ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ В ПОЛУПОЛОСЕ

PROOF OF UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE EQUATION OF THE MIXED TYPE WITH TWO LINES OF DEGENERATION IN THE SEMI-STRIP

Viner Vagapov

candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor

of Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Malika Bekdzhanova

master of the 1st course

of Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

Для уравнения эллиптико − гиперболического типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения доказан критерий единственности решения первой граничной задачи.

ABSTRACT

For the equation of elliptiko − hyperbolic type with two perpendicular lines of sedate degeneration criterion of uniqueness of the solution of the first boundary task is proved.

Ключевые слова: полуполоса, уравнение смешанного типа с двумя линиями вырождения, задача Дирихле, критерий единственности решения.

Keywords: a semi-strip, the equation of the mixed type with two lines of degeneration, Dirichlet problem, criterion of uniqueness of the solution.

1. Введение. Рассмотрим уравнение смешанного типа

                                                                 (1)

в бесконечной прямоугольной области , где  и  − заданные действительные числа.

Задача Дирихле. Найти в области  ограниченную функцию , удовлетворяющую условиям:

                                        ;                                  (2)

                                        ;                                   (3)

                                    ;                                  (4)

                                          ;                                        (5)

где  − заданная достаточно гладкая функция, причём , , .

В работах [3, 4] для уравнения (1) в случае  изучена задача Трикоми, когда область гиперболичности есть характеристический треугольник. В них единственность решения доказана методом экстремума, а существование проведено методом интегральных уравнений при всех .

В работах [5, 6] исследована задача (2) – (5) для уравнения (1) при  в прямоугольной области  и полуполосе и методами спектрального анализа установлен критерий единственности, решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

В данной статье на основании этих работ доказан критерий единственности решения задачи (2) – (5) при всех , не обязательно равных.

2. Построение частных решений уравнения (1). Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области , будем искать в виде произведения , удовлетворяющего нулевым граничным условиям (4). Подставляя данное произведение в уравнение (1), получим

                                                     (6)

                                                     (7)

                         (8)

где  − постоянная разделения.

Решение спектральной задачи (6) и (7) определяется по формуле

                                 (9)

                                                   (10)

где  − функция Бесселя первого рода,  − й корень уравнения . Отметим, что система собственных функций (9) задачи (6) и (7) ортогональна в пространстве  с весом , так как

при , а также полна в пространстве  с весом , доказательство чего проводится аналогично [2, c, 362].

На основании результатов [7] общее решение дифференциального уравнения (8) имеет вид

             (11)

где  − функция Бесселя второго рода,  и  − модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода соответственно,  − произвольные постоянные, , .

Теперь в (11) на основании (2) подберем постоянные  так, чтобы выполнялись условия сопряжения:

                   (12)

На основании асимптотических формул для функций Бесселя при  [1, с. 102]:

       ~, ~, ~, ,     (13)

первое из равенств (12) выполнено, если  при любых  и , а второе равенство имеет место при  и . С учетом последних равенств функции из (11) примут вид

          (14)

     (15)

По условию решения  уравнения (1) ограничено на бесконечности, поэтому построенные функции  должны быть ограниченными при . Это возможно при  для всех , так как решение  стремится к бесконечности при . Тогда полагая в (14) , получаем

                                  (16)

Таким образом, ограниченные в области  частные решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) – (4), определяются по следующей формуле:

                          (17)

где  задаются по формуле (9).

3. Единственность решения задачи Дирихле. Пусть  − решение задачи (2) − (5). Рассмотрим функции

                                           ,                 (18)

где  определяются по формуле (9).

На основании (18) введем функции

                                 ,                              (19)

где  − достаточно малое число. Поскольку функции  удовлетворяют уравнению (6), то отсюда выразим  и подставим в (19):

                                    .                                          (20)

Интегрируя два раза по частям интеграл (20) и используя уравнение (1) при , получим

                                .                            (21)

Переходя в (21) к пределу при с учетом условий (4) и (7), получим, что  удовлетворяет дифференциальному уравнению

,

которое совпадает с уравнением (8) при . Тогда  на промежутке , т.е. функции  определяются по формуле (16) и имеют вид

                                                                          (22)

Для нахождения постоянных  воспользуемся граничным условием (5) и формулой (18):

                     .                   (23)

Тогда из (22) и (23) при условии

                                                                                             (24)

имеем

                                                          .                                               (25)

Подставляя (25) в (22), найдем окончательный вид функций :

                                                                     (26)

Пусть теперь  и выполнено условие (24). Тогда из равенств  (23) и (26) следует, что  при всех . Учитывая это, получим

.

Отсюда, в силу полноты системы  в пространстве  с весом , следует, что  почти для всех  и при любом . Поскольку , то  в .

Пусть теперь при некоторых  и  нарушено условие (24), т.е. . Тогда однородная задача (2) – (5) (где ) имеет нетривиальное решение

Таким образом, установлен следующий критерий единственности.

Теорема. Если существует решение  задачи (2) – (5), то оно единственно тогда и только тогда, когда  при всех .

Список литературы:

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.II. М.: Наука, 1973. - 297 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988, - 512 с.
3. Сабитов К.Б., Карамова А.А., Шарафутдинова Г.Г. К теории уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. 1999. №11. С. 70 – 80.
4. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №6. С. 788 – 800.
5. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // ДАН. 2007. Т. 413. №1. С 23 – 26.
6. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в полуполосе // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. №10. С. 1417 – 1422.
7. Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа //Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 1. С. 105 −113.