ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАХОЖДЕНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ

При проектировании систем автоматизации наиболее важным вопросом является вопрос о работоспособности системы. Работоспособность связана с устойчивостью, т.е. если система устойчива, значит, она работоспособна, если неустойчива, то не работоспособна. Однако, существует ряд систем, которые находятся на границе устойчивости, такие системы при изменении ряда параметров (постоянных времени или коэффициентов передачи каких-либо устройств) можно привести в устойчивое состояние.

Определять устойчивость системы можно экспериментальным и аналитическим способами. При экспериментальном определении устойчивости необходимо иметь готовую систему, которая ранее была устойчивой (работоспособной) и подверглась  ремонту или модернизации. Однако этот  способ определения устойчивости может  быть применен только в случае, когда технологический процесс безопасен для природы и обслуживающего персонала (человека) и протекает достаточно медленно, чтобы при потере системой устойчивости у обслуживающего систему персонала было время для принятия решения об отключении оборудования, что при быстро текущем процессе сделать невозможно).

Аналитические методы определения устойчивости позволяют ответить на вопрос об устойчивости (работоспособности) системы управления на стадии разработки (проектирования).

В настоящее время достаточно большое количество систем управления технологическими процессами являются замкнутыми, т.е. имеющим  жесткую обратную связь. При проектировании таких систем актуальными становятся вопросы:

1) не потеряет ли устойчивость разомкнутая система после введения в нее обратной связи;

2) можно ли путем введения обратной связи получить работоспособную замкнутую систему в случае, когда разомкнутая система была неустойчива.

Ответить на эти вопросы помогают частотные критерии: критерий Найквиста и критерий  определения устойчивости по виду логарифмических частотных характеристик.

При использовании критерия Найквиста актуальной является информация о количестве «правых» корней характеристического полинома в случае неустойчивой разомкнутой системы. Такую информацию может дать критерий устойчивости Рауса, либо расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

При определении устойчивости по расположению корней характеристического управления свободное движение системы описывается однородным дифференциальным уравнением:

.                                                                     (1)

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия на устойчивость системы не влияет.

Решение уравнения (1) равно сумме:                               (2)

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий; p_k – корни характеристического уравнения .

Мнимая ось является границей устойчивости в плоскости корней. Если хотя бы один корень является «правым», то система будет неустойчивой. Если есть пара чисто мнимых корней, а все остальные корни «левые», то система находится на колебательной границе устойчивости. Если есть нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корней два, то система неустойчива [1]. Следовательно, системы у которых в характеристическом уравнении можно вынести за скобку р² являются неустойчивыми.

Если характеристическое уравнение системы имеет порядок выше третьего, то найти его корни затруднительно, т.к. отсутствуют формулы выражения корней через коэффициенты уравнений. Критерии Гурвица и Михайлова не позволяют определить количество «правых» корней характеристического уравнения. Критерий Рауса является достаточно простым способом определения устойчивости САУ высоких порядков, используя достаточно простой алгоритм. Однако при помощи данного критерия затруднительно определить нахождение системы на границе устойчивости: апериодической и колебательной.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения нахождения САУ на границе устойчивости (по критерию Рауса с использованием других критериев устойчивости).

1). По критерию Гурвица система находится на апериодической границе устойчивости, если а_п = 0. Как будет выглядеть таблица Рауса в этом случае? Рассмотрим уравнения для систем 3 и 4 порядка.

Для системы с характеристическим уравнением: :

Для системы с характеристическим уравнением: :

Сравнив полученные таблицы для двух частных случаев, можно сделать вывод: аналогичная картина будет и при более высоких степенях характеристического уравнения, следовательно, если в последней строке таблицы Рауса все коэффициенты нулевые, то такая система находится на апериодической границе устойчивости [2].

Для рассмотрения нахождения САУ на колебательной границе устойчивости по критерию Рауса рассмотрим следующий частный случай: характеристическое уравнение системы имеет вид: . Корни данного уравнения: , , . Для заполнения таблицы Рауса преобразуем заданное характеристическое уравнение и получаем: .

По данному выражению заполним таблицу.

При нахождении коэффициентов 5-ой строки таблицы, при определении строчного коэффициента  получаем деление на нуль ().

Отсюда можно сделать вывод: если в строке с номером n (в нашем случае n=4) появляются нули, то такая система находится на колебательной границе устойчивости [2].

Список литературы:

1. Сенигов П.Н. Теория автоматического управления: Конспект лекций. - Челябинск: ЮУрГУ, 2001
2. Теория автоматического управления: учеб. пособие / М.М. Савин, В.С. Елсуков, О.Н. Пятина; под. ред. д.т.н., проф. В.И. Лачина. - Ростов н/Д: Феникс, 2007.