ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА И ИХ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ELLIPTIC NUMBERS AND THEIR AFFINE TRANSFORMATIONS

Bimurat Sagindykov

сandidate (Ph.D.) of Physical and Mathematical sciences, senior lector, Kazakh National Research Technical University after Kanysh Imantayuli Satbayev,

Kazakhstan, Almaty

Asem Kanatova

master, Kazakh State Women’s Teacher Training University,

Kazakhstan, Almaty

Nazymsulu Abuhanova

master, Kazakh State Women’s Teacher Training University,

Kazakhstan, Almaty

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается эллиптическая система чисел. Приводится геометрическая интерпретация эллиптических чисел в косоугольной системе координат. Определяется вид аффинного преобразования в аффинном репере.

ABSTRACT

The paper considers an elliptic set of numbers. The geometric interpretation of the set is given in the oblique system of coordinates. An affine transformation is represented among an affine frame.

Ключевые слова: обобщенное комплексное число, эллиптическое число, аффинный репер, аффинное преобразование.

Keywords: generalized complex number, affine number, affine frame, and affine transformation.

Введение. В настоящее время изучаются различные виды комплексных чисел и гиперкомплексных чисел. В данной статье следуя Лаврентьеву Михаилу Алексеевичу обобщенное комплексное число представим в виде

,

где: .

Единственным обобщением действительных чисел, с сохранением известных законов арифметики являются комплексные числа. Поэтому мы займемся обобщением только внутреннего строения комплексных чисел.

Относительно инварианта квадратичной формы обобщенные комплексные числа делятся на типы: эллиптические, гиперболические и параболические комплексные числа [1].

В случае, когда , то обобщенные комплексные числа относятся к эллиптическому типу.

Плоскость эллиптических чисел. Зададим на плоскости косоугольную (аффинную) систему координат  (рис. 1). Тогда каждому эллиптическому числу  [1], представленному в алгебраической форме  ( – вещественные числа; , ) можно однозначно поставить в соответствие эллиптическую точку  плоскости  с координатами .

Рисунок 1. Геометрическая интерпретация эллиптического числа

Примечание. В случае, когда , эллиптическое число называется комплексным.

В аффинной системе координат  радиус-вектор текущей точки  определяется векторным равенством , где  – базисные векторы [2].

Тогда в репере  направление мнимой оси (т. е. направление базисного вектора ) относительно декартовой системы координат определяется углом , который определяется из равенства

, где .                                       1)

Расстояние от начальной точки  до точки  называется модулем эллиптического числа  и обозначается символом  или . Тогда в репере  при фиксированных .

Таким образом обобщенному комплексному числу  ставится в соответствие вектор , т.се. устанавливается взаимно однозначное соответствие

.

Тогда направление радиус – вектора определяется полярным углом , где

.                                                       2)

Примечание. В случае, когда  обобщенное комплексное число называется эллиптическим [1].

Число  называется сопряженным эллиптическому числу . Из определения умножения эллиптических чисел следует, что

.

Иногда удобно представлять эллиптические числа в полярных координатах. Полярную ось совместим с положительной полуосью , а полюс – с началом координат. Тогда

                                 3)

где:

,

.

Форма записи эллиптического числа в виде (3) называется тригонометрической [3].

Соответственно форму записи эллиптического числа в виде

          4)

называется показательной.

Тогда умножение двух эллиптических чисел

 и

выполняется по формуле . Отсюда

 и .

Докажем первое равенство. Из (4) имеем, что

.

Тогда

,

где  определяются из (3).

Если эллиптические числа ,  постоянные, а эллиптическое число  переменное, то формулой

                                                                5)

определяем аффинное преобразование, которое задается в любом аффинном репере формулами вида , , которые удовлетворяют условию .

Таким образом, если репер  определяется с фиксированными значениями , то между коэффициентами  и  существует связь. Для этого раскроем формулу (5):

.

Отсюда

                                      6)

Здесь , ,  и . Следовательно

, ,  и .

Примечание. Так как мы рассматриваем эллиптические точки, то коэффициенты матрицы преобразования  удовлетворяют дополнительному условию:

.

Отсюда  или .

Пример 1. Пусть репер  аффинной плоскости определяется через управляющие параметры . Охарактеризовать аффинную систему координат.

При , , . Тогда направление мнимой оси определяется равенством . Отсюда . Радиус - вектор произвольной точки  относительно этой косоугольной системы координат составляет с действительной осью  угол . В частности для точки  угол

Пусть  – аффинный репер, который определяется через фиксированные значения параметра . Рассмотрим аффинное преобразование (6), которое переводит произвольную точку  в точку  (все координаты берутся в репере ).

Преобразование  переводит данный репер  в некоторый репер . В репере  точка  имеет координаты  и .

Теорема. Всякое аффинное преобразование задается в любом аффинном репере формулами вида (6).

Доказательство. Найдя  из формулы (5), получаем формулу обратного преобразования

,                                   7)

который имеет тот же вид, что и (5); если поменять местами  и .

Таким образом , где  и  дает искомую формулу аффинных преобразований эллиптической плоскости.

Если раскрыть формулу (7), то мы получаем формулу обратного преобразования через коэффициенты матрицы перехода

8)

Его определитель равен

.

Следовательно, преобразование (7), обратное аффинному преобразованию (6), также аффинное.

Список литературы:

1.  Сагиндыков Б.Ж. Эллиптическая система чисел и ее применение // Вестник КазНТУ. – 2007. № 4.

2.  Сагиндыков Б.Ж. Понятие комплексных чисел в аффинной системе координат и поворот аффинной плоскости // Естественные и математические науки в современном мире. – 2016. № 1 (36).

3.  Сагиндыков Б.Ж., Бимурат Ж. Аналитические функции обобщенного комплексного переменного и некоторые приложения. // Естественные и математические науки в современном мире. – 2014. № 1 (13).