Решение задачи оптимальной нелинейной фильтрации как задачи анализа систем со случайными обрывами и ветвлениями траекторий

Рыбаков Константин Александрович

канд. физ.-мат. наук, доцент МАИ, г. Москва

E-mail:

Введение. Задача оценивания вектора состояния является одной из основных задач теории стохастических систем управления, так как координаты вектора состояния, как правило, могут быть измерены лишь косвенно и со случайными ошибками, поэтому возникает задача приближенного восстановления вектора состояния по результатам измерений: задача оценивания текущего состояния, или задача фильтрации. Задача оптимального оценивания, или задача оптимальной фильтрации, состоит в восстановлении вектора состояния по результатам измерений в соответствии с заданным критерием оптимальности, например, критерием минимума среднеквадратической ошибки оценивания [4, 6].

В представленной работе предлагается решать задачу оптимальной нелинейной фильтрации как задачу анализа стохастической системы с обрывами и ветвлениями траекторий. Решение такой задачи анализа можно найти приближенно, используя методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования неоднородных пуассоновских потоков [2–4]. При использовании критерия минимума среднеквадратической ошибки оптимальная оценка может быть получена в результате усреднения по пучку траекторий системы, которая отличается от исходного объекта наблюдения только тем, что ее траектории обрываются и разветвляются в случайные моменты времени, их распределение определяется результатами измерений оцениваемого вектора состояния. По результатам моделирования траекторий системы с обрывами и ветвлениями можно оценить апостериорную плотность вероятности (при фиксированных измерениях).

По сравнению со многими существующими методами решения задачи оптимальной нелинейной фильтрации в предлагаемом подходе нет упрощения функций, входящих в уравнения моделей объекта наблюдения и измерительной системы, не накладываются ограничения на вид апостериорной плотности вероятности или структуру уравнений фильтра. Предлагаемый подход основан на интерпретации одного из слагаемых в уравнении Дункана–Мортенсена–Закаи как функции поглощения и восстановления траекторий [1, 5].

Постановка задачи. Будем рассматривать модель объекта наблюдения, описываемую стохастическим дифференциальным уравнением Ито [4, 6]

                   (1)

где  – вектор состояния;  – отрезок времени функционирования;  – -мерный стандартный винеровский процесс, не зависящий от ;  ,   – заданные функции. Начальное состояние  определяется заданной плотностью вероятности .

Модель измерительной системы записывается в форме

где  – вектор измерений;  – -мерный стандартный гауссовский белый шум;  ,   – заданные функции.

Задача оптимальной фильтрации состоит в нахождении оценки  по результатам измерений : , где  – функция, обеспечивающая в каждый момент времени  выполнение условия

Известно [4, 6], что в этом случае ,

где  – апостериорная плотность вероятности вектора состояния .

Ненормированная апостериорная плотность вероятности  вектора состояния  удовлетворяет уравнению Дункана–Мортенсена–Закаи (в форме Стратоновича) [4]:

                                         (2)

в котором

Сведение к задаче анализа стохастической системы с обрывами и ветвлениями траекторий. Далее будем предполагать, что измерения фиксированы, поэтому стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных (2) можно рассматривать как детерминированное дифференциальное уравнение. Оно, если представить функцию  в виде

где

по структуре будет аналогично обобщенному уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова или уравнению Колмогорова–Феллера [1, 5]. Тогда в уравнении

слагаемые  и  характеризуют обрывы и ветвления траекторий процесса , а именно функция  – интенсивность обрыва траекторий, т.е. вероятность  обрыва траектории на промежутке времени  при  и  удовлетворяет соотношению . Функция  – интенсивность ветвления траекторий, вероятность  ветвления траектории при  и  удовлетворяет соотношению .

Уравнение Дункана–Мортенсена–Закаи не обладает свойством сохранения вероятности в отличие от уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова или Колмогорова–Феллера, его решение – функция  – не нормировано к единице:  В частности, это следует из того, что обрывы и ветвления траекторий процесса  происходят в разные моменты времени, так как если , то , и если , то , поэтому для получения апостериорной плотности вероятности  необходима нормировка: ,

Следовательно, функции  и  характеризуют распределение вектора  – состояния объекта наблюдения, описываемого уравнением (1), – с учетом того, что часть траекторий случайного процесса  обрывается, а часть – разветвляется в случайные моменты времени. Обрывы и ветвления траекторий образуют неоднородные пуассоновские потоки событий с интенсивностями  и  соответственно, фактически процесс  управляет временем появления обрывов и ветвлений. При ветвлении в фиксированный момент времени может появиться только одна новая ветвь, каждая из новых ветвей рассматривается как самостоятельная траектория, при обрыве прекращается моделирование только одной ветви.

Заметим, что с учетом обрывов и ветвлений требуется уточнение понятия «вектор состояния», однако это не принципиально, так как при оценивании  требуется усреднение или оценка плотности вероятности по пучку траекторий и такой интерпретации ветвящегося процесса, когда каждая новая ветвь рассматривается как самостоятельная траектория, оказывается достаточно.

Для приближенного определения оптимальной оценки  предлагается использовать метод статистических испытаний: моделирование вспомогательных траекторий случайного процесса  с учетом обрывов и ветвлений при фиксированных измерениях  с последующим усреднением. При этом можно применять различные методы численного решения стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования неоднородных пуассоновских потоков [2–4].

Преимущества предлагаемой методики оптимального оценивания:

а)  получение оценки в темпе с поступлением измерений;

б)  простота реализации, так как можно применять известные численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений и методы моделирования неоднородных пуассоновских потоков, вычислительная сложность алгоритма напрямую зависит от вычислительной сложности применяемых численных методов и методов моделирования псевдослучайных чисел;

в)  универсальность, а именно возможность решения задачи оптимальной фильтрации для линейной, нелинейной или существенно нелинейной моделей объекта наблюдения и измерительной системы (под существенно нелинейной понимается модель, задаваемая недифференцируемыми коэффициентами сноса или диффузии), для одномерного и многомерного случаев.

Список литературы:

1.Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. М.: Физматлит, 1993.

2.Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010.

3.Михайлов Г.А., Аверина Т.А. Алгоритм «максимального сечения» в методе Монте-Карло // ДАН. 2009. Т. 428. № 2. С. 163–165.

4.Пантелеев А.В., Руденко Е.А., Бортаковский А.С. Нелинейные системы управления: описание, анализ и синтез. М.: Вузовская книга, 2008.

5.Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. М.: Вузовская книга, 2006.

6.Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990.