ПОГРЕШНОСТЬ  ИЗМЕРЕНИЯ  МОМЕНТА  ИНЕРЦИИ  ДЕТАЛИ  АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫМ  МЕТОДОМ

Александрина  Татьяна  Александровна

студент  2  курса,  кафедра  технико-технологических  дисциплин  ВлГУ,  РФ,  г.  Владимир

E-mail: 

Шарыгин  Лев  Николаевич

научный  руководитель,  канд.  техн.  наук,  профессор  ВлГУ,  РФ,  г.  Владимир

В  студенческом  конструкторском  бюро  «Хронос»  при  кафедре  технико-технологических  дисциплин  ВлГУ  выполнена  разработка  прибора  для  измерения  моментов  инерции  тел  [2]  —  рис.  1.  Энергетические  возможности  измерительной  автоколебательной  системы  прибора  рассмотрены  в  статье  Гильмановой  И.Ф.  этого  сборника  «Энергетические  соотношения  в  измерительной  автоколебательной  системе  инерциометра».

Рисунок  1.  Внешний  вид  энерциометра

Обратимся  к  определению  погрешностей  измерения  и  диапазона  измерения.  Методика  расчета  погрешностей  вытекает  из  процедуры  измерения.  Учитывая,  что  измеряемые  детали  могут  иметь  самую  разнообразную  форму,  предварительно  изготавливают  и  устанавливают  на  платформу  (расположена  в  верхней  части  рис.  1)  прибора  крепежные  элементы.  После  этого  измеряют  момент  инерции  измерительной  автоколебательной  системы    через  измерения  периода  колебаний 

  =    .  (1)

Будем  полагать,  что  линейная  составляющая  жесткости  спиральной  пружины  C  заранее  определена  с  высокой  точностью.  Следующим  шагом  в  процедуре  определения  искомого  параметра    является  нахождение  суммарного  момента  инерции  нагруженной  автоколебательной  системы  I  через  период  колебаний    консервативной  системы

  =    +    =    (2)

Искомый  параметр  будет  равен  результату  по  формуле  (2)  за  вычетом  результата  по  формуле  (1)

  =  I  -    .  (3)

Из  выражения  (1)  находим  относительную  погрешность  определения  собственного  момента  инерции    в  предположении,  что  погрешность  определения  жёсткости  C  значительно  ниже  погрешности  определения  периода  .

Так  как 

  ,

то 

    =  2  ,                                 (4)

где 

  =    и  .

Аналогично  выражению  (4)  относительная  погрешность  определения  суммарного  момента  инерции  I  составит 

    =  2  .  (5)

Рисунк  2.  Графическая  интерпретация  погрешностей  измерения

При  вычитании  двух  приближенных  величин  —  формула  (3)  —  предельная  абсолютная  погрешность  их  разности    равна  сумме  предельных  абсолютных  погрешностей  уменьшаемого    и  вычитаемого    [1]

    =    +    (6)

или  на  основании  выражений  (4)—(6)

    =  2  +  2(+  )  .  (7)

Отсюда  относительная  погрешность  величины 

    =  2    +  2  .  (8)

Для  малых  значений  измеряемой  величины  ,  когда  T    ,  можно  принять  ,  в  этом  случае  формула  (8)  принимает  вид 

  2  .  (9)

При  условии    формула  (8)  принимает  вид 

  =  2  .  (10)

Как  показывают  формулы  (8)—(10)  существенное  значение  на  величину  относительной  погрешности  измерения  оказывает  отношение  .  Необходимо  при  проектировании  минимизировать  собственный  момент  инерции  системы  .

Формулы  (8)—(10)  получены  в  предположении  свободных  изохронных  колебаний.  В  автоколебательном  режиме  система  возбуждения  вносит  возмущения  в  колебательное  движение,  поэтому  фактическое  значение  периода  колебаний    отличается  от  периода  свободных  изохронных  колебаний  T  на  величину

    =    -  T  .  (11)

В  теории  автоколебаний  отношение,    называется  относительным  приращением  периода.  Эта  величина  определяется  через  производную  фазы 

    =    =  -    (12)

(формулу  для    см.  в  вышеупомянутой  статье  по  энергетическим  соотношениям).

Кроме  систематической  погрешности  (12)  имеются  случайные  погрешности  обусловленные  конечной  стабильностью  периода    (функция  добротности  колебательной  системы)  ,  погрешностью  формирования  временного  интервала  ,  погрешностью  измерения  сформированного  временного  интервала  .

Указанные  случайные  погрешности  определяются  схемотехническим  исполнением  вторичного  преобразования,  носят  независимый  характер,  их  суммарное  влияние  следует  определять  квадратичным  суммированием

    =    .  (13)

Перечисленные  погрешности  графически  иллюстрируются  рис.  2.  Графики  построены  для  системы    =  ,  C  =  0,0217  Гсм.  При  расчете  погрешности  (13)  принято:  временной  измерительный  интервал    формируется  из  32-х  периодов  колебаний;  граничные  импульсы  временного  интервала  имеют  крутизну    =  1,5    мВ/с;  стабильность  порога  срабатывания  отсчетных  каскадов  S  =  100  мВ;  частота  опорного  генератора  для  измерения  временного  интервала    равна    =  5  кГц.  Вычисления  выполнены  в  системе  СГС.

Поучительно  посмотреть  как  изменяется  относительная  стабильность  частоты    от  амплитуды  колебаний  A.  На  рис.  3  зависимость  1  построена  для  фиксированной  амплитуды  A  =  .  Зависимость  2  соответствует  реальной  амплитудной  характеристике  системы.  Заметим,  что  при  увеличении    амплитуда  автоколебаний  падает.  Отсюда  вывод  —  измерительную  автоколебательную  систему  следует  строить  со  стабилизацией  амплитуды.

Рисунок  3.  Относительная  стабильность  частоты:  1  —  при  фиксированной  амплитуде  колебаний  (А=270⁰);  2  —  при  реальной  амплитудной  характеристике  А  =  f(I_u)

Рисунок  4.  Графическое  определение  диапазона  измерения

Вышеприведенные  соотношения  позволяют  получить  диапазон  измерения  Д.  Для  наглядности  воспользуемся  построением  рис.  4.  Функция  погрешности    =  f()  построена  по  формуле  (8).  Задав  допустимый  уровень  погрешности  измерений  в  точках  пересечения  с  функцией  погрешности  получим  диапазон  измерения  Д,  т.  е.  интервал  изменения  измеряемой  величины,  в  пределах  которого  погрешность  не  превосходит  заданной  величины  —  интервал  от    до  .

Таким  образом,  основными  направлениями  снижения  погрешности  измерения  момента  инерции  детали  автоколебательным  методом  являются:

·     минимизация  собственного  момента  инерции  колебательного  звена  I₀;

·     повышение  добротности  колебательного  звена  за  счет  снижения  потерь  энергии  на  трение  в  подшипниках;

·     стабилизация  амплитуды  автоколебаний.

Погрешности  вторичного  преобразования  могут  быть  снижены  современными  электронными  средствами.

Список  литературы:

1.Демидович  Б.П.,  Марон  И.А.  Основы  вычислительной  математики  М.:  Наука,  1970.  —  463  с.

2.Устройство  для  измерения  моментов  инерции  тсл.  Патент  RU86325,  МПК  G04C  3/00.  /  А.А.  Бугров,  А.В.  Поваров,  Л.Н.  Шарыгин.  Опубл.  27.08.2009.  Бюл.  №  24.