ВЛИЯНИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ НА РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

1. Теория типа Кармана–Тимошенко–Нагди

Одним из наиболее важных классов задач механики деформируемого твердого тела и теории пластин и оболочек являются контактные задачи со свободной границей.

Контактные задачи возникают при взаимодействии упругих тел и встречаются в конструировании современных машин и механизмов, объектов энергетического оборудования, авиационной, аэрокосмической, наземной и морской транспортной техники, в строительстве дорог и аэродромов. Многие современные исследования в перечисленных сферах направлены на решение таких задач.

В нашем университете исследования в этой области также актуальны. На кафедре математического моделирования и кибернетики представители научной школы механики пластин и оболочек Новожилова–Черныха–Михайловского [6] предложили уравнения типа Ка́рмана–Тимошенко–Нагди [5], учитывающие поперечные сдвиги и обжатия при деформации пластины.

В данной работе решается контактная задача со свободной границей для цилиндрически изгибаемой консольно закрепленной пластины и абсолютно жесткого идеально гладкого основания. Известно, что при решении таких задач в рамках классической теории контактные реакции на границе области контакта содержат сосредоточенные силы [2], что не соответствует теории Герца [1].

В работе [5] показано, что при использовании уравнений типа Ка́рмана–Тимошенко–Нагди, учитывающих трансверсальные деформации (поперечные сдвиги и обжатие), контактная реакция хотя и имеет на границе пиковые значения, но при этом является квадратично суммируемой функцией.

При решении контактной задачи аналитически в работе [5] основополагающим является условие прилегания пластины к основанию, имеющее вид

где – зазор между пластиной и основанием,  – прогиб нижней лицевой поверхности, который выражается через неизвестные функции уравнений типа Кармана–Тимошенко–Нагди – прогиб , функцию напряжений , поперечные сдвиги  при помощи достаточно громоздкого соотношения.

Для более компактной записи условий контакта в работе [3] на основе подхода работы [5] была построена теория типа Кармана–Тимошенко–Нагди, разрешающие уравнения которой могут быть приведены к произвольной базовой поверхности. Названные уравнения имеют вид

Здесь  – тождественный оператор, – оператор Лапласа, – нормальная нагрузка,   – нагрузочный (фиктивный) момент, – нагрузки на верхнюю и нижнюю лицевые поверхности,  – толщина пластины, Е и  – модуль Юнга и коэффициент Пуассона, – параметр Ламе,

При выводе уравнений (1.2) было использовано, что значения трансверсальной координаты изменяются в пределах от  до , т.е. под пластиной понимаем трехмерное тело, занимающее область , где длина отрезка  много меньше любого характерного размера односвязной области .      Учитывая это, усилия и моменты запишутся так

где  – символ Кронекера, – компонент тензора напряжений Пиолы–Кирхгофа [4].

Заметим, что при  уравнения (1.2) переходят в уравнения, полученные в работе [5]. Если же положить , то получим уравнения, приведенные к нижней лицевой поверхности.

С использованием уравнений (1.2) при  условие (1.1) перепишется следующим образом:

2. Аналитическое решение контактной задачи

Применим рассматриваемые выше уравнения (1.2) к решению следующей задачи. Пластина толщины  и ширины расположена параллельно абсолютно жесткому идеально гладкому основанию с зазором  и находится под действием нормальной нагрузки . При этом края пластины  и  консольно закреплены, а два других края бесконечно удалены или загружены так, что в пластине реализуется цилиндрический изгиб. При определенной нагрузке пластина выстилается без зазоров, образуя область контакта . Необходимо определить прогиб пластины и возникающие контактные реакции.

Уравнения (1.2) при цилиндрическом изгибе пластины и с учетом предположений  перепишутся следующим образом:

Здесь

Граничные условия консольного закрепления выражаются соотношениями

 при ,

Заметим, что определение прогиба и поперечного сдвига не зависят от вычисления функции напряжений, поэтому уравнение (2.1)₃ и граничные условия на функцию  в этой работе не будут рассмотрены.

Кроме соотношений (2.2) также потребуем на участке выстилания  выполнения:

• условия выстилания:

• условия сопряжения по нижней лицевой поверхности частей пластины:

Для получения однородных граничных условий на прогиб, сделаем замену

Учитывая, что на лицевые поверхности пластины действуют активная нагрузка  и реакция основания , с учетом замены (2.5), получаем задачу

где .

Условие (2.3) с учетом (2.5) принимает вид

Подставляя (2.7) в (2.6)₁, получаем на отрезке  дифференциальное уравнение относительно . Дополнительно будем предполагать, что . Вследствие чего решение полученного уравнения будет иметь вид

 при ,

откуда получаем следующее выражение для контактной реакции на :

Здесь  – возможная сосредоточенная сила на границе зоны контакта, – функция Дирака,  – функция Хевисайда.

Функция Грина для краевой задачи (2.6) выражается формулой

Используя функцию (2.9), решение задачи (2.6) можно записать так

Далее рассмотрим  при

 Подставив полученную функцию (2.11) при  в (2.7) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений относительно переменных  

,

Если сравнить соотношения, использованные при выводе уравнения (2.12), с соответствующими соотношениями классической теории пластин, нетрудно убедиться, что в последней отсутствуют переменные  Полагая в (2.12) равенство 0 данных переменных:  получим

или

т.е. классической теории соответствует распределение контактных реакций, содержащее сосредоточенные воздействия на краях зоны контакта [6].

Подставив функцию (2.11) в (2.4)₂ с учетом (2.2)₁ получаем, что

В качестве примера приведем результаты двух расчетов. В первом случае рассматриваем пластину с физическими и геометрическими параметрами

Вторую пластину рассмотрим с параметрами

Результаты расчетов с параметрами (2.14) – (2.15) приведены на рисунках 1–3. На рисунке 1 построены прогибы нижней лицевой поверхности по уточненной теории и классической. Для того чтобы усмотреть малость разницы между прогибами, построены рисунки 3а, б.

Графики контактных реакций построены на рисунке 2.

При этом по уточненной теории для первой пластины  (2.12), по классической теории  (2.13), а для второй – и , соответственно.

Таким образом, получили, что при использовании теории, учитывающей трансверсальные деформации, зона контакта и прогибы практически совпадают с результатами классической теории. Но при этом контактные реакции при учете трансверсальных деформаций, как и ожидалось [5], являются квадратично суммируемыми функциями.

Список литературы:

1. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. – М.: Машиностроение, 1980. – 411 с.
2. Ермоленко А.В. Классические контактные задачи со свободной границей // Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации: IV Всероссийская научно-методическая конференция. – Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2014. С. 160–167.
3. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана–Тимошенко–Нагди относительно произвольной базовой плоскости // В мире научных открытий. – Красноярск: НИЦ, 2011. – №8.1 (20). – C. 336–347.
4. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория оболочек. – СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. – 388 с.
5. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Мат. Мех. Инф. 1999. – Вып.3. С.181–202.
6. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. – Т.57. – Вып.1. С.128-136.
7. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656с.