ЗАДАЧА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЗОНЕ ВТОРИЧНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ

THE PROBLEM OF NONSTATIONARY HEAT CONDUCTIVITY IN THE ZONE OF SECONDARY COOLING

Anastasiya Saprykinа

assistant at the department of Economics and management, Stary Oskol technological institute n.a. A.A. Ugarov (branch) National University of Science and Technology “MISiS”,

Russia, Stary Oskol

Alexandr Mikhailov

сandidate (Ph.D.) of Physical and Mathematical sciences, associate professor at the department of Higher mathematics, Stary Oskol technological institute n.a. A.A. Ugarov (branch) National University of Science and Technology “MISiS”,

Russia, Stary Oskol

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена математическая модель тепломассопереноса для непрерывно литой заготовки, предложен метод Гринберга для решения задачи, построено температурное поле заготовки.

ABSTRACT

This article describes the mathematical model of heat and mass transfer for continuously cast billets, offered the Greenberg’s method for solving the problem, built temperature field blank.

Ключевые слова: тепломассоперенос; зона вторичного охлаждения; машина непрерывного литья заготовок; тепловое поле; задача Стефана.

Keywords: heat and mass transfer; secondary cooling zone; continuous casting machine; thermal field; Stefan problem.

Технология разливки стали должна обеспечивать стабильность процессов, протекающих в зоне вторичного охлаждения машины непрерывного литья заготовок. Одной из важнейших составляющих развития новых технологий повышения стабильности охлаждающих воздействий является изучение тепловых процессов. Сформировавшийся слиток с затвердевшей оболочкой из кристаллизатора попадает в зону вторичного охлаждения. Происходит резкое изменение условий теплообмена. Интенсивный отвод тепла осуществляется при контакте водовоздушной смеси из распылителей с поверхностью слитка и поддерживающей системой направляющих роликов. В результате форсированного поверхностного охлаждения интенсивно изменяется распределение температур по сечению слитка. Математическое моделирование является эффективным инструментом исследования тепловых процессов, происходящих в зоне вторичного охлаждения.

Для исследования охлаждения непрерывного слитка на криволинейных участках МНЛЗ рассмотрим следующую модель тепломассопереноса [1]

где:

Граничные условия на границе криволинейного участка:

 по внутреннему радиусу

 и по внешнему радиусу

Дополнительные условия

Здесь:

 – угловая скорость движения слитка на криволинейном участке;

 внутренний (внешний) радиус криволинейного участка;

 – границы раздела фаз.

Решение рассматриваемой задачи Стефана усложняется наличием нелинейности в граничных условиях (3), (4). Основным методом нахождения приближенного решения задачи (1) – (9) является применение различных разностных схем. Но применение разностных схем к этой задаче, в свою очередь, приводит к ряду трудностей. В данной работе для решения задачи (1) – (9) предлагается метод, основанный на сочетании аналитических методов с численными, который оказывается более эффективным.

Заменим задачу (1) – (9) семейством задач , в которых условия (3), (4) заменены на линейные:

Решение задачи  использует решение задачи , полученное на предыдущем шаге.

Связь решений  задач  с решением исходной задачи описывается следующим утверждением:

Последовательность решений  задач  сходится в  к решению задачи (1) – (9).

Для нахождения решения задач  воспользуемся методом конечных интегральных преобразований (метод Гринберга [2]).

Решение задачи  будем искать в виде

Предположим, что функции  являются собственными функциями дифференциального оператора

т.е. являются решением следующей задачи

Нетрудно проверить, что задача (10) имеет ненулевое решение.

Приведем значения .

Собственные функции оператора являются линейно независимыми функциями. Но тогда для нахождения функций  из уравнения (1) получим уравнение

Соответствующим образом модифицируются граничные условия.

В результате получается аналог задачи Стефана, который решается численными методами.

Разработана программа в пакете Wolfram Mathematica 9.0, результатом работы которой является массив значений температуры заготовки, построена графическая визуализация температурного поля. Предложенный подход и результаты исследований можно использовать для определения предполагаемого решения. Производится, отладка и верификация построенной модели.

Список литературы:

1. Иванова А.А. Моделирование процесса кристаллизации, идентификация параметров внешнего теплообмена и управление расходами воды в зоне вторичного охлаждения МНЛЗ // ВІСНИК Донбаської державної машинобудівної академії – 2010. – № 1 (18) – С. 127–131.
2. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов – СПб.: Питер, 2004. –539 с.: ил.