ЧИСЛЕННОЕ  РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЙ  НАВЬЕ-СТОКСА  В  ПЕРЕМЕННЫХ  «ВИХРЬ-ФУНКЦИЯ  ТОКА»

Качалкина  Яна  Николаевна

магистр  1  курса,  кафедра  вычислительной  техники  СПбГЭТУ  (ЛЭТИ),

РФ,  г.  Санкт-Петербург

E-mail:  kachalkina_yana@mail.ru

Орлова  Наталья  Сергеевна

научный  руководитель,  канд.  техн.  наук,  младший  научный  сотрудник,  ученый  секретарь  Совета  молодых  ученых  ЮМИ  ВНЦ  РАН, 
РФ,  г.  Владикавказ

В  настоящее  время  моделирование  гидродинамических  процессов  является  популярной  задачей.

Основными  уравнениями,  описывающими  плоское  течение  несжимаемой  вязкой  жидкости  с  постоянными  свойствами  при  отсутствии  внешних  сил,  являются  два  уравнения  количества  движения  (уравнения  Навье-Стокса)  и  уравнение  неразрывности.  Для  решения  двумерных  уравнений  Навье-Стокса  наиболее  популярным  является  подход  с  использованием  переменных  «вихрь-функция  тока»  [3].  Одной  из  трудоемких  частей  решения  уравнений  является  итерационный  процесс  получения  стационарного  решения,  физический  смысл,  которого  заключается  в  выполнении  итераций  до  тех  пор,  пока  решение  не  будет  зависеть  от  времени.  Такой  подход  называется  методом  установления  [2].

Рассмотрим  задачу  о  ламинарном  течении  вязкой  несжимаемой  жидкости  в  каверне  (рис.  1).  Каверна  квадратная,  стороны  равны  L.  Высота  входного  и  выходного  отверстия  равны  d.  Стенки  Г₁,  Г₂,  Г₃,  Г₄  –  неподвижные  и  непроницаемые;  Г₅,  Г₆  –  входная  и  выходная  границы  соответственно.  Распределение  скорости  u  на  входной  границе  направлено  вдоль  оси  x  по  параболическому  закону  (закону  Пуазейля).  В  выходном  сечении  распределение  такое  же,  как  на  входной  границе.

Рисунок  1.  Схема  каверны

Для  численного  решения  предпочтительнее  форма  записи  уравнения  Навье-Стокса  в  переменных  «вихрь  –  функция  тока»:

           (4)

где:    –  вихрь;

  –  функция  тока;

  –  вертикальная  скорость;

  –  горизонтальная  скорость;

  –  кинематический  коэффициент  вязкости;

Начальные  условия: 

·     в  каверне:              (5)

·     между  входным  и  выходным  отверстиями:

                      (6)

                  (7)

где

              (8)

где:    –  начальный  профиль  скорости;

,    –  параметры  параболического  уравнения;

  –  высота  входного  отверстия;

Граничные  условия:

На  стенках  Г₁,  Г₂,  Г₃:

                    (9)

На  стенках  Г₄,  Г₅,  Г₆:

           (10)

На  стенках  Г₁,  Г₂,  Г₃,  Г₄: 

               (11)

На  стенках  Г₅,  Г₆:

             (12)

Для  вычисления    на  стенках  Г₅  и  Г₆  были  добавлены  фиктивные  слои,  где  значение    принималось  равным  значению    на  границе.

Расчетную  область  покрываем  равномерной  сеткой.  Каждое  дифференциальное  уравнение  в  частных  производных  заменяется  системой  алгебраических  уравнений,  число  которых  равно  числу  внутренних  узлов  сетки.

Для  нахождения  поля  скоростей  в  следующий  момент  времени,  необходимо  найти  поле  вихря  и  поле  функции  тока.  Сначала  определяется  вихрь:

                                                    (13)

где                                             (14)

             (15)

Затем,  на  основе  полученных  ,  методом  итераций  получаем    

       (17)

Рассчитываются  новые  граничные  значения    с  использованием  ранее  полученных    и    во  внутренних  точках. 

На  твердых  стенках  Г₁,  Г₂,  Г₃,  Г₄:

               (18)

На  твердых  стенках  Г₅,  Г₆:

           (19)

Затем,  снова  перечитываются    и    до  тех  пор,  пока  задача  не  выйдет  на  стационарное  решение  с  заданной  точностью. 

С  помощью  разностной  схемы  получены  результаты  численного  решения  стационарной  задачи,  при  заданном  числе  Рейнольдса.

На  рисунке  2  показаны  линии  стационарного  поля  течения  внутри  каверны  при  числе  Рейнольдса  равным  150  и  100.

Рисунок  2.  Линии  тока  стационарного  решения  а)  Re  =  150;  б)  Re=100

Видно,  что  течение  имеет  циркуляционный  характер.  Наибольшая  интенсивность  расположения  линий  тока  находится  в  нижней  части,  где  находятся  входное  и  выходное  отверстия.  При  меньших  значениях  числа  Рейнольдса  вихрь  разрывается  в  центре  на  два  симметричных  вихря  (рис.  2.  б).

Рассмотрим  графики  горизонтальной  и  вертикальной  составляющих  скорости  в  центре  каверны  при  Re  =  100  (рис.  3.).

Рисунок  3.  Горизонтальная  и  вертикальная  составляющие  скорости

Такие  перепады  скоростей  образуются  из-за  двух,  формирующихся  внутри  каверны,  вихрей.  Оба  вихря  движутся  против  часовой  стрелки.

Заключение.

С  помощью  метода  конечных  разностей  построена  конечно-разностная  схема,  аппроксимирующая  систему  уравнений  Навье-Стокса  в  переменных  «вихрь-функция  тока».  Полученные  разностные  уравнения  решаются  методом  установления  (итерации).

Написана  программа,  моделирующая  движение  жидкости  в  каверне  с  начальными  и  граничными  условиями.  Графически  были  представлены  и  проанализированы  линии  тока  установившегося  решения  для  различных  чисел  Рейнольдса  и  графики  горизонтальной  и  вертикальной  составляющих  скорости.  При  большом  числе  узлов  сетки  вычисление  занимает  продолжительное  время,  решением  данной  проблемы  является  распараллеливание  алгоритма  вычислений.

Список  литературы:

1. Иванов  В.Г.  Численное  решение  уравнений  Навье-Стокса  в  переменных  «функция  тока-вихрь»,  Национальный  исследовательский  Томский  государственный  университет,  Томск,  2012,  стр.  1–3.
2. Каменецкий  Е.С.  Решение  уравнений  в  частных  производных  методом  конечных  разностей  //  Математический  анализ  и  математическое  моделирование:  тр.  междун.  конф.  молодых  учен.  Владикавказ,  2010  г.,  стр.  27–35.
3. Роуч  П.  Вычислительная  гидродинамика.  Москва:  Мир,  1980  г.,  стр.  618.
4. Chow  W.K.,  Gao  P.Z.  Large  Eddy  Simulation  of  Turbulent  Convective  Cavity  Flow,  International  Journal  of  Computational  Fluid  Dynamics,  –  2004,  –  Vol.  18  (8),  –  pp.  641–650.