РЯДЫ  ФУРЬЕ  И  ИХ  ПРАКТИЧЕСКОЕ  ПРИМЕНЕНИЕ  В  ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Гевелюк  Игорь  Витальевич

студент  1  курса,  кафедра  электротехники  и  электроэнергетики  ДВФУ,  РФ,  г.  Владивосток

E -mail: 

Дмух  Галина  Юрьевна

научный  руководитель,  канд.  пед.  наук,  доцент  кафедры  алгебры,  геометрии  и  анализа  ШЕН  ДВФУ,  РФ,  г.  Владивосток

В  данной  статье  поднимается  тема  прикладного  применения  ряда  Фурье  в  электротехнике.  Рассматриваются  основные  аспекты,  касающиеся  теории.  Для  большей  наглядности  приведены  примеры,  которые  демонстрируют  использование  ряда  Фурье  в  инженерной  практике  электроэнергетика.

Основные  понятия:   ряд  Фурье,  функция,  ортогональная  система,  тригонометрический  ряд,  функциональный  ряд,  период.

Математика  является  одной  из  немногих  наук,  которые  широко  используются  на  практике.  Любой  производственно-технологический  процесс  не  обходится  без  фундаментальных  математических  закономерностей.  Эффективное  применение  различных  инструментов  математического  аппарата  позволяет  конструировать  устройства  и  автоматизированные  агрегаты,  способные  выполнять  операции  с  высоким  уровнем  точности,  выполнять  сложные  расчеты  и  вычисления  при  проектировании  зданий  и  сооружений,  производить  необходимые  вычисления  при  геодезических  исследованиях.  Подобная  тесная  связь,  приводит  к  взаимному  обогащению,  как  самой  математики,  так  и  прикладных  дисциплин.  Зачастую,  идеи  и  методы,  созданные  для  решения  частных  задач,  принимают  общий  характер  и  требуют  строгого  обоснования.  Те  методы,  которые  выдержали  всесторонние  проверки  и  весьма  длительные  испытания,  в  последствие  становятся  математическими  теориями.  В  дальнейшем  эти  теории  используются  при  решении  более  широкого  круга  задач,  нежели  те,  на  основе  которых  они  были  созданы.  Инженерная  практика  в  значительной  мере  ориентирует  и  стимулирует  развитие  математического  аппарата. 

Именно  от  того,  что  элементы  математики  встречаются  на  производстве  практически  на  каждом  шагу,  специалистам  важно  знать  и  блестяще  ориентироваться  в  области  применения  тех  или  иных  инструментов  анализа  и  расчета.  Например,  инженеру-электротехнику  для  расчетов  периодических  несинусоидальных  процессов  следует  иметь  четкое  представление  о  таком  важном  понятии,  как  ряд  Фурье.

Теперь  обратимся  к  теории.  Рассмотрим  два  наиболее  встречающихся  типа  рядов  Фурье.

Ряд  Фурье  по  ортогональной  системе  функций .  Пусть  функция    непрерывна  на  отрезке    или  имеет  на  этом  отрезке  конечное  число  точек  разрыва  первого  рода.  Рядом  Фурье  такой  функции    на  отрезке    по  ортогональной  системе    называется  ряд

,

коэффициенты  которого  определяются  равенствами 

Если  ряд  Фурье  функции  по  системе    сходится  к    в  каждой  ее  точке  непрерывности,  то  говорится,  что  функция    разлагается  в  ряд  по  ортогональной  системе  .  Очевидно,  что  если  функция    разлагается  в  ряд  по  некоторой  ортогональной  системе  функций,  то  это  разложение  единственно.

Тригонометрические  ряды  Фурье.   Наиболее  широко  в  электротехнике  применяются  ряды  Фурье  по  основной  тригонометрической  системе  функций,  т.  е.  по  системе  функций

  (1.0)

Ряд  Фурье  по  основной  тригонометрической  системе  функций  (1.0)  называется  тригонометрическим  рядом  Фурье.  Он  записывается  в  виде

Коэффициенты  и    рассчитываются  по  формулам

  ,

Кроме  всего  этого,  стоит  сказать  о  сумме  тригонометрического  ряда  Фурье.  Все  функции  системы  (1.0)  являются  периодическими  с  общим  периодом  .  Поэтому  если  ряд  сходится  на  отрезке  ,  то  он  сходится  и  на  всей  числовой  оси,  а  его  сумма  периодически  повторяет  те  значения,  которые  она  принимала  на  отрезке  .  Таким  образом,  можно  говорить  не  только  о  разложении  в  тригонометрический  ряд  Фурье  функции  на  отрезке  ,  но  и  о  разложении  в  ряд  периодической  функции,  которая  будет  являться  периодическим  продолжением  (  имея  период  )  на  всю  числовую  ось.

Пример  1:  

Формулировка  задачи:   Вычислить  суммарный  ток  в  схеме  на  рис.  1. 

Рисунок  1.  Электрическая  цепь

Задано: 

В;

;  ;  ; 

Решение:

Сопротивление  постоянному  току    Постоянная  слагающая  тока: 

Комплексное  сопротивление  цепи  для  основной  частоты: 

Комплексная  амплитуда  тока  основной  частоты: 

Комплексное  сопротивление  цепи  для  утроенной  частоты:

Комплексная  амплитуда  тока  третьей  гармоники:

Таким  образом,  искомое  значение  суммарного  тока  будет  иметь  вид:

Пример  2:

Формулировка  задачи:  Вычислить  активную  мощность,  поступающую  в  цепь  при

В; 

Решение:

По  формуле    рассчитаем  искомую  величину  мощности:

Вт.

Список  литературы:

1.Атабеков  Г.И.  А92  Теоретические  основы  электротехники.  Линейные  электрические  цепи:  Учебное  пособие.  7-е  изд.,  стер.  СПб.:  Издательство  «Лань»,  2009.  —  592  с.:  ил.  —  (Учебники  для  вузов.  Специальная  литература).

2.Жежеленко  И.В.  Высшие  гармоники  в  системах  электроснабжения  промпредприятий  2-е  изд.,  перераб.  и  доп.  М.:  Энергоатомиздат,  1984.  —  160  с. 

3.Сигорский  В.П.  Математический  аппарат  инженера.  Изд.  2-е  стереотипное.  “Технiка”,  1997.  —  768  с.