ОДНА ИЗ ЗАДАЧ АНАЛИЗА РАДИОСВЯЗИ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМОЙ С ПОМОЩЬЮ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ, МЕЖДУ АБОНЕНТАМИ ЗЕМЛИ

Введение.

В настоящие время искусственные спутники Земли используются для связи и телевидения, долгосрочного прогнозирования погоды и гидрометеорологической обстановки, оперативного навигационного обеспечения неограниченного числа пользователей наземного, морского, воздушного и космического базирования. Так же ИСЗ широко используются в военных целях, а именно для разведки, слежения за состоянием военных сил противника. И данная статья показывает решение задачи установки связи между абонентами Земли, с помощью искусственных спутников Земли.

Установка связи между земными станциями (определенными заданными регионами Земли), при этом, выбирая минимальное число спутников и их положения на стационарной орбите, является сложной комплексной многопараметрической проблемой. В настоящей статье представлены баллистические аспекты этой проблемы.

Постановка задачи.

Необходимо рассчитывать возможность установки связи между заданными наземными станциями при помощи некоторого количества спутников. Под связью понимается возможность передачи сигнала из любой станции в любую другую, используя при этом спутники, находящиеся на орбите. При этом, чтобы было возможно передать сигнал от одной станции в другую, необходимо чтобы эти станции либо находились в зоне покрытия одного спутника, либо имели общую станцию-посредника которая находится в нескольких зонах покрытия спутников (в их пересечение), либо цепь станций-посредников, удовлетворяющих первым двум условиям.

Математическая модель задачи.

Система связи в каждый момент времени t моделируется с помощью неориентированного графа Gt = (V, E). Где V – множество вершин, которое соответствует совокупности всех наземных станций. Е – множество пар неупорядоченных вершин (рёбра). При этом между вершинами vi vj существует ребро только в том случае если они попадают одновременно в зону видимости хотя бы одного из спутников спутниковой системы. Исходя из задачи наше множество станций должно находится в зонах покрытий спутников. В модели S - это множество окружностей, которое соответствует зонам покрытий спутников. Каждая окружность имеет заданный радиус R, который соответствует радиусу зоны покрытия. Согласно постановки задачи необходимо выяснить, возможно ли установить между всеми наземными станциями связь. Тогда в нашей модели нам необходимо определить связанный или несвязанный наш неориентированный граф. Неориентированный граф считается связным, если из любой вершины есть путь в любую другую вершину (путь может состоять из любого количества рёбер) [2]. Тогда в нашей модели, если между любой парой вершин , есть ребро или цепь таких рёбер, при этом все  , где i = 1,…,n ∈ s (определенным окружностям из множества S), то графа связанный, в противном случае нет.

Алгоритм расчёта возможности установки связи следующий:

1. Определяем какие  ∈ каким , где i = 1 ,…, n;

2. Определяем смежные зоны покрытий спутников. Смежные зоны покрытия - это те зоны, которые имеют в себе хотя бы одну общую наземную станцию. То есть если v ∈ и v ∈ то зоны смежные. Если все зоны смежные переходим к следующему шагу;

3. Составляем матрицы смежности. Строим квадратную матрицу смежности, размер который соответствует количеству S (зон покрытий) и если v ∈ , то на этом месте элемент матрицы принимает значение единицы, в противном случае нуля. Такие матрицы строим для всех v;

4. Запускаем алгоритм проверки связанности графа (общеизвестный алгоритм).

С - множество координат, соответствующих положениям ИСЗ. Заметим, что чтобы получить множество S, необходимо знать множество С на каждый момент времени t.

Расчёт траектории движения ИСЗ.

Здесь описывается получение множества C. Для определения положений  спутников (с помощью которых осуществляется установка связи) в пространстве используем Кеплеровы элементы орбиты [1]. В нашем случае это:

р – фокальный параметр, он характеризует высоту на которой находится наш спутник от центра Земли.

i – наклонение орбиты ИСЗ, угол пересечения плоскости орбиты ИСЗ с плоскостью экватора Земли.

 – долгота восходящего узла. Угол, отсчитываемый в плоскости земного экватора от восходящего узла до точки весеннего равноденствия.

λ1 и λ2 компоненты вектора Лапласа, через которые выражаются аргумент перецентра -  и e - эксцентриситет, который характеризует «сжатость» орбиты.

u – аргумент широты спутника, который описывает положение ИСЗ на орбите, т.е. угол между линией узлов и радиусом вектором ИСЗ.

Θ – звездное гринвичское время, через него определяется время ньютоновской механики.

Для такого, чтобы описать траекторию движения наших спутников (т.е. все положения ИСЗ на орбите на определенном интервале времени) необходимо использовать дифференциальные уравнения. Эти уравнения можно найти в источнике [3]. Уравнения решаются путем применения широко известных математических методов, например, численным методом Эверхарта.

Оределение подспутниковой точки.

Подспутниковая точка – это точка, образованная пересечением нормали к земной поверхности, проходящей через данный спутник, с самой земной поверхностью. У всех спутников подспутниковая точка движется по поверхности Земли. Исключение составляют только геостационарные спутники у которых эти точки неподвижны и находятся на экваторе (широта=0 , долгота равна орбитальной позиции спутника). Тогда подспутниковая точка имеет следующие координаты:

φ =  , где  - широта спутника на орбите.

λ =  + ω*t , где  – долгота спутника на орбите,

ω =7,2921158553* - угловая скорость вращения Земли,

t (с) – время, за которое происходило вращение.

Определение зоны покрытия.

Мы берём координаты наземных станций, например, пусть наземными станциями будут крупнейшие города России. Далее рассчитываем подспутниковые точки. Для упрощения принимаем координаты подспутниковой точки за центр окружности с радиусом (r) 2500 км. Данная окружность представляет собой зону, которую покрывает один из спутников. Далее по следующей формуле определяется угловые расстояния () от всех наземных станций до нашей окружности:

, где

 - значения широт центра окружности и наземной станции,

 – значения долгот центра окружности и наземной станции.

Угловое расстояние переведем в линейное расстояние (D).

D = L*δ, где L = 111,1 км на 1° , если угловое расстояние в градусах.

Затем определяется, входит ли наземная станция в зону покрытия спутника:

1. Если D > r , то наземная станция не входит в зону покрытия спутника.

2. Если D ≤ r , то наземная станция входит в зону покрытия спутника.

Список литературы:

1. Аксёнов Е.П. Специальные функции в небесной механике. - М.: Издательство «Наука», 1986 г. - 320 стр.
2. Емеличев В.А., Мельников О.И. Лекции по теории графов. - М.: Издательство «Наука», 1990 г. - 384 стр. с илл.
3. Можаев Г.В. «Исследование эволюции почти круговых орбит в гравитационном поле Земли с учётом произвольного числа сферических гармоник», Статья из Космические исследования, 1997 г., том 35, № 1, стр. 76–90.