ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУЙ ДВИГАТЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТРУИ

На сегодняшний день наибольший интерес в механике жидкостей и газов представляет, пожалуй, исследование турбулентных течений, в частности – турбулентных струй двигателей летательных аппаратов. Знание распределений газодинамических параметров в струе позволяет решать такие задачи, как воздействие турбулентной струи на различные преграды и части пусковых установок, расчет генерируемого струей шума и способы его уменьшения и т.д.

В качестве главенствующих подходов к расчету параметров в турбулентных струях можно выделить три: прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation, DNS), моделирование крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) и решение осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS). Самым простым по идее и самым лучшим по точности получаемого решения является подход DNS, однако, он предъявляет очень высокие требования к вычислительной мощности используемой ЭВМ, как следствие, подход редко применяется, особенно в исследованиях молодых ученых, и его применимость ограничена простейшими потоками. LES и RANS являются более простыми методами, однако, они всё ещё требуют достаточно больших мощностей, большого потребного на проведение расчета времени. При использовании RANS мы вынуждены вводить замыкающие осредненные уравнения Навье-Стокса выражения – модели турбулентности, которые носят эмпирический характер; разные модели при прочих равных часто дают разные результаты. Более того, подход RANS не позволяет рассматривать реагирующие потоки [2].

В связи с указанными недостатками рассмотренных подходов актуальной является задача развития так называемой статистической модели струи, позволяющей описать турбулентное смешение в струе и получить значения газодинамических параметров на изобарическом участке без высоких требований к вычислительным ресурсам и за небольшое (по сравнению с выше рассмотренными подходами) время.

Допустим, что начальное сечение изобарического участка заполнено точечными в физическом смысле образованиями, называемыми квазичастицами. Каждой квазичастице присущ определенный набор свойств (например, весовая концентрация атомов какого-либо элемента), который она сохраняет при своем движении от начального сечения изобарического участка вниз по потоку. Её траектория при этом будет носить случайных характер, а отклонение траектории от прямолинейной обусловлено турбулентным смешением. Одна из возможных реализаций случайной траектории представлена на рисунке [3].

Рисунок 1. Случайная траектория квазичастицы.

При этом плотность вероятности попадания квазичастицы из точки a начального сечения изобарического участка (a-a) в точку b изобарического участка описывается нормальным законом и имеет вид:

,

где σ – среднеквадратическое отклонение квазичастицы в сечении струи, проходящем через точку b; x_a2, x_a3 – поперечные координаты точки a, x_b2, x_b3 – поперечные координаты точки b.

Задача нахождения параметров на изобарическом участке струи в простейшей интерпретации подразделяется на следующие этапы: нахождение всех неизвестных параметров на срезе сопла и в окружающей среде по известным независимым параметрам, нахождение параметров в начальном сечении изобарического участка, нахождение вероятности попадания квазичастиц из сечения а-а в точку b изобарического участка, нахождение газодинамических параметров в точке b [3].

Для решения поставленной задачи вводились газодинамические комплексы, формируемые из газодинамических параметров, по аналогии с интегральными методами расчета струйных течений. В качестве газодинамических комплексов принимались:

где ρ – плотность, v – скорость, H_п – полное теплосодержание, ψ – параметр смешения, характеризующий весовую долю вещества струи в смеси веществ струи и окружающей среды, нижний индекс ∞ соответствует параметрам окружающей среды [3].

Математическое ожидание значений газодинамических комплексов в точке  b находится из выражения:

где i = 1,2,3; S – площадь поперечного сечения струи [3].

Вычисление данного интеграла не представляет трудностей в частном случае, например, если рассматривается круглая струя. В таком случае удобно перейти от декартовых к цилиндрическим координатам, преобразовать интеграл и воспользоваться традиционными численными методами интегрирования. Однако использование традиционных методов интегрирования может быть затруднено в случае, если рассматриваемая струя имеет более сложную геометрическую форму в начальном сечении (например, если имеет место истечение из многолепесткового сопла), а реализующий расчет программный код не будет обладать универсальностью. В связи с этим в качестве метода интегрирования был рассмотрен метод Монте-Карло, основанный на моделировании случайных величин. Было проведено исследование чувствительности получаемого решения к количеству случайных величин, а также сравнение результатов, полученных с использованием традиционных численных методов интегрирования и методом Монте-Карло в случае круглой струи [4].

На данных рисунках α₁ – обобщенная продольная координата, связанная со среднеквадратическим отклонением соотношением: . Как видно из результатов, достаточная точность достигается при количестве случайных величин N = 5000α₁. Дальнейшее увеличение числа генерируемых случайных величин не представляется целесообразным.

Сравнение результатов нахождения газодинамических параметров с использованием метода Монте-Карло и традиционных численных методов интегрирования проводилось для сверхзвуковой круглой струи воздуха, истекающей в покоящуюся среду. Также было проведено сравнение результатов, полученных с использованием статистической модели струи и в САПР SolidWorks с использованием модуля Flow Simulation для дозвуковой струи.

Рисунок 4. Сравнение распределения числа Маха по оси струи с использованием традиционных численных методов и метода Монте-Карло для сверхзвуковой струи

Рисунок 5. Сравнение распределения числа Маха по оси струи с использованием традиционных численных методов, метода Монте-Карло и САПР SolidWorks с использованием модуля Flow Simulation для дозвуковой струи.

После верификации использования метода Монте-Карло в статистической модели струи была реализована универсальная программа расчета параметров на изобарическом участке струи с использованием алгоритма определения положения точки относительно многоугольника [1] и произведен расчет параметров в трех различных по форме выходного сечения сопла струях: с круглым, квадратным (частный случай прямоугольного) и треугольным сечением сопла. Площади поперечных выходных сечений принимались равными.

Рисунок 6. Распределение числа Маха по оси струи в струях с различной формой поперечного сечения сопла.

Таким образом, полученный алгоритм расчета позволяет рассматривать струи с различными формами поперечного сечения сопла и реагирующие струи. Универсальность процедуры и небольшое потребное на проведение расчета время позволят в дальнейшем решать задачу об определении генерируемого турбулентной струей шума и осуществлять поиск возможных путей уменьшения шума.

Список литературы:

1. Агеев М. И., Алик В. П., Марков Ю. И. Библиотека алгоритмов 101б-150б: Справочное пособие. Выпуск 3. М.: Советское радио, 1978. 128 с.
2. Волков К. Н., Емельянов В. Н., Зазимко В. А. Турбулентные струи – статистические модели и моделирование крупных вихрей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 360 с.
3. Зазимко В. А. Теоретические основы расчета до- и сверхзвуковых струйных течений с учетом физико-химических превращений. СПб.: БГТУ, 2006. 131 с.
4. Соболь И.  М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.