ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ПРОГРАММ ВОСПРОИЗВОДСТВА ЖИЛИЩНОГО ФОНДА

Ларин Сергей Николаевич

канд. техн. наук, ст. науч. сотр.

Центрального экономико-математического института РАН,

 г. Москва

E-mail: sergey77707@rambler.ru 

Герасимова Людмила Ивановна

науч. сотр.

 Центрального экономико-математического института РАН,

 г. Москва

THE PROBLEM AND A MODEL FORMATION AND OPTIMIZATION REPRODUCTION HOUSING PROGRAMS

Sergei Larin

 Ph.D., Senior Research Fellow,

Central Economics and Mathematics Institute, Moscow

Ludmila Gerasimov

 research associate, Central Economics and Mathematics Institute, Moscow

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 11-06-00101а.

АННОТАЦИЯ

Основной целью данного исследования являлся поиск новых подходов к формированию программ воспроизводства жилищного фонда. Для этого были объединены метод экономико-математического моделирования и методология эволюционных вычислений. В результате этого подхода были сформированы новые постановка задачи и модель, позволяющие на практике формировать программы воспроизводства жилищного фонда и проводить их оптимизацию по заданным параметрам. Предложенный подход позволит получить ощутимый экономический эффект в случае его практической реализации.

ABSTRACT

The main purpose of this study was to find new approaches to the reproduction of housing programs. For this method were combined economic and mathematical modeling and methodology of evolutionary computation. As a result of this approach were formed new formulation of the problem and the model, allowing for the practice of forming housing replacement program and to spend their optimization on the given parameters. The proposed approach will provide significant economic benefits in the event of its implementation.

Ключевые слова: воспроизводство жилищного фонда; поста­новка задачи; экономико-математическое моделирование; методология эволюционных вычислений; формирование и оптимизация программ.

Keywords: reproduction housing; problem statement; the economic and mathematical modeling; evolutionary computation methodology; creation and optimization programs.

Практическое применение сетевых моделей в условиях рыночной экономики для формирования программ воспроизводства жилищного фонда перестало себя оправдывать ввиду обработки значительных объемов избыточной информации и существенных затрат времени для получения точных результатов, которые все чаще нуждались в корректировке и необходимости проведения новых перерасчетов. Для устранения отмеченных недостатков предлагается новый подход, основывающийся на методологии эволюционных вычислений и использовании математического аппарата генетических алго­ритмов [2, 3]. Он позволяет в короткие сроки находить достаточно близкое к оптимальному решение задачи поиска допустимого результата для таких сложных систем, как реализация программ воспроизводства жилищного фонда, а так же обеспечивает получение эффективных результатов как с позиций затрачиваемого времени, так и с точки зрения оптимизации ресурсного, прежде всего финансового, обеспечения.

Проведем формализацию предлагаемого подхода. В зависимости от конструктивных особенностей объектов жилищного фонда, всё множество многоквартирных жилых домов (МКД) сгруппируем в m типов и обозначим номер типа индексом i. Каждый тип здания характеризуется определённым набором конструктивных элементов, которые обозначим через j. Общее количество конструктивных элементов у здания категории i обозначим через n_i. Приняв, что формирование программы воспроизводства жилищного фонда ведётся на временном периоде длительностью Т, обозначим через y_kijt вид работ по капитальному ремонту j-го конструктивного элемента k-го здания, относящегося к категории i, в момент времени t; , , , t = 0, …, T-1.

В качестве исходных данных для решения задачи формирования программы воспроизводства жилищного фонда используются ряды последовательных оценок для каждого вида работ по капитальному ремонту конструктивных элементов , полученные в результате обследования существующего жилищного фонда. При решении задачи требуется определить функции, для которых нет аналитических зависимостей. В то же время факторы, имеющие наибольшее значение, известны: физический износ, тип здания, продолжительность ремонтных работ, объём финансовых затрат и т. д. Поэтому на основе статистических данных можно задать эти функции в форме таблицы, которая строится по данным обследования существующего жилищного фонда и расчетных параметров проведения ремонтных работ. Для этого по каждому виду работ определяются: продолжи­тельность ремонтных работ , объём финансовых затрат на прове­дение капитального ремонта , ожидаемые поступления за жилищно-коммунальные услуги (ЖКУ) за период времени до следующего капитального ремонта (ожидаемый экономический эффект от капитального ремонта j-го конструктивного элемента здания i-го типа) , где j — тип конструктивного элемента, i — тип здания (см. табл. 1 [2]).

Таблица 1.

Технико-экономические зависимости для здания i-й категории

Решение задачи ведётся в дискретном времени. Номер отрезка времени обозначим индексом t=0, …, T, где Т — длительность планового периода.

Для обеспечения объектной и временной привязок ремонтных работ представим перспективный план в виде множества временных диаграмм (см. рис. 1). Одна временная диаграмма соответствует одному конструктивному элементу (виду работ). Диаграммы разбиты на Т отрезков, соответствующих моментам времени t=0, …, T, в качестве которых могут выступать неделя, декада, месяц, квартал.

Рисунок 1. Временные диаграммы производства ремонтных работ

Каждой ячейке временной диаграммы ставится в соответствие булева величина , принимающая значение 1, если запланирован ремонт j-го конструктивного элемента k-го здания i-й категории, в момент времени t и 0 в остальных случаях. Совокупность переменных  формирует программу. При этом, ожидаемые поступления оплаты ЖКУ за период времени до следующего капитального ремонта и затраты при выполнении ремонтной работы для j-го элемента k-го здания i-й категории в момент времени t определяются произведениями x_kijt´e_kijt и x_kijt´c_kijt соответственно. Тогда в качестве целевой функции постановки задачи формирования программы воспроизводства жилищного фонда примем разность между ожидаемыми поступлениями и затратами на проведение капитального ремонта [4]:

.              (1)

Ограничение на объём финансовых ресурсов запишем в следующем виде:

,                               (2)

где С — максимальный (установленный) объём финансирования, выделенный для выполнения программы воспроизводства жилищного фонда.

Для записи требования безаварийного состояния зададим константы, определяющие предельно допустимое значение физического износа: , , . Если фактическое значение физического износа отдельного конструктивного элемента оказывается меньше этой величины, то он может быть включен в программу. В противном случае конструктивный элемент не подлежит капитальному ремонту по причине его экономической нецелесообразности связанной с существенным ростом затрат на его проведение.

В результате ремонта значение физического износа уменьшается до величины, определяемой функцией неустранимого износа . Изменённый в результате ремонта физический износ обозначим , тогда условие безаварийности записывается в виде:

.                                          (3)

Установим ограничение на количество одновременно выполняемых видов ремонтных работ:

,                                               (4)

где:

 — время начала l-го вида ремонтных работ (l=1, …,L) по j-му конструктивному элементу k-го здания (МКД).

Это ограничение устанавливается опытным путем, исходя из возможности привлечения субподрядных организаций к выполне­нию определенных видов работ на основании заключенных договоров.

Ограничение на начало ремонтных работ, исключающее выход процесса ремонта за границы периода планирования Т имеет следующий вид:

,, , (5)

На переменные x_kijt также налагаются ограничения, связанные с определенной последовательностью выполнения отдельных видов работ. Начальным условием выполнения отдельных видов работ на объекте будет невозможность начала последующей работы до тех пор, пока не закончена определенная часть предыдущей работы. Общая продолжительность выполнения работы определяется величиной t_kijt.

Обозначим  — время начала l-й работы, тогда условие, при котором она не подлежит выполнению, можно записать следующим образом:

,                    (6)

Таким работам присваивают индекс 0. Изначально никакая ремонтная работа не должна проводиться параллельно с работой, имеющей индекс 0.

               (7)

В случае невозможности выполнить ограничение безаварийности (3) целесообразно преобразовать его в критерий оптимальности, минимизирующий наибольший (8) или средний (9) ожидаемый износ на протяжении периода планирования:

                           (8)

.                                  (9)

В общем случае схема формирования программы воспроизводства жилищного фонда включает 2 этапа: 1) получение допустимого решения с учетом ограничений и принятого критерия оптимальности; 2) проведение оптимизации допустимого решения при помощи генетического алгоритма. Целью первого этапа является поиск оптимального варианта решения задачи при условии выполнения ограничений. Полученное на первом этапе решение имеет приближенный характер и может использоваться в качестве начального в алгоритме оптимизации программы воспроизводства жилищного фонда на втором этапе. Для решения этой задачи целесообразно использовать эвристические численные методы и генетические алгоритмы.

Для оптимизации программ воспроизводства жилищного фонда с применением генетического алгоритма в качестве исходных данных (начальной популяции) используются расчетные значения сметной стоимости c_kijt, соответствующие каждому блоку ремонтных работ [4].

Тогда исходным решением нашей задачи в формализованном виде для варианта z будет ограничение на объём финансовых ресурсов (2), которое можно записать следующим образом:

C^z =                   (10),

где:  — вероятность реализации вида работ в рамках программы воспроизводства жилищного фонда с учетом установленных исходных значений сметной стоимости, которая определяется по формуле:

                                         (11)

Поскольку основные характеристики ремонтных работ не претер­певают изменений, то условие (10) можно представить в таком виде

C^z== (c, p^z) ≤ C                                (12)

В формуле (12) запись (c, p^z) означает скалярное произведение вектора c={c_kijt} на вектор p^z={}, а проекции вектора  принимают значения от 0 или 1.

Таким образом, формула (12) описывает значение целевой функции, для которой необходимо найти максимум при ограничении вида

SC^z £ C                                                      (13),

где: C — объем средств, выделенных для реализации программы воспроизводства жилищного фонда.

Первым шагом в последовательности применения генетического алгоритма является поиск в исходной популяции (программы воспроизводства жилищного фонда) и потенциальных решений (наборов ремонтных работ) размером Q, который реализуется посредством генерации случайных выборок из нулей и единиц с последующим отбором элементов (видов работ), удовлетворяющих условию (13). Оператор отбора осуществляет выбор потенциальных пар «родителей» для создания новой популяции на основе макси­мальных расчетных значений показателя вероятности воспроизведения видов работ (их реализации в рамках программы воспроизводства жилищного фонда) с учетом установленных исходных значений сметной стоимости их выполнения [1, 5]. Описанная последова­тельность выбора отдельных видов работ соответствует технологии пропорционального отбора. В теории генетических алгоритмов существуют и используются и другие подходы к процедуре отбора: турнирный [6], ранговый, элитарный отбор [7] и др.

Шаг алгоритма завершается объявлением нового поколения текущим и его проверкой на выполнение критерия оптимальности. Описанная выше последовательность будет повторяться до тех пор, пока на одном из потомков исходной популяции (программы воспроизводства жилищного фонда) не будет достигнуто условие SC^z=C. Если это условие не достигнуто, а число итераций не превышает предельно допустимого значения I_max (обычно устанавливается перед началом расчетов), то из всех полученных вариантов снова отбираются Q лучших по показателю новой расчетной вероятности воспроизведения и процесс повторяется, начиная с сопоставления вероятности воспроизведения.

Описанный выше алгоритм формирования и оптимизации программы воспроизводства жилищного фонда в любом случае будет конечным, поскольку расчеты заканчиваются либо в случае достижения абсолютного результата (SC^z=C), либо в случае достижения установленного значения предельно допустимого числа итераций I_max.

Таким образом, применение генетических алгоритмов оправдано не только на этапе формирования программы капитального ремонта жилищного фонда, но и при ее непосредственной реализации, поскольку обеспечивает поиск наиболее эффективных вариантов ее реализации при изменении целевых объемов финансирования или значений ограничений по ресурсам.

Список литературы:

1.Еремеев А.В. Генетические алгоритмы и оптимизация. Учебное пособие. — Омск: ОмГУ, 2008.

2.Ларин С.Н., Евдокименко Н.Л. Капитальный ремонт как основа воспроизводства жилищного фонда в кризисных условиях. // Региональная экономика: теория и практика. — 2009. — № 29. С. 34—39.

3.Ларин С.Н. Воспроизводство жилищного фонда: генетический алгоритм. // Проблемы теории и практики управления, 2011, № 6. С. 61—69.

4.Ларин С.Н. Современный инструментарий моделирования и оптимизации программ воспроизводства жилищного фонда. // Аудит и финансовый анализ. — 2011. — № 5. С. 347—359.

5.Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. / Под ред. Ю.Ю. Тарасевича. — Астрахань: ИД «Астраханский университет», 2007.

6.Goldberg D.E., Deb K., Clark J.H. Genetic algorithms, noise, and the sizing of populations. // Complex Systems, 1992. № 6. P. 333—362.

7.De Jong K. An analysis of the behavior of a class of genetic adaptive systems. — University of Michigan, 1975.