ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА (НЕОБЫЧНЫЙ ПОДХОД)

Агафонцев Валерий Васильевич

канд. техн. наук, преподаватель ПсковГУ, г. Псков

E-mail: fon-valery-ag@yandex.ru

FERMAT’S LAST THEOREM (THE UNUSUAL APPROACH)

Valery Agafontsev

Candidate Technical, the teacher of Pskov State University, Pskov

АННОТАЦИЯ

Общепризнанное доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ), предложенное Эндрю Уайлсом, базируется на нескольких математических теориях, в том числе и на идее Герхарда Фрея, в основу которой положена предпосылка существования гипотетического (еретического) решения уравнения Ферма для некоторой степени Nи последующего преобразования уравнения Ферма в уравнение эллиптической кривой. В данной статье предложен подход к ВТФ, основанный на применении Z-ричной позиционной системы счисления. В математическом инструментарии эпохи Пьера Ферма показано, что не существует гипотетического решения уравнения Ферма степени N, большей, чем степень kуравнения, для которого доказано отсутствие целочисленных решений. Показано, что если Пьер Ферма имел доказательство для показателя n=3, то он мог утверждать об отсутствии целочисленных решений для показателей n>3.

ABSTRACT

The widely accepted proof of Fermat's last theorem (FLT) suggested by Andrew Wails is based on several mathematic theories including the idea of Gerhard Fray that is in its turn based on precondition of existence of hypothetic (heretical) solution of Fermat's equation for a degree N and following transformation of Fermat's equation into elliptic curve equation. The present article presents an approach to FLT solution based on a Z- ary positional number notation. Mathematic instruments of Pierre Fermat's time possessed no hypothetical solution to Fermat's equation of N degree bigger than k degree of the equation that has no integral solution. We are shown that if Pierre Fermat's used to have the proof for index n=3, he was able to prove absence of integral solutions for indices n>3.

Ключевые слова:Великая теорема Ферма; ВТФ; доказательство.

Keywords:Fermat's last theorem; FLT; proof.

Заранее определимся: в данной работе автор не ставит перед собой непосильную задачу полного доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ), которая гласит: не существует целочисленных решений уравнения

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ,

где X, Y, Z, nÎN,n>2.

Цель работы– представить на обсуждение доказательство, утверждающее, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для показателей степени, больших того, для которого (кем-то, когда-то) было доказано отсутствие целочисленных решений ВТФ. И не более того! Полное доказательство оставим за великими: Эндрю Уайлсом [3] и (хочется верить!) за Пьером Ферма, который мог строить своё доказательство, избрав следующий подход:

1.  На первом этапе доказать отсутствие целочисленных решений для некоторого конкретного показателя. Известно, что для показателя n=4 П.Ферма это сделал, используя предложенный им метод бесконечного спуска. Условимся называть базовым уравнение Ферма с конкретным численным показателем, для которого доказано отсутствие целочисленных решений.

2.  На втором этапе доказать невозможность существования целочисленных решений для степеней, больших степени базового уравнения.

Исходя из такого подхода, если иметь строгое доказательство случая n=3, а также иметь доказательство по пункту 2, причём, оба доказательства выполненные в инструментарии эпохи П.Ферма, то его словам на полях "Арифметики" Диофанта можно доверять. Представляется, что работа [2] убедительно показывает возможность элементарного доказательства случая n=3, построенного без использования комплексных чисел и, по сути, на методе бесконечного cпуска. Не исключено, что подобными соображениями мог руководствоваться и П. Ферма.

Покажем возможность элементарного доказательства второго этапа, а именно, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для степеней, больших степени базового уравнения. Отметим, что полное доказательство дано в [1].

Последовательность импликаций

1. Определение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ,                                                    (1)

 где X, Y, Z, nÎN,причём X, Y, Z– взаимно простые числа, n≥2.

1.1.Переход к Z-ричной системе счисления.

1.2.Доказательство того, что хотя бы одно из слагаемых левой части гипотетического равенства (1) (Xⁿили Yⁿ) должно содержать ровно nZ- ричных разрядов. Запись этого слагаемого соответствующим ему количественным эквивалентом, например:

Xⁿ=x_n-1 ×Z^n-1+x_n-2 ×Z^n-2+…+x₁×Z+x₀                                                               (2)

1.3.Доказательство того, что в выражении (2)

x_n-1≤Z-n                                                       (3)

1.4.Доказательство того, что второе слагаемое (Yⁿ) гипотетического равенства (1) также, как и первое слагаемое (Xⁿ), должно содержать ровно nZ- ричных разрядов и, следовательно, его количественный эквивалент должен записываться так:

Yⁿ=y_n-1 ×Z^n-1+y_n-2 ×Z^n-2+…+y₁ ×Z+y₀                              (4)

1.5.Доказательство того, что для гипотетического равенства (1) должны

выполняться nравенств вида:

x₀+y₀=x_i+y_i+1=Z,                                                  (5)

где iÎ[1; n-1].

1.6.Доказательство того, что в выражении (4)

y_n-1≥n-1                                                        (6)

1.7.Формирование условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1). Таких условий три:

1)        Xⁿ=x_n-1 ×Z^n-1+x_n-2 ×Z^n-2+…+x₁×Z+x₀

2)        Yⁿ=y_n-1 ×Z^n- +y_n-2 ×Z^n-2+…+y₁ ×Z+y₀

3)        x₀+y₀=x_i+y_i+1=Z,гдеiÎ[1; n-1].

1.8.Показ на конкретных примерах выполнение названных необходимых условий для n=2.

2. Предположение существования еретического решения Aⁿ+ Bⁿ=Cⁿи его анализ.

2.1.Распространение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1), на еретическое решение Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ. Условия, необходимые для существования еретического решения:

1)A^N=a_N-1 ×C^N-1+a_N-2 ×C^N-2+…+a_kC^k+a_k-1×C^k-1+ a_k-2×C^k-2+…+a₂×C²+ a₁×C+ a₀

2)B^N=b_N-1 ×C^N-1+b_N-2 ×C^N-2+…+b_kC^k+b_k-1×C^k-1+b_k-2∙ C^k-2+…+ b₂×C²+ b₁×C+ b₀

3)a₀+b₀=a_i+b_i+1=C,                                                                                         (7)

гдеiÎ[1; N-1].

2.2.Исходя из равенства (7), формирование выражения

(a_k-1+b_k-1)×C^k-1+(a_k-2+b_k-2)×C^k-2+…+(a₂ + b₂)×C²+(a₁ +b₁)×C+a₀+b₀=С^k                  (8)

2.3.Распространение условий, необходимых для выполнения гипотетического равенства (1), на базовое уравнение Ферма X^k+Y^k=Z^k, то есть на уравнение Ферма с таким показателем степени k, для которого кем-то и когда-то было доказано отсутствие целочисленных решений.Например: для k=7 – это доказательство Г. Ламе, дляk=5 – это доказательство А. Лежандра, для k=4 - это доказательство П. Ферма, для k=3 – это доказательство Л. Эйлера.

Обоснование невыполнения как равенств следующих выражений:

1) X^k=x_k-1Z^k-1+x_k-2 ×Z^k-2+…+x₂ ×Z²+x₁ ×Z+x₀

2) Y^k=y_k-1 Z^k-1+y_k-2 ×Z^k-2+…+y₂ ×Z²+y₁ ×Z+y₀

3)x₀+y₀=x_j+y_j+1=Z,где jÎ[1; k-1]

из чего следует такое неравенство:

(x_k-1+y_k-1)×Z^k-1+(x_k-2+y_k-2)×Z^k-2+…+(x₂+y₂)×Z²+(x₁+y₁)×Z+x₀+y₀≠Z^k

Данное неравенство выполняется при любых значениях x_j, y_j, из которых формируется Z, в том числе и при таких: x_j=a_jи y_j=b_j, Z=C. В результате получается следующее неравенство:

(a_k-1+b_k-1)×C^k-1+(a_k-2+b_k-2)×C^k-2+…+(a₂+b₂)×C²+(a₁+b₁)×C+a₀+b₀≠ С^k            (9)

2.4.Выявление локального противоречия, вытекающего из сопоставления выражений (8) и (9).

2.5.Доказательство получения из локального противоречия (9) неравенства Aⁿ+Bⁿ≠ Cⁿ, противоречащего предположению существования еретического решения Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, из чего следует, что не существует целочисленных решений уравнения Ферма для степеней, больших степени базового уравнения.

ВЫВОД: Если Пьер Ферма имел подобную доказательную базу и доказательство отсутствия целочисленных решений своего уравнения для n=3, то в справедливости его интригующей записи на полях "Арифметики" Диофанта сомневаться не приходится… Известно, что сам Пьер Ферма доказал отсутствие целочисленных решений для n=4, а Леонард Эйлер - дляn=3 [3].

Список литературы:

1. Агафонцев В.В. Великая теорема Ферма (необычный подход). Сб. научных трудов Международной научно-практической конференции по современным проблемам прикладной информатики. 23—25 мая 2012 года/ Отв.ред. И.А. Брусакова, И.Л. Андреевский. -СПб.: Изд-во "ЭЛМОР", 2012. - 238 с. (с. 28—38).
2. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера. "Математические заметки", том 82, вып. 3, сентябрь 2007, с. 395—400.
3. Сингх С. Великая теорема Ферма, М.:МЦНМО, 2000