УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СВЯЗНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

CONDITIONS OF EXISTENCE OF NON-HOMOGENEOUS LOCALLY CONNECTED TOPOLOGICAL SPACES

Adahаmzhan Zhoraev

candidate of Science, assistant professor of Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Найдены достаточные условия локальной неоднородности связных пространств в терминах существования непустых пересечений связных множеств (траекторий).

ABSTRACT

Sufficient conditions for local non-homogeneity of connected space in terms of non-empty intersections of connected sets (trajectories) are found.

Ключевые слова: связное пространство; топологическое пространство; неоднородное пространство, кинематическое пространство.

Keywords: connected space; topological space; non-homogeneous space, kinematical space.

1. Общие определения и ранее доказанные результаты.

Известно понятие однородного пространства – множества X вместе с заданным на нем транзитивным действием некоторой группы G: задана такая группа G автоморфизмов g:X→X, что для любых двух элементов x₁, x₂∈ X существует такое g₁₂∈ G, что g₁₂(x₁)= x₂. В этом случае любые два элемента (вместе с положением в пространстве в целом) неразличимы.

Различные обобщения этого понятия рассмотрены в [5]. Все они связаны с различными преобразованиями пространства в целом. Поэтому в [2] предложены более общие понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если две точки топологического пространства имеют гомеоморфные окрестности, то они называются локально однородными.

Соответственно, в [4] предложено

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если хотя бы две точки x₁∈X, x₂∈X не являются локально однородными, то пространство X в целом называется локально неоднородным.

Достаточные условия локальной неоднородности получены в [3; 4] на языке кинематических пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. [1]. Кинематическим пространством называется множество G точек и множество K маршрутов. Каждый маршрут M состоит из числа T_M >0 (время маршрута) и функции m_M : [0, T_M] → G (траектория маршрута). Выполняются следующие свойства.

(K1) Для любых различных z₀ и z₁ существует такое M∈K, что m_M(0) = z₀ и m_M(T_M) = z₁, и множество значений T_M для таких M ограничено снизу положительным числом {передвижение между любыми точками возможно, но сколь угодно быстрое передвижение невозможно}.

(K2) Если M= {T_M, m_M(t)} ∈ K, то {T_M, m_M(T_M- t)} также принадлежит K {движение в обратном направлении}.

(K3) Если M= {T_M, m_M(t)} ∈ K и T*∈ (0, T_M), то пара: T* и функция m*(t)=m_M(t) ( 0 ≤ t ≤ T*) также принадлежит K {можно остановиться в любой момент}.

(K4) Если {T₁, m₁(t)} ∈ K, {T₂, m₂(t)} ∈ K и m₁(T₁)=m₂(0), то пара:

число T* = T₁ + T₂ и функция

m*(t)= m₁(t) ( 0 ≤ t < T₁); m*(t)= m₂(t-T₁) ( T₁ ≤ t ≤ T₁+T₂)

также принадлежит K {транзитивность}.

Для любой функции – траектории маршрута m_M : [0, T_M] → G множество ее значений естественно называть линией.

Кинематическое пространство является линейно связным (без изолированных точек) метрическим топологическим пространством с метрикой

r_K (z₀ , z₁) = inf {T_M :M∈ K, m_M(0) = z₀ и m_M(T_M) = z₁ }.

Условия существования локально неоднородных кинематических пространств были найдены в [4; 6].

Пусть Х – линейно связное множество на плоскости R², маршруты – непрерывные отображения m отрезков в Х такие, что

||m(x₁) – m(x₂)||≤ || x₁ –x₂||.                                              (1)

Тогда Х – кинематическое пространство.

ТЕОРЕМА 1. [4]. Если 1) внутренность множества Х не пуста; 2) в кинематическом пространстве Х существуют такие точки A, B, C, D, и такая линия [AC], что любая линия [BD] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х не является открытым множеством в R². Таким образом, Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

В [6] этот результат обобщен на многомерный случай:

ТЕОРЕМА 2. Если в кинематическом пространстве Х 1) существует точка, имеющая окрестность, изометричную шару в Rⁿ; 2) существуют такие точки A, B, C, D, и такая линия [AC], что любая линия [BD] имеет хотя бы одну общую точку с этой линией, то Х является локально неоднородным кинематическим пространством.

2. Основной результат.

Поскольку подмножество кинематического пространства, даже связное, может не быть кинематическим пространством, понятие локальной связности нуждается в уточнении.

Докажем:

ТЕОРЕМА 3. Если в кинематическом пространстве Х 1) существует точка D, что для шаровой окрестности S_r(D) множество S_r(D)\{D} является кинемати-ческим пространством для любого радиуса r>0; 2) существуют такие различные точки A, B, C, что любая линия [AC] проходит через точку B, то Х является локально неоднородным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что S_r(B)\{B} является кинематическим пространством для любого r>0.

Выберем r<min{r(A, B), r(C,B)}, тогда A∉S_r(B), C∉S_r(B). Пусть E – первая точка пересечения линии [AB] с S_r(B), F – последняя точка пересечения линии [BС] с S_r(B). Поскольку S_r(B)\{B} – кинематическое пространство, существует линия [EF] ⊂ S_r(B)\{B}. Следовательно, [AEFC] – линия, не проходящая через B, что противоречит условию. Теорема доказана.

Более обшая

ТЕОРЕМА 4. Если 1) выполняется условие 1) Теоремы 3; 2) существуют такие различные точки A, B₁, B₂,…, B_n,C, что любая линия [AC] проходит хотя бы через одну из точек B₁, B₂,…, B_n, то Х является локально неоднородным пространством.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что S_r(B_k)\{B_k} – кинематические пространства для любых k=1..n, r>0.

Выберем

r < min{min{min{r(A,B_k), r(C,B_k)}: k=1..n}, min{r( B_k, B_j): k,j=1..n; k¹ j}/2},

тогда множества {A}, S_r(B_k), k=1..n, {C} попарно не пересекаются. Предположим, что траектория [AС] проходит через точку B₁. Пусть E – первая точка пересечения линии [AB₁] с S_r(B₁), F – последняя точка пересечения линии [B₁С] с S_r(B₁). Поскольку S_r(B₁)\{B₁} – кинематическое пространство, существует линия [EF] ⊂ S_r(B₁)\{B₁}. Следовательно, [AEFC] – линия, не проходящая через B₁. Продолжая этот процесс, получим траекторию, не проходящую ни через одну из точек B_k, что противоречит условию. Теорема доказана.

Аналогично доказываются.

ТЕОРЕМА 5. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) существует точка D, имеющая такую базу окрестностей {S(D)}, что множества {S(D)\{D}} являются связными; 2) существуют такие различные точки A, B, C, что любое связное множество, содержащее точки A и C, содержит также точку B, то Х является локально неоднородным пространством.

ТЕОРЕМА 6. Если в отделимом связном топологическом пространстве Х 1) выполняется условие 1) Теоремы 5; 2) существуют такие различные точки A, B₁, B₂,…, B_n,C, что любое связное множество, содержащее точки A и C, содержит также хотя бы одну из точек B₁, B₂,…, B_n, то Х является локально неоднородным пространством.

Список литературы:

1. Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. – Бишкек: Кыргызский государственный национальный университет, 1999. – 131 с.
2. Борубаев А.А., Панков П.С. Распознаваемость размеченных топологических пространств // Вестник Кыргызского национального университета. – 2007. – Серия 3, выпуск 4. – С. 5–8.
3. Жораев А.Х. Кинематическое построение и исследование топологических пространств. – Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. – Бишкек, 2012. – 16 с.
4. Жораев А.Х. Условия существования неоднородных кинематических пространств // Вестник Международного Университета Кыргызстана. – № 1(27). – 2015. – С. 45–47.
5. Hart K.P., Nagata J.-I., Vaughan J.E. Encyclopedia of General Topology. Elsevier Science Ltd, 2004. – h4 Homogeneous Spaces. – P. 376–378.
6. Zhoraev A. Conditions of existence of multidimensional locally non-homo-geneous kinematical spaces // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum. – Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. – P. 22.