АНАЛИТИЧЕСКИЕ  ФУНКЦИИ  ОБОБЩЕННОГО  КОМПЛЕКСНОГО  ПЕРЕМЕННОГО  И  НЕКОТОРЫЕ  ПРИЛОЖЕНИЯ

Сагиндыков  Бимурат  Жумабекович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  КазНТУ,  Республика  Казахстан,  г.  Алматы

E-mail:  bimurat55@gmail.com

Бимурат  Жанар

Магистр  КазНТУ,  Республика  Казахстан,  г.  Алматы

 

ANALYTICAL  FUNCTIONS  OF  GENERALIZED  COMPLEX  VARIABLES  AND  IT’S  APPLICATIONS

Bimurat  Sagindykov

candidate  (PhD)  of  Physical  and  Mathematical  sciences,  KazNTU,  Republic  of  Kazakhstan  Almaty

Zhanar  Bimurat

Master  of  Science  KazNTU,  Republic  of  Kazakhstan  Almaty

 

Аннотация

Целью  данного  направления  является  применение  функции  обобщенного  комплексного  переменного  к  задачам  гидродинамики  и  теории  упругости.  В  этой  работе  для  таких  функций  получены  условия  Коши-Римана  и  соответственно  обобщенное  уравнение  Лапласа.  Получена  обобщенная  формула  Пуассона. 

abstract

The  object  of  this  work  is  the  use  of  generalized  functions  of  a  complex  variable  to  solve  the  problems  of  fluid  dynamics  and  elasticity  theory.  In  this  paper  for  this  kind  of  functions  we  obtained  Cauchy-Riemann  conditions  and,  accordingly,  the  generalized  Laplace  equation  and  the  generalized  Poisson  formula.

 

Ключевые  слова:  условия  Коши-Римана;  обобщенное  уравнение  Лапласа;  формула  Пуассона.

Keywords:  Cauchy-Riemann  conditions;  generalized  Laplace  equation;  Poisson  formula.

 

Введение

Обобщенные  комплексные  числа  делятся  на  типы  [1].  А  именно,  различают  эллиптические,  гиперболические  и  параболические  комплексные  числа.  Это  означает  следующее.  Пусть    обобщенное  комплексное  число  и  ,  где    —  вещественные  числа.  Тогда  числа  делятся  на  указанные  типы  в  зависимости  от  того,  какими  являются  .  Если  ,  то  такие  обобщенные  комплексные  числа  относятся  к  эллиптическому  типу,  если  же    —  то  к  гиперболическому,  если    —  параболическому  типу.

Если  взять  ,  то  мы  получим  обычные  комплексные  числа.  Если  ,  то  мы  получим  двойные  числа.  Если  ,  то  получим  дуальные  числа.

В  данной  работе  теория  аналитических  функций    обобщенного  комплексного  переменного  ,  удовлетворяющих  системе  уравнений  Коши-Римана  : 

 

,  ,  (1)

 

которая  по  существу  эквивалентна  уравнению  Лапласа

 

  .  (2)

 

Аналогично  для  мнимой  части  функции    имеем

 

.  (3)

 

Эквивалентность  условий  Коши-Римана  и  условия 

Пусть  дана  функция  .  Переменные    и    легко  выразить  через    и  : 

 

,

,

 

где  .  Поэтому  функцию    формально  можно  рассматривать  как  функцию  двух  переменных    и  .  Найдем  .  Для  этого  рассмотрим  дифференциальные  операторы

 

,  (4)

,  (5)

 

которые  обладают  следующим  свойством:

 

.

 

Поэтому  однозначно  определены  операторы  вида

 

.

 

В  частности  при  ,  имеем

 

  (6)

 

где  .

В  случае  когда  ;  обобщенный  бигармонический  оператор  записывается  в  виде:

 

,  (7)

 

Отсюда  при    как  следствие  получим  обычный  бигармонический  оператор 

 

.

 

Здесь    и  ,  т.е.  .

Теорема.  Условия  Коши-Римана  и    эквивалентны. 

Если  ,  то  .  Отсюда  следует  справедливость  условий  Коши-Римана

 

,

.

 

В  общем  случае  интеграл,  здесь    зависит  от  формы  пути.  Выясним  условия,  при  которых  интеграл  от  формы  пути  не  зависит.  Ответ  на  этот  вопрос  содержится  в  следующий  теореме. 

Теорема  Коши.  Если  функция    обобщенно-аналитическая  в  односвязной  области  ,  то  интеграл  от  этой  функции  вдоль  всякого  замкнутого  кусочно-гладкого  контура  ,  целиком  лежащего  в  ,  равен  нулю. 

Доказательство.  Пусть    —  аналитическая  в  области    функция.  Имеем 

 

 

 

Из  условия  Коши-Римана  следует,  что  .  Это  условие  и  непрерывности  функций    достаточно  для  обращения  интегралов  в  нуль.

Условия  Коши-Римана  в  полярных  координатах

От  алгебраической  формы    обобщенного  комплексного  числа  переходим  к  его  показательно-тригонометрической  форме 

 

,

 

где 

 

  (9)

 

 

В  частности  при    имеем:  ;  отсюда  получаем  формулу  Эйлера  .

Теперь  учитывая  формулу  связи  между  декартовыми  и  обобщенно  полярными  координатами  точки  на  плоскости  запишем:  ,  ,  где  .

Некоторые  вычисления  необходимые  в  дальнейшем.  Пусть 

 

.

 

Тогда    и  .  Из  последних  двух  равенств  по  формулам  вычисления  частных  производных  сложной  функции  двух  переменных  находим

 

,

,  ,

,  .

 

Отсюда  ,  ,  где  .

Чтобы  написать  условия  Коши-Римана  в  полярных  координатах,  вводим  следующий  дифференциальный  оператор

 

.

 

Тогда  условия  Коши-Римана  можно  записать  в  виде    и  оно  эквивалентно  следующей  системе.

 

  (10)

 

В  частности  имеем  при    имеем  ,  .

Далее  (10)  запишем  в  компактной  форме.  Для  этого  систему  (10)  решим  относительно  .

 

,  ,

,

,  .

 

Аналогично  решая  систему  (10)  относительно  .  Имеем 

 

,  ,

 

которые  по  существу  эквивалентны  уравнению  Лапласа  записанному  в  обобщенной  полярной  системе  координат

 

  (11)

 

где  .

 

Рассмотрим  ряд  примеров

Пример  1.  Функция  ,  где    —  расстояние  между  точками    и    обобщенной  плоскости  ,  т.е.    является  гармонической  в  любой  области  обобщенной  плоскости  ,  не  содержащей  точку  .

Решение.  Для  удобства  вычисления  расстояние  между  точками  представим  в  следующем  виде

 

.

 

Отсюда  ,  ,  ,  ,  .  Тогда  для  функции  ,  имеем:

 

,

  и  .

 

Подставляя  найденные  значения  производных    и    в  уравнение  Лапласа  получим

 

,

 

во  всех  точках    обобщенной  плоскости  ,  за  исключением  точки  ,  так  как  ,  .

Таким  образом,  функция    является  решением  уравнения  Лапласа  на  обобщенной  плоскости    за  исключением  точки  где  она  обращается  в  . 

Пример  2.  Решение  задачи  Дирихле  для  обобщенного  уравнения  Лапласа

Рассмотрим  внутреннюю  краевую  задачу  для  уравнения  Лапласа  с  граничным  условием  Дирихле

 

 

в  области    с  границей 

 

;

 

где    —  вещественные  управляющие  параметры.  Здесь

 

.

 

Задача  Дирихле.  Найти  в  области    функцию  ,  удовлетворяющую  следующим  условиям:

 

,  (12)

,    (13)

  (14)

 

где:    —  заданная  функция;  будем  считать,  что  ,

.

В  области    перейдем  к  обобщенно  полярным  координатам  ,  .  Тогда  уравнение  (13)  в  полярных  координатах  имеем  вид  (см.  11)

 

.  (15)

 

Решение    уравнения  (15)  будем  искать  в  виде  произведения  двух  функций. 

 

  в    (16)

 

Подставляя  предполагаемую  форму  решения  (16)  в  уравнение  (15)  и  разделяя  переменные,  получим

 

.

 

Отсюда  следует,  что  функция    должна  быть  найдена  из  решения  уравнения

 

,  (17)

 

а  для  функции    получим  задачу  на  собственные  значения

 

  (18) 

 

Здесь  условие  периодичности  функции    является  следствием  периодичности  искомого  решения    по  угловой  переменной  с  периодом  .  Это  возможно  только  в  том  случае,  когда    и  когда    -  целое.  Тогда  общее  решение  дифференциального  уравнения  (18)  определяется  по  формуле

 

,

 

где    и    —  произвольные  постоянные. 

Уравнение  (17)  при    имеет  два  линейно  независимых  решения

 

.

 

где  .  Так  как  частные  решения  уравнения  (17)  при    ищем  в  виде  степенной  функции  .  Подставив  эту  функцию  в  уравнение  (17)  установим,  что  показатель  степени    определяется  из  уравнения 

 

,  т.е.  .

 

Решение  внутренней  задачи  Дирихле  должно  быть  ограничено  в  рассматриваемой  области  при  .  Поэтому  из  двух  найденных  решений  следует  взять  лишь

 

.

 

Таким  образом,  согласно  (16)  частные  решения  уравнения  (15)  можно  записать  так:

 

.

 

В  силу  линейности  и  однородности  уравнения  (15)  суперпозиция  частных  решений

 

,  (19)

 

также  будет  удовлетворять  этому  уравнению. 

Таким  образом,  ряд  (19)  внутри  области    является  гармонической  функцией.  Из  общего  курса  известно,  что  ряд  (19)  сходится  равномерно  на  .  Тогда  удовлетворяя  ряд  (19)  граничному  условию  (14),  получим

 

 

или 

 

.  (20)

 

Ряд  (20)  представляет  собой  разложение  в  ряд  Фурье  функции    на  промежутке  .  Тогда  коэффициенты    и    определяются  по  формулам:

 

,  (21)

.  (22)

 

Теорема.  Если  функция    и  ,  то  существует  единственное  решение  задачи  Дирихле  в  области  ,  которое  определяется  рядом  (19).

Формула  Пуассона

Преобразуем  ряд  (19)  с  учетом  выражений  (21)  и  (22):

 

  (23)

 

Учитывая  обобщенную  формулу  Эйлера  (9),  имеем:

 

.

 

Найдем  сумму  ряда

 

  (24)

 

Тогда,  подставляя  (24)  в  (23),  найдем  формулу

 

,  (25)

 

которая  называется  формулой  Пуассона. 

Пример  3.  Вычислить  интеграл  .

Решение.  в  случае,  когда    формулу  (9)  можно  записать  в  виде

 

.  (26)

 

Тогда  .  Отсюда

 

,  ;

 

так  как    и  .  Последний  интеграл  можно  переписать  в  виде

 

.

 

Здесь    и  .  Таким  образом

 

.

 

Из  разложения  экспоненты  (26),  имеем  следующее  соотношения:  ,  .  Применим  эти  соотношения 

 

,

.

 

Далее  параметры    заменим  через  параметры    и  ,  и  имеем:

 

.

 

Теперь  не  трудно  вычислить  искомый  интеграл,  используя  полученные  выше  результаты.

Интегрирование  по  частям  приводит  к  понижению  степени    под  интегралом.

Действительно,

 

.

 

Список  литературы:

1. Лаврентьев  М.А.,  Шабат  Б.В.  Проблемы  гидродинамики  и  их  математические  модели.  М.:  Наука,  1973.  —  416  с.
2. Сагиндыков  Б.Ж.,  Бимурат  Жанар.  Обобщенная  комплексная  экспонента  и  ее  применения  для  отыскания  суммы  //  Естественные  и  математические  науки:  вопросы  и  тенденции  развития.  2013.  г.  Новосибирск,  —  с.  7—15.