится меньше, но одновременно с этим увеличивается количество фазовых шумов.

Обеспечить малый шаг сетки без потери качества сигнала возможно с применением определенного подхода к построению СЧ с ФАПЧ и подбору коэффициентов деления. Синтезаторы, построенные с использованием данного подхода получили название диофантовые синтезаторы частот.

Диофантовый синтезатор частот (ДФС) – относительно новый метод построения СЧ с использованием ФАПЧ, который обеспечивает малый дробный шаг частотной сетки, низкие фазовые шумы с достаточно быстрым временем перестройки частоты. ДФС представляет собой две и более петли ФАПЧ с целочисленными коэффициентами, подобранными с помощью решения диофантовых линейных уравнений. Структурная схема такого СЧ представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. схема ДФС

Подбор коэффициентов в ДФС позволяет обеспечить дробный шаг сетки при использовании целочисленных делителей ФАПЧ. Ниже приведены основные утверждения и теоремы, на которых и основывается подбор коэффициентов и параметров в ДФС.

Утверждение 1: Если N₁, N₂, … N_kвзаимно попарно простые целые положительные числа, то

где gcd(x,y) – функция нахождения наибольшего общего делителя для аргументов функции.

Лемма 1: Пусть N₁, N₂, … N_kвзаимно попарно простые целые положительные числа. Тогда для каждого целого a существует kцелых чисел x, которые являются решением Диофантового уравнения

Теорема 1: Если N₁, N₂, … N_kвзаимно попарно простые целые положительные числа, тодля каждогоцелого aтакого, что

–N₁N₂…N_k≤a≤N₁N₂…N_kДиофантово уравнение (1) имеет решение

(x₁, x₂, … , x_k), где –N_i≤x_i≤N_iдля всех i=1, 2, … , k.

Лемма 2: Пусть (z₁, z₂, … , z_k) – решение Диофантового уравнения

Тогда решение (x₁, x₂, … , x_k) главного Диофантового уравнения 1 может быть найдено по следующему алгоритму:

• Еслиa=N₁N₂…N_k, то возьмем x₁=N₁и x_i =0для всех i=2, 3, … , k.
• Еслиa=-N₁N₂…N_k, то возьмем x₁=-N₁и x_i =0для всех i=2, 3, … , k.
• Если–N₁N₂…N_k≤a≤N₁N₂…N_k, то возьмем y_i=az_imodN_i дляi=1, 2, … , k и посчитаем

Наконец, положим x_i=y_i-N_i для i=1, 2, … , q и x_i=y_i для i=q+1, q+2, … , k

Теорема 2: Для ненулевых целых m₁, m₂и d, Диофантово уравнение m₁x₁+m₂x₂=dимеет решение тогда и только тогда, когда наименьшим общим делителем чисел m₁и m₂является d. Если решение существует, то оно может быть получено с помощью алгоритма Евклида.

Далее рассмотрим пример построения ДФС с постоянной выходной частотой. Для данного примера возьмем следующие исходные данные:

• Входная частота 10 МГц;
• Необходимая выходная частота 9.2857394 МГц;
• Шаг сетки 0.1 Гц.

Схема выбранной структуры ДФС представлена на рисунке 3.

Рисунок 3. Структура ДФС с постоянной частотой

Положим, что N₁ ≈ N₂ ≈ N₃, тогда Выберем три взаимно попарно простые целые положительные числа, находящиеся рядом с числом 464. N₁=512, N₂=495, N₃=397. Их произведение N₁N₂N₃=100615680. Таким образом, выходная частота где nлежит в диапазоне от -100615680 до 100615680. Наилучшее значение nдля получения заданной выходной частоты при заданной входной n=93429098.

Далее решаем Диофантово уравнение (1), где a=n=93429098.Решив это уравнение мы получаем следующий результат:

Следовательно выходная частота будет равна

Таким образом, мы получили дробный шаг сетки с использованием целых коэффициентов. Такой шаг сетки обеспечит высокую точность обработки сигналов, тем самым повысив вычислительную мощность систем цифровой обработки и радиотехнических систем.

Список литературы:

1.Теплов В.Ю. Методы синтеза частот./В.Ю. Теплов. - Казань.: Казанский университет, 2015 – 45 с.

2.[электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/4037207 (дата обращения 27.03.2020)

3.[электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/4623064 (дата обращения 29.03.2020)