ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ФАП С КЛЮЧОМ

CHARACTERISTIC FEATURES OF NONLINEAR DYNAMICS OF DISCRETE PHASE - LOCKED LOOP WITH KEY-ELEMENT

Larisa Lebedeva

ph.D., associate Professor, Volga State University of Water Transport,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

Построено отображение, описывающее работу системы. Установлены его свойства. Определены возможные режимы работы системы.

ABSTRACT

The map for describing of dynamics of such Phase-Locked Loop is considered. The characteristic features of map and different modes of system are studied.

Ключевые слова: система ФАП с ключом, гомеоморфизм.

Keywords: The Phase-Locked Loop with key-element, Gomeomorphism.

Рассматривается система фазовой автоподстройки частоты (система ФАП), работающая от радиоимпульсного сигнала, в которую на выходе фазового детектора введен ключ [6, c. 221]. Математической моделью такой системы может служить [6, c. 224] система двух уравнений:

                                    (1)

где:  – мгновенная разность фаз входного сигнала и сигнала подстраиваемого генератора,  – полоса удержания системы,  – начальная расстройка по частоте,  – длительность импульса,  – период следования импульсов (),  – длительность паузы.

Чтобы установить основные динамические особенности системы, представим ее математическую модель (1) в виде разностного уравнения. Это позволит использовать развитую теорию отображений отрезка и окружности [3, c. 215; 4, с. 21; 5, с. 61; 7, с. 123; 8, с. 73].

Введем обозначения , ,  т.е. и запишем систему (1) в виде:

                                      (2)

Проинтегрируем первое уравнение системы (2)

(3)

Рассмотрим случай . Уравнение (3) принимает вид:

Предположим, что в начальный момент времени  разность фаз  равна , тогда . Откуда

Найдем явное выражение для функции . ; ; .

Обозначим функцию, стоящую в правой части последнего равенства, как . Функция  есть решение первого уравнения системы (2). Кроме того, имеют место соотношения: , , . Значит, математическая модель системы при  может быть представлена в виде уравнения:

                                         (4)

Рассмотрим случай . Уравнение (3) принимает вид:

                           (5)

Из предположения, что при  разность фаз  равна , получаем , и уравнение (5) принимает вид: , или

(6)

Найдем явное выражение для функции . После ввода обозначения  равенство (6) можем записать в виде: . Откуда получаем . Обозначим правую часть последнего равенства через  и запишем искомое отображение (при ) в виде:

                               (7)

где: =.

Чтобы установить свойства отображений (4) и (7), определим знак производной  для случаев , .

Предположим, что . Если ввести обозначения , , , , , , то получим , и

 =    .

Пусть . После введения обозначений , , , где , получим  = , т.е.  =  =  .

Таким образом, при  отображение (4), (7), описывающее рассматриваемую систему ФАП, является гомеоморфизмом [4, с. 21]. Для него справедлива теория Майера [3, c. 215] и теория числа вращения [4, с. 21]. Оно может иметь [1, с. 771; 2, с. 31] колебательные циклы периода не выше двух или циклы вращательного типа. Следовательно, синхронному режиму соответствует наличие неподвижной точки колебательного типа периода один или два. Граница полосы захвата – бифуркационная кривая [1, с. 773], соответствующая исчезновению неподвижной точки. Возможны также режим ложного захвата и режим биений.

Список литературы:

1. Белых В.Н., Лебедева Л.В. Исследование одного отображения окружности. – ПММ, 1982, т. 46, вып. 5, С. 771–776.

2. Лебедева Л.В. Определение наличия периодической траектории унимодального отображения отрезка // Межвуз. сб. «Математическое моделирование и оптимизация», Н. Новгород, ННГУ, 1996, С. 31–38.

3. Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность. – Ученые записки ГГУ, 1939, вып. 12, 215–226.

4. Нитецки Э. Введение в дифференциальную динамику. – М.: Мир. 1975, 304 с.

5. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. УМЖ, 1964, т. 16, № 1, С. 61–72.

6. Шахгильдян В.В., Петров В.А. Анализ работы системы синхронизации 1 порядка с ключом. – В кн. Фазовая синхронизация / Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. – М.: Связь, 1975, С. 221–228.

7. Collet P. and Eckmann J.-P. Iterated Maps on the Interval. Dynamical Systems. Basel. Birkhauser. 1980.

8. May R. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature. Vol. 251, June. 10, 1976.