УСИЛЕННЫЙ  ЗАКОН  БОЛЬШИХ  ЧИСЕЛ  ДЛЯ  T-СВЯЗАННЫХ  НЕЧЕТКИХ  СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН

Гордеев  Роман  Николаевич

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  информационных  технологий  Тверского  государственного  университета,  г.  Тверь

E-mail: 

STROG  LOW  OF  LARGE  NUMBERS  FOR  MUTUALLY  T-RELATED  FUZZY  RANDOM  VARIABLES

Roman  Gordeev

candidate  of  Science,  assistant  professor  of  IT  department  of  Tver  State  University,  Tver

Работа  выполнена  при  финансовой  поддержке  РФФИ,  грант  №  12-01-31339

АННОТАЦИЯ

В  работе  рассматриваются  вопросы  применимости  предельных  теорем  для  сумм  нечетких  случайных  величин,  являющихся  независимыми  относительно  случайной  компоненты  и  взаимно  Т-связанными  относительно  нечеткой  компоненты.

ABSTRACT

The  paper  discusses  the  applicability  of  the  limit  theorems  for  sums  of  fuzzy  random  variables,  which  are  independent  according  to  the  random  component  and  mutually  T-related  according  to  the  fuzzy  component.

Ключевые  слова:  предельная  теорема;  нечеткие  случайные  переменные;  t-норма;  закон  больших  чисел.

Keywords:  limit  theorem;  fuzzy  random  variables;  t-norm;  the  law  of  large  numbers.

Введение.  Нечеткие  случайные  переменные  были  введены  как  полезная  и  хорошо  формализованная  модель  случайных  величин,  принимающих  свои  значения  на  нечетком  множестве.  За  последние  два  десятилетия  эта  формализация  получила  широкое  распространение,  было  разработано  несколько  подходов,  описывающих  возможностную  (нечеткую)  составляющую  этих  случайных  величин.  Среди  них  можно  выделить  работы,  направленные  в  первую  очередь  на  изучение  измеримости  нечетких  случайных  величин  (Пури  и  Ралеску  [7],  Клемент  [3],  Язенин  [9],  Колуби  [2]),  и  работы,  посвященные  изучению  применимости  закона  больших  чисел  для  нечетких  случайных  величин  (Колуби  [1],  Молчанов  [5],  Пури  [6]).

Тем  не  менее,  статистические  аспекты  и  варианты  возможного  применения  нечетких  случайных  величин  в  литературе  до  сих  пор  освещены  недостаточно.  И  хотя  некоторые  из  центральных  предельных  теорем  были  рассмотрены  для  нечетких  случайных  величин  в  работах  Ли  [4],  они  не  позволяют  сформулировать  следствия,  аналогичные  тем,  которые  имеют  место  быть  для  вещественных  случайных  величин.  Изучению  этих  проблем  и  посвящена  настоящая  работа.

1.  Необходимый  математический  аппарат

Предварительно  введем  необходимые  понятия  и  обозначения.  Пусть    —  есть  класс  всех  непустых  замкнутых  подмножеств  в  ,  а    —  подкласс  всех  непустых  замкнутых  и  выпуклых  подмножеств  в  .  Кроме  того  пусть  на    определена  метрика  Хаусдорфа

.

И  норма,  также  называемая  величиной,  для  каждого  множества  ,  определяемая  как

.

Так  же  будем  обозначать  выпуклую  оболочку  множества    через  .

Пусть    является  измеримым  пространством.  Тогда  отображение  из    в    называется  случайным  замкнутым  множеством,  если  оно  измеримо  относительно  меры    и  борелевской  -алгебры,  ассоциированной  с  метрикой  .

Ожидаемым  значением  случайного  замкнутого  множества    назовем  .  Если    интегрируемо,  тогда    принадлежит  .

Для  каждого  ,  являющегося  нечетким  подмножеством  ,  определим    (),  называемое  множеством  уровня  ,  т.  е.  .  Замкнутый  носитель  нечеткого  множества    обозначим  через  .

Обозначим  через    множество  всех  нормальных  нечетких  множеств  ,  таких,  что    для  всех  .  Далее  обозначим  через    все  ,  имеющие  выпуклые  уровневые  множества.  Кроме  того,  обозначим  через    все  ,  имеющие  компактные  носители,  а  через    все  ,  имеющие  выпуклые  уровневые  множества.

Для  всех    определим  выпуклую  оболочку    через  выражение  ,  .

Кроме  того,  зададим  на    слабую  топологию,  порожденную  семейством  отображений  ,  определяемых  выражением  .  Обозначим  эту  топологию  через  .  Так  же  приведем  обозначения  некоторых  важных  метрик:

и

,  .

2.  Закон  больших  чисел  для  сумм  T-связанных  нечетких  случайных  величин

Обозначим    непрерывную  t-норму.  Множество  всех  элементов  из  ,  для  которых  t-норма    является  идемпотентной,  обозначим  Idem(T).  Для  каждого    определим  операцию  сложения

,                    (1)

которая  порождает  Абелеву  группу  в  .  В  частном  случае,  когда  ,  мы  получим  обычное  сложение  для  минисвязанных  нечетких  величин  [9].

Заметим,  что  определенные  таким  образом  операции  соответствуют  базовым  принципам  теории  нечетких  множеств.  Действительно,  выражению    можно  сопоставить  функцию  принадлежности  ,  заданную  на  нечетком  Декартовом  произведении  ,  при  этом  операция  пересечения  определяется  t-нормой  .

В  качестве  дополнительной  операции  мы  будем  рассматривать  операцию  умножения  нечеткого  множества  на  скаляр,  которая  не  зависит  от  выбранной  t-нормы.

Теперь  определим,  что  мы  понимаем  под  нечеткой  случайной  величиной.

Определение  1.  Отображение    будем  называть  нечеткой  случайной  величиной,  или  случайным  элементов  множества  ,  если  отображения    являются  случайными  компактными  множествами  для  всех  .

Определение  2.  Нечеткую  случайную  переменную    будем  называть  почти  ограниченно  интегрируемой,  если    являются  интегрируемыми  для  всех  .

Последнее  определение  дает  нам  условие  существования  единственного  элемента  ,  такого  что    для  всех  ,  называемого  ожидаемым  значением  величины.  Заметим,  что  даже  если  почти  наверное  все  реализации  величины    принадлежат  ,  ее  ожидаемое  значение  может    не  принадлежать.  На  самом  деле,    тогда  и  только  тогда,  когда    является  ограниченно  интегрируемой,  т.  е.    также  является  интегрируемой  [8].

Для  последовательности    независимых  и  одинаково  распределенных  случайных  нечетких  величин  обозначим  через    выборочное  среднее  первых    членов  последовательности,  ,  где    —  заданная  t-норма.  Здесь  под  операцией  сложения  понимается  операция,  определенная  выражением  (1).

3.  Основной  результат

В  [8]  было  показано,  что  закон  больших  чисел  не  выполняется  в  общем  случае  в    для  метрики  .  Возникает  вопрос,  существуют  ли  условия,  при  которых  ЗБЧ  будет  справедлив  для  .

Введем  следующее  отображение  ,  определяемое  выражением

,                               (2)

где:    —  индикатор  множества  .  Таким  образом  .

Слабую  топологию,  порожденную  в    семейством  отображений  ,  обозначим  ,  когда  на    задана  метрика  .

Теорема  1.  Пусть    есть  почти  интегрируемая  ограничено  нечеткая  случайная  величина  на  ,    —  независимые  и  одинаково  распределенные,  как  и  ,  нечеткие  случайные  величины.  Тогда

почти  наверное  в  топологии  ,  для  всех  .  Здесь    —  выпуклая  оболочка,    —  проекционный  оператор  деконвексификации  [8].

Доказательство.  Выберем  произвольное  .  Нам  нужно  доказать,  что    относительно  метрики  .  Согласно  лемме  12  [8]  имеем,

  и  .

На  самом  деле  это  справедливо  для  всех  произвольных  .

Тогда,

Теперь,  выражение    стремится  к  0,  согласно  теореме  1  [8],  выражение    стремится  к  нулю  согласно  теореме  2  [8].  Кроме  того,  поскольку    является  ограниченно  интегрируемой,  то    существует  и  единственно.

Заключение

В  работе  предложена  топология,  позволяющая  установить  выполнение  закона  больших  чисел  для  нечетких  случайных  величин  с  неограниченными  носителями  и  операцией  суммирования  на  основе  t-норм.

Список  литературы:

1.Colubi  A.,  Domínguez-Menchero  J.S.,  López-Díaz  M.,  Gil  M.A.,  A  generalized  strong  law  of  large  numbers  //  Probab.  Theory  Related  Fields,  —  1999  —  V.  114,  —  pp.  401—417.

2.Colubi  A.,  Domínguez-Menchero  J.S.,  López-Díaz  M.,  Ralescu  D.A.  ADE  [0,  1]-representation  of  random  upper  semicontinuous  functions  //  Proc.  Amer.  Math.  Soc.,  —  2002,  —  V.  130,  —  pp.  3237—3242.

3.Klement  E.P.,  Puri  M.L.,  Ralescu  D.A.,  Law  of  large  numbers  and  central  limit  theorems  for  fuzzy  random  variables.  //  Cybernetics  and  Systems  Research.  Elsevier,  North-Holland,  Amsterdam,  —  1986,  —  V.  2.  —  pp.  525—529.

4.Li  S.,  Ogura  Y.,  Proske  F.N.,  Puri  M.L.  Central  limit  theorems  for  generalized  set-valued  random  variables.  //  J.  Math.  Anal.  Appl.,  —  2003  —  V.  285,  —  pp.  250—263.

5.Molchanov  I.  On  strong  laws  of  large  numbers  for  random  upper  semicontinuous  functions.  //  J.  Math.  Anal.  Appl.,  —  1999  —  V.  235,  —  pp.  349—355.

6.Proske  F.N.,  Puri  M.L.  Strong  law  of  large  numbers  for  Banach  space  valued  fuzzy  random  variables.  //  J.  Theoret.  Probab.,  2002  —  V.  15,  —  pp.  543—551. 

7.Puri  M.L.,  Ralescu  D.A.  Fuzzy  random  variables.  //  J.  Math.  Anal.  Appl.,  —  1986  —  V.  114,  —  pp.  409—422.

8.Teran  P.A  strong  law  of  large  numbers  for  random  upper  semicontinuous  functions  under  exchangeability  conditions  //  Statist.  Probab.  Lett.,  —  2003,  —  V.  65,  —  pp.  251—258.

9.Yazenin  A.V.,  Wagenknecht  M.  Possibilistic  optimization.  IPM:  Cottbus,  Germany,  1996.