ИCСЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПОМОЩЬЮ РАСЩЕПЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА

INVESTIGATION OF ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS OF LINEAR DELAY-DIFFERENCE EQUATIONS BY MEANS OF SPLITTING SPACE

Zhumagul Zheentaeva

сandidate of Science,

manager of chair of the Kyrgyz-Uzbek University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

С использованием полученных автором результатов по асимптотическому разложению решений систем двух разностных уравнений на «специальное» и затухающее решения найдены достаточные численные условия таких же свойств для решений начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента.

ABSTRACT

By using of results obtained by the author on asymptotical expansion of solutions of systems of two difference equations into “special” and fading ones, sufficient numerical conditions are found for such properties of solutions of initial value problems for linear differential equations with bounded delay.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздыванием аргумента; разностное уравнение; начальная задача; асимптотика.

Keywords: delay-differential equation; difference equation; initial value problem; asymptotic.

1.  Введение.

Для решений начальной задачи для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзор в [3; 4]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений.

В статье [5] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда. В [1] нами показано, что для поиска более широких условий, когда имеет место – это явление, можно использовать численные эксперименты на компьютере.

В связи с этими результатами мы выдвинули гипотезу о том, что аналогичные явления должны иметь место для более фундаментальных – разностных уравнений – и подтвердили ее в [2]. Здесь при помощи этих результатов получены соответствующие результаты для линейных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием аргумента

Известно, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы рассматриваем существенно неавтономные уравнения.

2.  Операторно-разностные уравнения в расщепленных пространствах.

Пусть Ω – некоторое нормированное пространство. Рассмотрим четыре последовательности операторов (первая – просто числа, вторая – «функционалы»):

a_n: RΩR; b_n:W ΩR; c_n: RΩW; d_n:W ΩW, n=0,1,2,…

с ограничениями a_n∈ [a_–,a₊]; ||b_n||≤ b>0, ||c_n||≤ c>0, ||d_n||≤ d>0,

и систему операторно-разностных уравнений

x_n+1= a_n x_n + b_n y_n, y_n+1= c_n x_n + d_n y_n, n=0,1,2,… (1)

Обобщая результаты [2] на системы вида (1), получаем:

ТЕОРЕМА 1. Если  то существует такое решение {X, Y},

что

(∀n∈N)( X_n ³ q_–ⁿ; |Y_n|≤ wX_n),                                (2)

ТЕОРЕМА 2. Если , то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, существует предел

ТЕОРЕМА 3. Если выполняются условия Теорем 1 и 2, то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1,

 (3)

ТЕОРЕМА 4. Если выполняются условия Теорем 1 и 2 и

, (4)

то для любого решения {x, y} и специального решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, будет  

3.  Оценки для решений дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Рассматривается уравнение вида

z'(t)=P(t)z(t–h), t ∈ R₊, h=const >0,                               (5)

c начальным условием

z(t)= φ(t), t∈ [–h,0],                                                       (6)

где: φ (t)∈ C[–h,0] и P(t) ∈ C(R₊) – заданные функции, |P(t)|≤ p₀=const.

Представим пространство C[–h,0]=R× Ω в виде декартова произведения пространства функций-констант и пространства Ω функций, удовлетворяющих условию y(0)=0.

Введем в Ω норму ||y||_Ω :=sup{ |y(t)/t|: –h ≤ t<0}, тогда |y(t)| ≤ ||y||_Ω | t |.

Имеем для оператора сдвига по траектории на величину h:

Обозначая операторы в (1) на любом отрезке длины h через A, B,C, D,

получаем  

Введем обозначения (безразмерные величины)

Отсюда находим оценки для констант

Условие Теоремы 1: ;

;=0.3431…

Условие Теоремы 2:

 +                                            (7)

Поскольку получение конкретных оценок из приведенных формул и соотношений слишком затруднительно, была написана программа с учетом вычислительной погрешности на языке pascal. Расчеты по ней дали, что (7) выполняется при  

Находим  

Расчеты показали, что соотношение (4) выполняется при .

Полученные оценки близки к оценкам, полученным в [3; 4] другими способами.

Список литературы:

1. Жээнтаева Ж.К. Алгоритмы для экспериментального исследования асимптотики решений линейных уравнений с запаздывающим аргументом и их использование // Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественно-научного образования: сборник статей Международной конференции 15–18 декабря 2014 г. – Москва: Российский университет дружбы народов, 2015. – С. 219–223.

2. Жээнтаева Ж.К. Численные условия наличия асимптотики решений систем линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам XL междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). – Новосибирск: Изд. АНС «СибАК», 2016. – С. 76–80.

3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – Москва: Наука, 1972. – 351 с.

4. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. – С. 455–462.

5. Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при t Ω ¥ пространства решений // Исследования по интегро-диффе-ренциальным уравнениям. – Фрунзе: Илим, 1977. – С. 117–125.