МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ОБЛАСТИ СПОРТА

MATHEMATICAL METHODS AND MODELS IN SPORTS

Oleg Fedotov

lecturer, Ural Federal University,

Russia, Ekaterinburg

Dmitrii Osipov

student, Ural Federal University,

Russia, Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается возможность применения аналитической математики в области спорта с целью нахождения оптимального состава игроков. Была сформулирована задача, переведена на математический язык и решена с помощью математических методов. Таким образом, ответ на поставленную задачу получен быстрее.

ABSTRACT

This article describes the application of analytical mathematics in the field of sport with the aim of finding the best players. The task was set, translated in mathematical language and solved using mathematical methods. Thus, the answer to the problem is obtained faster.

Ключевые слова: математика в спорте, исследование операций.

Keywords: mathematics in sport, operations research.

Потребность в принятии решения у каждого человека и каждой организации возникает ежедневно. Существует множество альтернатив, но всегда хочется выбрать лучшую, которая максимизирует прибыль, или полезность. В таких ситуациях ведущим инструментом являются математические методы в экономике. Но предлагаю взглянуть на математику ещё с более непривычной для нас стороны. А именно рассмотреть её применение в спорте. Ведь большой спорт – тоже бизнес.

Ситуация происходит в баскетбольном клубе, где есть свой опытный тренер, который замечательно знает каждого игрока и перед которым не встает проблема распределения между ними игровых амплуа. Но если в команде достаточно «длинная скамейка» (большое количество запасных игроков), то задача распределения обязанностей с использованием дополнительных игроков принимает более сложный характер. В таком случае тренеру может хорошо помочь рассмотрение этой ситуации на примере соответствующей математической модели.

Первоначально рассмотрим более простую и часто происходящую ситуацию. После долгого спада в команде были расторжены контракты как с тренером, так и с рядом игроков. Их места заняли новые тренер и игроки соответственно. Очевидно, что новый наставник недостаточно знаком с игроками и их возможностями. Поэтому перед ним встает задача: распределить между игроками их обязанности так, чтобы общая результативность в действиях всей команды была максимальной.

Используя методы исследования операций, попытаемся помочь тренеру. Первоначально переформулируем задачу с бытового уровня на язык математики и начнем построение её модели. Если нет никакой информации о игроках, то понятно, что можно принимать решение наугад. Поэтому для нас будет полезно иметь какие-либо минимальные сведения. Для этого нужно применить какой-либо приём, позволяющий в сжатые сроки ознакомиться с возможностями всех игроков. Например, проведем серию тестов, позволяющих оценить способности игры всех членов команды на различных позициях. Действия игроков (назовем их  оцениваются по пятибалльной шкале.

Некоторые тренеры могут сказать, что это все ни к чему, ведь каждый игрок имеет свой амплуа, и нет смысла ставить, например, крайнего на позицию защитника, или защитника на позицию центрального. В какой-то степени – это так, но при наличии значительного числа запасных игроков проблема формирования состава на игру приобретает особую сложность. Решается она аналогично, как сформулированная выше упрощенная задача.

Итак, было проведено тестирование, результаты которого сведены в таблицу:

Таблица 1.

Результаты тестирования каждого игрока на каждую позицию

Чем выше балл, тем, соответственно, лучше показал себя игрок на данной позиции. Переносим полученные значения из таблицы в матрицу баллов

Примем естественное предположение, что критерием эффективности игры команды будет выступать сумма баллов, оценивающих игру каждого баскетболиста. Большой плюс выбранного нами критерия заключается в том, что он линейно зависит от баллов игроков.

Рассмотри одно из конкретных предложений по расстановке игроков: игрок  занимает позицию защитника,  – центральный,  – разводящий,  – левый крайний,  – правый крайний. При этой расстановке  эффективность (обозначим её через ) игры всей команды в баллах составит:

Данной расстановке отвечает таблица (матрица) 2. Она является матрицей назначений, соответствующей расстановке .

Таблица 2.

Назначение игроков на позиции

Смысл этой таблицы заключается в том, что единица на пересечении строки игрока и столбца с амплуа означает, что этот игрок назначен на это амплуа. Например, игрок  назначен на позицию центрального.

Подобное строение матрицы является отражением обязательного требования: на одно амплуа может быть назначен лишь один игрок, и каждый игрок может быть назначен лишь на одно амплуа. Всевозможных матриц назначения ровно столько, сколько существует способов различных перестановок из пяти элементов, а именно, . Среди этих расстановок нужно выбрать оптимальную (их может быть несколько), при которой мы получим наибольшее значение эффективности:

120 вариантов – не так уж много, и тренер, потрудившись, перебрал все варианты и нашел матрицу назначений

.

Этой расстановке соответствует наибольшая перспективность игры команды  При таком варианте игрок  играет на позиции центрального,  – правый крайний,  – защитник,  – разводящий,  – левый крайний.

Но помощник тренера выяснил, что это решение не является единственным оптимальным. Такое же значение эффективности достигается при следующей расстановке:

;

Итак, задача была решена тренерами, как говорится, способом «прямого перебора» всевозможных вариантов. Это удалось сделать благодаря малому количеству вариантов. Но если в распоряжении тренера появятся запасные игроки, которые (как и основные) с различными партнерами демонстрируют различную результативность, то задача резко изменится в худшую сторону. Возникает желание учесть этот момент и в нашем исследовании. Но это приведет к усложнению модели, неоправданному на данном этапе, хотя, такой учет возможен. Ограничимся предположением того, что у нас в наличии имеется по одному запасному игроку на каждую позицию. И будем считать, что результаты тестирования дают средние баллы (с учетом игры с разными партнерами). Таким образом, всего получится 10 игроков, а наша задача о назначениях потребует  вариантов перебора. Осуществление прямого перебора в этой ситуации немыслимо. Самое время воспользоваться математической моделью для данной задачи. Модель формализуется в терминах линейного программирования – самого глубоко освоенного и нашедшего наибольшее применение раздела математического программирования или теории исследования операций.

Итак, построим модель задачи о назначениях. Ради удобства присвоим игрокам , соответственно номера  Также обозначим номерами  обязанности защитника, центрального, разводящего, левого и правого крайних соответственно. После этого вводим 25 неизвестных . Их значения будут интерпретироваться как назначение игрока под номером  на амплуа под номером . При этом каждая переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений:

Совокупность известных на данный момент величин составляет следующую матрицу назначений:

.

Такая матрица нам уже встречалась в разобранном ранее примере. И уже известно, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы лишь один элемент равен единице, а остальные – нули. Это обязательное условие может быть записано в следующей форме: сумма всех элементов по каждой строке (столбцу) равна 1:

Или так в более сжатом виде:

                                   (1)

                                   (2)

Добавим к этому требование неотрицательности переменных:

.                                  (3)

Игрок , назначенный на позицию , вносит свой вклад в командную эффективность  в размере , где  – элемент соответствующей матрицы баллов , расположенный на пересечении -й строки и -ого столбца. Общая командная эффективность является суммой 25 слагаемых:

                            (4)

В нашем конкретном примере:             (5)

Итак, поиск матрицы , при которой достигается наибольшая эффективность , сводится к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений  системы ограничений (1) – (2) найти такое, при котором достигается наибольшее значение функции (4).

Сформулированная задача является математической моделью задачи о распределении игроков в баскетбольной команде при отсутствии запасных игроков.

Предположим, что игроков в команде больше 5. Тогда дополнительно введем к известным пяти ещё несколько фиктивных амплуа (мест в команде), считая, что на каждом из них тестовый балл  каждого игрока равен нулю. После переходим к уже известной задаче о выборе при равном количестве претендентов и мест в команде. Возникает математическая модель, отличающаяся от (1) – (4) только лишь количеством переменных  и числом ограничений.

Таким же образом могут быть составлены и посчитаны задачи, в которых, например, определенные места сохраняются за игроками основного состава, а остальные распределяются между запасными.

Итак, применение математических методов в данной области решения задач позволяет найти оптимальный состав более быстрым путём, а вероятность ошибки достаточно мала. Такой способ гораздо лучше по сравнению с обычным перебором.

Список литературы:

1.Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Москва, 2013.

2.Харин А.А. Организация и проведение соревнований: Ижевск, 2011.

3.Правила игры в баскетбол – [Электронный ресурс] – Режим доступа – http://rules.walk.ru/Basket.html (Дата обращения 13.01.2016).