СХЕМА ИНТЕГРИРОВАНИЯ МЕТОДОМ РЯДОВ ТЕЙЛОРА ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ

SCHEME OF INTEGRATION BY THE METHOD OF TAYLOR SERIES FOR A TWO-BODY PROBLEM

Anna Dmitrieva

Student, Saint Petersburg State University,

Russia, Saint Petersburg

Elizaveta Dorofeeva

Student, Saint Petersburg State University,

Russia, Saint Petersburg

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается использование метода рядов Тейлора для решения задачи двух тел. Математическая модель задачи двух тел рассматривается как полиномиальная полная система дифференциальных уравнений в частных производных. Составляется схема применения метода Тейлора для полной полиномиальной задачи двух тел.

ABSTRACT

The article discusses the use of the Taylor series method for solving the two-body problem. The mathematical model of the two-body problem is considered as a polynomial complete system of partial differential equations. The scheme of application of the Taylor method for the complete polynomial two-body problem is drawn up.

Ключевые слова: метод рядов Тейлора, полиномиальная полная система УрЧП, полиномиальная система, задача двух тел.

Keywords: Taylor series method, polynomial total PDE system, system, two-body problem.

Введение

С развитием технологии возросло количество задач, возлагаемых на вычислительные устройства, но, так как темпы роста мощностей новых компьютеров не идут ни в какое сравнение с теми, что были еще несколько десятилетий назад, сейчас особенно важно исследовать различные численные методы решения задач, чтобы при необходимости можно было использовать оптимальный алгоритм.

Для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений наиболее распространены пошаговые методы. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге –Кутта и рядов Тейлора. Метод рядов Тейлора часто имеет преимущество в точности вычислений, но из-за необходимости при его применении многократного вычисления коэффициентов рядов, этот метод при реализации может оказаться очень громоздким и медленным. Но в случае, когда интегрируемая система имеет полиномиальные правые части, коэффициенты Тейлора вычисляются по простой рекуррентной формуле [1], и этот численный метод становится предпочтительнее для решения сложных задач.

В этой статье рассматривается применение метода рядов Тейлора для интегрирования задачи двух тел, смоделированной с помощью полиномиальных полных систем дифференциальных уравнений в частных производных.  Работа основана на новых результатах, представленных в [1]. С помощью этих результатов разработана схема применения метода Тейлора к задаче двух тел.

Задача двух тел

Задача двух тел заключается в изучении их движения под действием гравитационных сил взаимного притяжения. Эти два тела считаются изолированными от других тел и любых других воздействий. Как и в большинстве случаев я рассматривала задачу о движении двух материальных точек, то есть полагая, что масса каждого из тел целиком сосредоточена в его центре масс, и пренебрегая формой и размером тел. Я рассматривала относительно движение, когда начало системы отсчета было помещено в центр масс одного из тел.

Таким образом задача двух тел состоит в определении движения двух тел, взаимодействующих только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Уравнения движения в задаче двух тел

Рассмотрим уравнения движения точки массы m в центральном Ньютоновском поле массы m⁰, используя относительную декартову систему координат в точке с массой m⁰  [2-4]:

          (0)

И решения этой системы в общем виде в эллиптическом случае:

                                 (1)

                            (2)

  (3)

где  (большая полуось),  (эксцентриситет),  (средняя аномалия в момент ),  (долгота восходящего узла),  (наклонение),  (аргумент перицентра) – Кеплеровы элементы орбиты;  (эксцентрическая аномалия),  (средняя аномалия) – функции времени, а  - гравитационная постоянная.

Полиномиальные системы

Для применения формул метода рядов Тейлора, представленных в [1], запишем уравнения движения задачи двух тел в форме полиномиальной полной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для этого используем метод полиномиальных систем, который предполагает введение новых переменных [5,6]. В Таблице 1 записаны введенные функции и их аргументы. Функции и аргументы взяты из работ [7, 8].

Таблица 1.

Будем рассматривать функции  как функции от t. Теперь выпишем полную полиномиальную систему дифференциальных уравнений в частных производных:

                                        (4)

Численное решение задачи двух тел методом рядов Тейлора

В качестве первого шага численного интегрирования различных сложных нелинейных систем часто используется интегрирование исходной системы, линеаризованной около положения равновесия. Анализ такого подхода в рассматриваемой задаче показал, что положение равновесия задачи двух тел находится в бесконечности и по значению большой полуоси, и по значению эксцентриситета. Поэтому эту задачу целесообразно решать сразу в полиномиальном виде, минуя этап линеаризации. Результаты, представленные в статье [1], позволяют использовать для интегрирования системы (4) метод рядов Тейлора. Схема применения этого метода состоит из нескольких шагов и приведена ниже.

Схема применения метода рядов Тейлора для полиномиальной задачи двух тел

1. Полиномиальная полная система уравнений (4) в общем виде может быть представлена как

           (5)

где

.

2.  Вводим начальные условия:

  - начальный момент времени (компонента  вектора ),

– гравитационный параметр,

e – значение эксцентриситета (компонента  вектора ),

a – большая полуось (компонента  вектора ),

M₀ – средняя аномалия в начальный момент времени (компонента  вектора ),

i – наклонение (компонента  вектора ),

Ω – долгота восходящего узла (компонента  вектора ),

ω – аргумент перицентра (компонента  вектора )

3. Вычисляем значения  по формулам из таблицы 1

4. Шаг  считаем по формуле , где , находим из оценки, описанной в [2]:

                             (6)

где .

Считаем .

5. Общий вид коэффициентов Тейлора

,                              (7)

 – коэффициент Тейлора.

В рассматриваемой задаче считаем правую часть системы (7) по формулам (4) используя начальные условия из шага 2, полученные на шаге 3 значения  и шаг :

,                     (8)

6. Оцениваем результаты интегрирования по формуле

                    (10)

где   .

7. Принимаем  как новые   , а   как новое и возвращаемся на шаг 3.

Заключение

Представленная выше схема применения метода рядов Тейлора для интегрирования полиномиальной задачи двух тел является универсальной и, с незначительными изменениями, может использоваться для численного решения любых других сложных прикладных задач, представимых в форме полиномиальных полных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Список литературы:

1. L. K. Babadzanjanz, I. Yu. Pototskaya, Yu. Yu. Pupysheva Estimates for Taylor series method for polynomial total systems of PDEs Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления., Том 17, Вып.1, 2021, стр. 27-39
2. Холшевников К.В., Титов В.Б. Задача двух тел: Учеб. пособие. – СПб., 2007. – 180 с.
3. Брэгман А.М. Движение тела, управляемого малой тягой в поле Ньютона: Магистерская диссертация. СПб., Санкт-Петербургский Государственный университет, 2014, 145 с.
4. Емельянов Н. В. Практическая небесная механика. – М.: Физический факультет МГУ, 2018. 270 с.
5. Бабаджанянц Л.К. Метод рядов Тейлора // Вестник СПбГУ, серия 10 «Прикладная математика. Информатика. Процессы управления», 2010, вып.3, стр.13-29.
6. Бабаджанянц Л.К. Метод дополнительных переменных // Вестник СПбГУ, серия 10 «Прикладная математика. Информатика. Процессы управления», 2010, вып. 4, стр.3-11.
7. L. K. Babadzanjanz, I. Yu. Pototskaya, Yu. Yu. Pupysheva Estimates for Taylor series method to linear total systems of PDEs  // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2020. Т. 16. Вып. 2. С. 112–120.
8. Бабаджанянц, Л. К., Брэгман, А. М., Брэгман, К. М., Касикова, П. В., & Петросян, Л. А. (2016). Полные системы уравнений для задачи двух тел. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ - ОТ ТЕОРИИ К ПРАКТИКЕ, 8(56), 13-20.