О спектре дифференциального оператора четвёртого порядка со знакопеременной весовой функцией

Митрохин Сергей Иванович

канд. ф.-м. наук, доцент, МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва

ABOUT THE SPECTRUM OF THE DIFFERENTIAL OPERATOR OF THE FOURTH ORDER WITH SIGN-VARIABLE WEIGHT FUNCTION

Sergey Mitrokhin

The candidate of physical and mathematical sciences, the assistant professor, the Moscow State University of M.V. Lomonosov, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается дифференциальный оператор четвёртого порядка с разделёнными краевыми условиями. Весовая функция является знакопеременной, потенциал предполагается суммируемой функцией на отрезке . Изучены общие решения рассматриваемых дифференциальных уравнений при больших значениях спектрального параметра, граничные условия, индикаторная диаграмма. Получены собственные значения рассматриваемого оператора. Полученные результаты найдут применение в геофизике при предсказании землетрясений.

ABSTRACT

In article the differential operator of the fourth order with the divided boundary conditions is considered. Weight function is sign-variable, the potential is supposed summable function on a segment. The common solutions of the considered differential equations are studied at large values of spectral parameter, boundary conditions, the indicator diagram. Eigenvalues of the considered operator are received. The received results will find application in geophysics at a prediction of earthquakes.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, весовая функция, суммируемый потенциал, собственные значения, углы-алесюньчики, индикаторная диаграмма.

Keywords: differential operator, weight function, summable potential, eigenvalues, corners-alesyunchiki, indicator diagram.

Рассмотрим дифференциальный оператор, задаваемый дифференциальными уравнениями:

                                     (1)—(2)

с условиями «склейки» в точке  разрыва коэффициентов:

,                                 (3)

с граничными условиями вида:

.      (4)

Граничные условия (4) являются нерегулярными по терминологии Наймарка М.А. (см [1, с. 69]).

В настоящей статье будем считать, что потенциал  является нулевой функцией:  при  при , а весовая функция  является знакопеременной:  при ,  при .

Для дифференциальных операторов первого и второго порядков (с нулевым потенциалом) со знакопеременной весовой функцией некоторые спектральные свойства изучены в работе [2], а в случае ненулевого потенциала изучены автором в работе [3].

Пусть , причём зафиксируем ту ветвь корня, для которой .

Пусть  - различные корни четвёртой степени из единицы:

         (5)

Пусть  - различные корни четвёртой степени из минус единицы:

(6)

Методом Эйлера для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами доказываются следующие утверждения.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

                                           (7)

                                (8)

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (2) имеет вид:

                                           (9)

                      (10)

При этом справедливы следующие начальные условия:

(11)

Пусть  - определитель Вронского фундаментальной системы решений дифференциального уравнения (2):

(12)

где   (13)

Пусть  - матрица алгебраических миноров к элементам  из :

                    (14)

Доказать формулу (14) можно самым непосредственным способом: разложить  из (13) по строкам и по столбцам.

Перейдём к изучению условий «склейки» (3):

(15)

Из линейной системы (15) по теореме Крамера получаем:

,                                                              (16)

где  получается по формуле (12), а  получаются из  заменой -го столбца на столбец, стоящий справа в (15); например:

                  (17)

 выписываются аналогично.

Раскладывая определитель  по первому столбцу, получаем:

,                        (18)

где

                                    (19)

Раскладывая определитель  из (19) по первому столбцу, учитывая формулы (13)—(14), получаем:

          (20)

Проделав аналогические вычисления с определителями  и , аналогичным образом находим:

,                   (21)

.  (22)

С помощью формулы Эйлера , выводим:

,                               (23)

где

                           (24)

При этом при помощи формулы введения вспомогательного угла получаем:

(25)

где  - углы-алесюньчики,

.                           (26)

Аналогичным образом находим:

,                                      (27)

,                   (28)

.              (29)

Перейдём к изучению граничных условий (4).

.                           (30)

        (31)

Система линейных однородных уравнений (30) – (31) имеет ненулевое решение  тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю. Поэтому справедливо следующее утверждение:

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(4) имеет следующий вид:

,                                                  (32)

где                                                           (33)

Раскладывая определитель  из (32) по четвёртой строке, получаем:

,                                         (34)

где  - алгебраические миноры к .

С помощью формул (5) и (6) можно показать, что

    (35)

Поэтому уравнение на собственные значения имеет следующий вид:

                        (36)

где величины  определены в (20) – (22).

Введём следующее обозначение: .

В уравнении (36) всего (16) различных показателей экспонент:      .

Нетрудно проверить, что индикаторная диаграмма уравнения (36) (т. е. выпуклый многоугольник из показателей экспонент , см. [3]) имеет следующий вид:

                     (37)

При этом точки  соответствуют следующим показателям экспонент:        (эти точки – вершины 8-угольника, влияют на спектр изучаемого оператора);         (и эти точки – вершины внутреннего 8-угольника, не влияют на спектр оператора (1)Ч—(4)).

Отметим следующие свойства индикаторной диаграммы (37):

             (38)

                                       (39)

Заметим (см. [3]), что собственные значения могут находиться только в восьми заштрихованных секторах бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются серединными перпендикулярами к сторонам 8-угольника .

Методами монографии [3] устанавливается следующий результат.

Теорема 4.

1)  В секторе  собственные значения дифференциального оператора (1) – (4) имеет следующий вид:

                        (40)

2)  .                    (41)

3)  В секторе  собственные значения дифференциального оператора (1) – (4) имеют следующий вид:

                                     (42)

4)                    (43)

Формулы (40)—(43) целиком описывают спектр дифференциального оператора (1)—(4).

Список литературы:

1.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

2.Гуревич А.П., Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Математические заметки. — 1994. — Том 56. — Выпуск 1. — С. 3—15.

3.Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений одного дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве: Сборник научных трудов. — 2008. — С. 61—71.

4.Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир,1967. — 548 с.