ОБОБЩЕННЫЙ  ПАРАМЕТР  ДИФРАКЦИОННОЙ  ДИАГРАММЫ  ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО  ЦИЛИНДРА

Андросик  Андрей  Борисович

канд.  техн.  наук,  доцент  МГОУ,  г.  Москва

Мировицкая  Светлана  Дмитриевна

канд.  техн.  наук,  доцент  МГОУ,  г.  Москва

E-mail:  scotchwood@yandex.ru

Моделирование  рассеяния  электромагнитных  волн  на  диэлектрических  телах  представляет  практический  интерес  для  дистанционного  зондирования  (с  целью  определения  отражающих  свойств  тела,  его  поперечного  сечения  и  показателя  преломления  материала).  Широко  используемый  метод  представления  решения  соответствующей  задачи  дифракции  суперпозицией  частных  решений  связан  с  аппроксимацией  заданного  объекта  системой  более  простых  моделей.  Для  применения  метода  необходимо  располагать  данными  по  рассеянию  на  достаточно  простых  моделях  —  цилиндре  и  сфере.  Точное  решение  для  больших  (в  длинах  волн  λ)  объектов  получить  затруднительно.  Поэтому  разработка  методики  определения  геометрических  параметров  протяженных  диэлектрических  цилиндров,  диаметры  которых  измеряются  вплоть  до  1000  λ  и  более,  а  также  объектов  с  центральной  симметрией,  как  однородных,  так  и  неоднородных  многослойных  и  градиентных,  потребовало  разработки  более  эффективного  метода  решения  соответствующей  задачи.

Решение  задачи  дифракции  плоской  волны  на  круговом  металлическом  и  однородном  диэлектрическом  цилиндре  записывается  в  виде  разложения  по  цилиндрическим  функциям,  как  для  параллельной,  так  и  перпендикулярной  поляризации  волн  относительно  оси  цилиндра.  Простейшей  моделью  является  однородный  цилиндр  без  оболочки  с  радиусом  R₁  и  показателем  преломления  диэлектрика  n₁,  на  который  падает  монохроматическая  волна,  распространяющаяся  в  окружающем  пространстве  с  показателем  преломления  n₀  (длина  волны  λ).  Возникающая  дифракционная  картина  наблюдается  в  дальней  зоне.  Распространение  интенсивности  излучения ,  рассеянного  в  направлении  азимутального  угла  α  в  дальней  зоне  на  расстоянии  r  от  оси  металлического  цилиндра  много  большем,  чем  его  диаметр,    описывается  формулой:

,  (1)

полученной  из  точного  решения  уравнений  Максвелла  с  соответствующими  граничными  условиями.  Падающее  излучение  распространятся  в  направлении  α=0.

Известно  [2,  с.  157],  что  от  диаметров  металлических  и  диэлектрических  цилиндров  зависят  расстояния  l_i  между  соответствующими  минимумами  дифракционной  картины,  зарегистрированной  в  дальней  зоне  (а,  следовательно,  и  их  угловые  положения  α_i).  Поэтому  необходимо,  помимо  расчетов  дифракционных  картин  для  различных  цилиндров  осуществлять  вычисления  кривых  зависимости  α_i  =  α_i  (2R),  т.  е.  кривых  угловых  положений  минимумов  как  функции  диаметра  цилиндра.  С  целью  определения  углового  положения  первых  N  минимумов  дифракционной  диаграммы  вычисляется  по  формуле  (1)  массив  значений  углового  распределения  интенсивности  J  (α).  Значения  массива  J  (α)  нормируются  делением  найденной  интенсивности  на  J  (0)  и  запоминаются  в  виде  массива,  выдаваемого  на  печать.  Далее  производится  последовательный  просмотр  массива  значений  интенсивности  дифрагированного  поля  в  вычисленных  углах,  начиная  с  третьего  значения  массива,  т.  е.  с  угла  2h_α.  Здесь  h_α  —  шаг  расчета  массива  нормированных  значений  углового  распределения  интенсивности  рассеянного  излучения.  Производится  сравнение  величины  интенсивности  при  этом  угле  со  значениями  при  двух  предыдущих  углах. 

Искомый  истинный  минимум  дифракционной  картины  (ДК)  имеет  место  только,  если  найденные  значения  интенсивности  в  средней  точке  меньше  соответствующих  значений  для  окружающих  ее  (первой  и  третьей)  точек.  Поэтому  при  возникновении  условий  такого  неравенства  следует  фиксировать  значение  углового  положения  этого  истинного  минимума  [1,  с.  45].  Просмотр  полученного  массива  J  (α)  производится  до  тех  пор,  пока  не  будет  зафиксировано  выбранное  число  N  первых  минимумов  дифракционной  диаграммы.  Изложенная  процедура  позволяет  осуществить  прямое  нахождение  угловых  положений  α.  ее  минимумов  диаграмм  с  погрешностью,  не  превосходящей  h._α,  т.  е.  равной  шагу  по  углу,  с  которым  была  вычислена  сама  картина.

Для  металлического  цилиндра  угловое  положение  минимумов  определяется  приближенно  простым  соотношением.  α=,  где  i  —  порядковый  номер  минимума  (при  отсчете  от  оси  α=0),  α_i  —  угол,  при  котором  для  зависимости  J  (α)  имеет  место  i-й  минимум;  l  —  коэффициент  пропорциональности.  Эта  зависимость  иллюстрируется  серией  кривых  углового  положения  первого  (1),  второго  (2),  третьего  (3)  и  четвертого  (4)  минимумов  картин  рассеяния  при  изменении  диаметра  от  36  мкм  до  60  мкм  с  шагом  1  мкм,  вычисленных  с  точностью  50  точек/градус  (рис.  1).

При  переходе  к  диэлектрическому  цилиндру  эта  закономерность  для  положения  минимумов  существенно  усложняется  за  счет  наличия  рефрагировавшего  поля  [5,  с.  174].  Расчетным  путем  найдены  зависимости  углового  положения  первого,  второго  и  третьего  минимумов  (относительно  продольной  оси  α  =  0)  от  диаметра  цилиндра  и  показателя  преломления.  Кривые  для  однослойных  (однородных)  цилиндров  в  широком  диапазоне  изменения  их  диаметров,  рассчитанные  при  параллельной  поляризации  облучающей  плоско  волны  с  шагом  20  точек/градус  при  различных  показателях  преломления,  представлены  на  рис.  2,  а,  б.  Из  сравнения  кривых  рис.  1  и  2  следует  основополагающий  вывод  о  принципиальной  разнице  в  характере  поведения  кривых  α  =  α(2R)  для  металлических  и  диэлектрических  цилиндров.  Первые  монотонно  спадают  с  увеличением  диаметра  цилиндра.  Это  обусловлено  отсутствием  рефрагирующих  лучей  [3,  с.  68].  C  другой  стороны  у  вторых,  за  счет  интерференции  рефрагировавших  и  дифрагировавших  полей  возникает  ярко  выраженная  осцилляция  кривых  α_min  =  α  (2R).

Зависимость  углового  положения  1-го  минимума  имеет  убывающий,  с  увеличением  диаметра,  характер  с  синусоидальной  модуляцией  (за  счет  интерференционных  эффектов),  причем  с  ростом  номера  минимума  эта  закономерность  перестает  соблюдаться  [4,  с.  34].  Так,  на  кривой,  определяющей  угловое  положение  пятого  минимума  ДК  (рис.  2,б)  имеют  место  выбросы  при  2R₁  ≈  45  и  52  мкм.  Поэтому  в  процессе  измерения  диаметров  цилиндров,  индикацию  сигнала  целесообразно  производить  не  на  плавном  участке  кривой  I  =  f  (2R),  что  делается  для  случая  металлического  цилиндра,  а  на  крутом  спаде  синусоидально  осциллирующей  зависимости  для  диэлектрического  цилиндра,  убывающим  с  ростом  диаметра.  Это  позволяет  существенно  повысить  точность  измерений  диаметров.  Угловые  положения  первых  минимумов  (относительно  оси  α  =  0)  для  металлического  цилиндра  обратно  пропорциональны  диаметру.  Для  диэлектрического  цилиндра  эта  зависимость  нарушается,  появляются  осцилляции  сигнала,  имеющие  явно  выраженный  синусоидальный  характер  (рис.  3,  а—в).

Максимальная  амплитуда  углового  отклонения  от  положения  минимумов  для  металлического  цилиндра  уменьшается  с  ростом  диаметра  диэлектрического  цилиндра,  а  период  осцилляций  снижается.  Кроме  того,  амплитуда  отклонения  положения  минимума  кривой  для  диэлектрического  цилиндра  от  положения  соответствующего  минимума  кривой  для  металлического  цилиндра  почти  не  зависит  от  показателя  преломления  материалов.  Период  осцилляций  кривой,  существенно  зависит,  однако,  от  значения  n  —  показателя  преломления  диэлектрического  материала  цилиндра.  Анализ  кривых  рис.  3  показывает,  что  максимальная  амплитуда  отклонения  положения  минимумов  для  диэлектрических  цилиндров  от  соответствующих  кривых  для  металлических  цилиндров  с  ростом  диаметра  диэлектрического  цилиндра  уменьшается,  а  период  осцилляций  становится  меньшим  и  существенно  зависит  от  значения  показателя  преломления  материала  цилиндра. 

Была  установлена  следующая  весьма  важная  закономерность.  Параметр  ά  =  α₁  +  α₂/2  в  широком  диапазоне  изменения  диаметров  цилиндров  практически  не  зависит  от  показателя  преломления  n  диэлектрика  и  имеет  то  же  значение  параметра  ά.  для  металлического  цилиндра.  График  зависимости  параметра  ά  от  диаметра  цилиндра  при  n  =  1,5818,  рассчитанный  с  шагом  200  точек/градус  при  длине  волны  облучения  λ  =  0,89  мкм,  представлен  на  рис.  4.  Здесь  сплошной  линией  нанесен  график  параметра  ά,  причем  колебания  параметра  ά.  не  превышают  1—1,5  %  и  обусловлены  лишь  ошибками  округления  при  вычислении  положения  первого  и  второго  минимумов.

Кривые  углового  положения  первого-третьего  минимумов  дифракционных  диаграмм,  а  также  параметра  ά  =  α₁  +  α₂/2  показаны  на  рис.  5  для  однослойных  диэлектрических  цилиндров  с  диаметрами,  изменяющимися  от  190  мкм  до  220  мкм.  Здесь  же  нанесена  кривая  другого  параметра  α₁  +  α₃/3,  которая  имеет  синусоидально-модуляционный  характер,  т.  е.  она  не  может  быть  использована  для  устранения  расчетным  путем  неоднозначности  зависимости  сигнала  от  диаметра. 

Таким  образом,  установлено,  что  при  измерениях  диаметра  дифракционным  методом  необходимо  определять  параметр  α_m/m  +  α_m+1/(m+1),  где  m  —  номер  минимума,  что  позволяет  производить  суммирование  противофазных  дифракционных  кривых,  т.  е.  обеспечивать  расчетным  путем  компенсацию  нежелательного  интерференционного  эффекта  (дифрагировавшего  и  рефрагировавшего  полей),  приводящего  к  осцилляции  кривой.

В  результате  проведения  численных  экспериментов  было  установлено,  что  значение  параметра  ά₀  =  α₁  +  α₂  /2  для  заданного  диаметра  цилиндра  остается  неизменным  при  изменении  показателя  преломления,  причем  оно  не  отличается  от  значения  ά₀  для  металлического  цилиндра.  В  соответствии  с  результатами  численных  экспериментов,  показавших  особые  свойства  параметра  ά,  он  был  назван  обобщенным.  Для  последнего  параметр  ά₀  =  α.₁  +  α₂  /2  =  2  α₁  =  α₂.  Эта  кривая  получена  расчетным  путем  для  цилиндра  R  =  75  мкм  при  n  =  1,02  +  0,02К,  К  =  0,1,…,  λ  =  0,6328  мкм  с  шагом  400  точек/градус.  Для  диапазона  изменения  показателя  преломления  n  =  1,02—1,8  кривые  представлены  на  рис.  6,  а,  б,  в.  В  результате  отыскания  обобщенного  параметра,  обладающего  уникальным  характером  (компенсации  расчетным  путем  явления  интерференции),  была  показана  принципиальная  возможность  измерения  с  высокой  (близкой  к  случаю  металла)  точностью  параметров  диэлектрических  цилиндров.

Для  любых  значений  n  измеренное  угловое  положение  минимума  дифракционной  картины  α_i  является  функцией  только  радиуса  R  цилиндра.  Полученные  данные  подтвердили,  что  возможно  от  двухпараметрической  зависимости  α  =  f  (R,  n)  для  диэлектрического  цилиндра  перейти  к  однопараметрической  α  =  f  (R),  в  которую  не  входит  значение  показателя  преломления  n.  Она  характерна  для  металлического  цилиндра. 

Аналогично,  при  численном  исследовании  математической  модели  и  для  многослойного  цилиндра  установлено,  что  параметр  для  двухслойного  цилиндра  почти  не  зависит  и  от  диаметра  внутреннего  цилиндра  (рис.  7,  а,  б,  в,  г),  где  радиус  оболочки  R₁  =  50  мкм,  радиус  сердцевины  R₂  =  50  –  2К,  К  =  0,1,2;  n₁=1,5;  n₂=1,8.  С  увеличением  радиусов  R_i  двухслойного  цилиндра  закономерность  поведения  параметра  ά  =  α₁  +  α₂/2  не  нарушается,  хотя  зависимости  углового  положения  минимумов  7—11  теряют  регулярность  поведения,  что  и  наблюдается  на  трех  кривых  рис.  8,  а,  б,  в. 

Таким  образом,  от  реального  диэлектрического  цилиндра  путем  изложенной  математической  операции  (суммирования  противофазных  кривых  α₁  и  α₂/2)  осуществляется  переход  к  фиктивному  металлическому,  для  которого  отсутствует  рефрагирующее  поле,  т.  е.  расчетным  путем  производится  исключение  интерференции  полей  за  счет  устранения  прошедшего  через  диэлектрический  цилиндр,  т.  е.  рефрагировавшего  поля.  В  картине  присутствует  только  дифракционное  поле.

В  общем  случае,  т.  е.  для  любых  кривых  двух  соседних  минимумов  дифракционных  картин  для  однослойных  диэлектрических  цилиндров  определение  обобщенного  параметра  производится  по  формуле:

ά  =  α_m./m  +α_m+1/(m+1).

Таким  образом,  для  повышения  точности  измерений  диаметр  прозрачного  диэлектрического  цилиндра  следует  определять  по  угловым  расстояниям  α_i  и  α_i+1  от  центрального  максимума  до  двух  последовательных  четного  и  нечетного  минимумов  (находящихся,  как  очевидно,  в  противофазе)  в  центральном  секторе  картины  дифракции,  причем  расположенных  по  одну  сторону  от  центрального  максимума. 

Предложенный  способ  повышения  точности  измерения  диаметра  диэлектрического  цилиндра  дифракционным  методом  достигается  путем  устранения  неоднозначности,  имеющей  место  при  регистрации  лишь  первого  минимума  дифракционной  картины.  Она  обусловлена  тем,  что  кривая  зависимости  положения  минимумов  дифракционных  картин  для  диэлектрических  цилиндров  имеет  не  монотонный,  как  для  случая  металла  характер,  а  осциллирующий  около  экспоненты  за  счет  интерференции  двух  полей. 

Список  литературы:

1.Андросик  А.Б.,  Воробьев  С.А.,  Мировицкая  С.Д.  Математические  основы  волноводной  фотоники.  —  М.:  МГОУ,  2010.

2.Воробьев  С.А.,  Андросик  А.Б.,  Мировицкая  С.Д.  Вычислительная  фотоника.  Основы,  задачи,  методы  анализа.  —  Lambert  Academic  Publishing  —  2012  —  183  c.

3.Воронцов  А.А.,  Мировицкая  С.Д.  Дифракция  плоской  волны  на  диэлектрических  цилиндрах  большого  размера.  —  Радиотехника,  1986,  №  2

4.Лазарев  Л.П.,  Мировицкая  С.Д.  Контроль  геометрических  и  оптических  параметров  волокон.  —  М.:  Радио  и  связь,  1988.  —  280  с.

5.Androsik  A.B.,  Vorobev  S.A.,  Mirovitskaya  S.D.  Fundamentals  of  Integrated  Photonics.  —  in  International  Conference  on  European  Science  and  Technology.  —  Wiesbaden,  Germany.  —  2012.  —  р.  155—159.