ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНФОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ТРЁХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

THE GEOMETRY OF SURFACES CONFOCAL SYSTEM THREE-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE

Usen Abdymanapov

candidate of physical-mathematical sciences (Ph.D), senior researcher, associate professor of the Moscow financial and Law university MFLU,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье излагаются методы и гипотезы автора для исследования геометрии поверхностей второго порядка и кривых, которые можно получить при пересечениях двух поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве.

ABSTRACT

The article presents the methods and hypotheses of the author for research of the geometry of surfaces and curves of the second order, which can be obtained at the intersection of two surfaces in three-dimensional Euclidean space.

Ключевые слова: конфокальная поверхность, конфокальная система, улиткообразная кривая линия, винтовая поверхность, сфероидальная поверхность, лунный шаг.

Keywords: confocal surface, confocal system, a helical curve, helical surface, spheroidal surface, lunar step.

Введение. Поверхности второго порядка играют в пространстве роль, аналогичную роли конических сечений на плоскости. Точно так же, как конфокальные конические сечения на плоскости, конфокальные поверхности второго порядка пересекаются в пространстве ортогонально, то есть в каждой точке пространства касательные плоскости к трём поверхностям, проходящим через заранее выбранной точки, взаимно перпендикулярны. Это означает, что точки фокальных кривых составляют исключение. Следует отметить, что подобные тройные ортогональные системы поверхностей и система конфокальных поверхностей второго порядка играют огромную роль в целом ряде как в математических, так и физических исследований. Возникает мысль наряду с фокальными кривыми также рассмотреть те кривые, по которым пересекаются две различного вида поверхности конфокальной системы. Можно с уверенностью сказать, что кривая, по которой пересекаются две произвольных, как угодно расположенных поверхности второго порядка, не может пересечься с любой плоскостью более чем в четырёх точках, если при этом кривая не имеет дуги, целиком расположенной на плоскости. А на самом деле очевидно, что всякая плоскость дает в пересечении с поверхностями второго порядка два конических сечения. Непосредственно также очевидно, что два конических сечения пересекаются не более чем в четырёх точках, если только они не совпадают или не имеют общей прямой. Если рассмотреть кривые произвольного n-го порядка, то они имеют с любой плоскостью не более чем n общих точек либо имеют с ней общую дугу кривой. Однако существуют и такие кривые, которых нельзя получить пересечением двух поверхностей второго порядка. Но, с другой стороны, можно получить пересечения двух поверхностей второго порядка для кривых, что через них проходит бесконечное множество других поверхностей второго порядка, и между ними четыре конуса, причём некоторые из этих конусов могут совпадать друг с другом или вырождаться в цилиндры. Само собой, напрашивается обобщение конфокальной систем на более сложного вида поверхности, а именно:

·     возьмем цилиндрическую винтовую кривую линию, которая представляется как улиткообразная кривая линия. Проектируем направляющий конуса, наклон образующих которого к вертикальной оси определялся углом наклона образующих улиткообразной кривой линии таким образом, что углы наклона образующих конуса и улиткообразной кривой линии не искажались [3; 4]. Из граничных точек кругового цилиндрической винтовой кривой линии проведём образующие улиткообразной кривой линии параллельно соответствующим образующим конуса до пересечения с вертикальной осью. Продолжая этот процесс бесконечное число раз, на всю длину вертикальной оси цилиндрической винтовой кривой линии, мы получаем его трёхмерное представление в евклидовом пространстве – поверхности, представляющей геометрическое место касательных винтовой линии, проведённой на прямом круговом цилиндре. Эта винтовая поверхность, описываемая прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси, пересекает ось движения под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси.

·     если рассмотреть пересечение замкнутого шара с винтовой поверхностью, ось которой проходит через центральную ось замкнутого шара и провести все необходимые пошаговые процедуры, как и в случае круговой цилиндрической винтовой кривой линии, то мы получим улиткообразную кривую линию другого вида. Заметим, что границей этого вида линий является сфероидальная поверхность спиральных кривых на поверхности вращения, совершающая неограниченное число витков и пересекающая все меридианы под постоянным углом, приближаясь к полюсам этой сферы.

Отсюда возникают следующие гипотезы:

1.  Допустимо ли равномерное распределение точек на винтовой поверхности или по объёму винтовой поверхности в трёхмерном евклидовом (дискретном или непрерывном) пространстве→

2.  Допускает ли геометрическую и топологическую структуру винтовая поверхность в трёхмерном евклидовом (дискретном или непрерывном) пространстве→

3.  Вычисляема ли фундаментальная группа винтовой поверхности→

Описание и построения метода. В этой работе применяются два метода автора: Геометризация винтовой поверхности кривых и Поступательный шаг по завиткам спирали.

Геометризация винтовой поверхности кривых: Пусть – произвольные некомпактные звёздные многообразия в геометрическом звёздном теле . Тогда для любых его различных точек существуют окрестности и  такие, что изометрия

• ):. Так как – произвольные, некомпактные звёздные многообразия и они ограничены в геометрическом звёздном теле , то оно расслоено звёздоэдрами. Если сжимаем в геометрическое звёздное тело , то существует двумерный диск  (), вложенный в геометрическое звёздное тело таким образом, что
• )() ()(

Следовательно, для любых его различных точек существуют окрестности и такие, что изометрия ():. Снова разрежем геометрическое звёздное тело по двумерному диску

• ) и получим новое трёхмерное звёздное многообразие
•  ), что
• )() ()(

И, следовательно, для любых его различных точек  существуют окрестности и  такие, что изометрия ():

Если ()сжимаем в звёздное многообразие  , то снова разрежем геометрическое звёздное тело по некоторому другому двумерному диску  () и снова получим новое трёхмерное звёздное многообразие   () , что

• )() ()(

Таким образом, этот процесс конечен тогда, когда

(( ()) ()=(), причем – расщепление в геометрическом звёздном теле  на звёздчатые дольки Bd.(), каждая из которых несжимаема. Но, с другой стороны, так как , , – звёздные многообразия без края в геометрическом звёздном теле , то этот процесс продолжаем бесконечное число раз. Следует отметить, что предыдущие звёздные многообразия можно получить из последующих звёздных многообразий приклеиванием по звёздчатому конусу к краям последующих звёздных многообразий. Таким образом, склеивая между собой каждый непересекающимися диск

()с кратными звёздами вершин с выбранной триангуляцией

по отображению , получим

Выше изложенный процесс геометризации распространяется по всей длине винтовой поверхности кривых геометрических звёздных в трёхмерном евклидовом пространстве .

Поступательный шаг по завиткам спирали: Если рассмотреть сверху через центральную ось симметрии винтовую поверхности кривых геометрических тел, то оно представляется как архимедовы спирали, ограниченные евклидовой плоскостью, где плоскую кривую в нем описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центральной оси симметрии по равномерно вращающемся радиусу, причём расстояние между витками сохранеяются одним и тем же постоянным значением. Заметим, что если параллельность и постоянство в расстояниях между витками нарушено, то кривая перестанет быть архимедовым спирали. Это будет видно по ходу изложения метода. Как известно [1; 2], по системе Б.Н. Делоне, дискретность – это расстояние от любой точки множества до ближайшей к ней точки этого же множества больше или равно некоторому фиксированному отрезку длины, а покрываемость – это расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки системы меньше или равно некоторому фиксированному отрезку длины. Очевидно, что эти две понятия, противоречиво дополняя друг друга, обеспечивают равномерное распределение точек в евклидовых, сферических и гиперболических пространствах постоянной кривизны. Чтобы раскрыть сущности метода Поступательного шага по завиткам спирали, возьмём в дискретной или непрерывной евклидовой плоскости , натянутой в узлах конечное число точек , где каждая ее точка равно окружена в сфере диаметра . В качестве отсчета возьмём любую узловую точку на плоскости . В дальнейшем ход нашего рассуждений будем продемонстрировать уже наглядно. Представляем евклидову плоскость как поверхностную плоскость, помеченную узловыми решётками, а все ее узловые точки – бильярдными шарами одинакового диаметра и размера. Фиксируем место расположения всех шаров на пересечении узловой решётки поверхности евклидовой плоскости, но не закрепляем их на фиксированном месте. Возьмём верёвку и один ее конец привяжем на место отправной точки узловой решётки поверхности, где закреплён бильярдный шар. Из места отправной точкиузловой решётки поверхности по любому его направлению по поверхности продвигаемся шагом на расстоянии двух узловых точек решётки, фиксируемся в этой точке  и отходим назад на один узловой шаг в точку , закрепляем эту точку и, поворачиваясь направо (или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстояние трёх узловых точек решётки поверхности, фиксируемся в этой точке  и отходим назад на два узловых шага в точку  закрепляем эту точку и, поворачиваясь направо (или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстояние четырёх узловых точек решётки поверхности , фиксируемся в этой точке  и отходим назад на три узловых шага в точку , закрепляем эту точку и, поворачиваясь направо (или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстояние пяти узловых точек решётки поверхности , фиксируемся в этой точке  и отходим назад на четыре узловых шага в точку , закрепляем эту точку. Присоединяя по периметру узловые точки решётки поверхности , мы получим квадратную окрестности с центром в точке . После, также присоединяя по периметру фиксированные узловые точки решётки поверхности , получим расширенные окрестности для точки . Вновь из места отправной точки  узловой решётки поверхности продвигаемся шагом на расстояние шести узловых точек решётки поверхности евклидовой плоскости  , фиксируемся в этой точке  и отходим назад на пяти узловым шагам в точку  закрепляем эту точку и поворачиваясь на право ( или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстоянии семи узловых точек решётки поверхности Евклидовой плоскости фиксируемся в этой точке  и отходим назад на шесть узловых шагов в точку  , закрепляем эту точку и, поворачиваясь направо (или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстоянии восьми узловых точек решётки поверхности евклидовой плоскости

,

фиксируемся в этой точке  и отходим назад на семь узловых шагов в точку , закрепляем эту точку и, поворачиваясь направо (или налево) на девяносто градусов, продвигаемся от этой точки шагом на расстояние девяти узловых точек решётки поверхности евклидовой плоскости

,

фиксируемся в этой точке  и отходим назад на восемь узловых шагов в точку , закрепляем эту точку. Далее, неоднократно применяя эту шаговую схему, получим бесконечное число друг в друга вложенных, четырёхугольных расширенных окрестностей, относительно квадратной окрестности в центре точки , то есть, свободно перекидывая второй конец верёвки через всех вершины, друг в друга вложенные четырёхугольные окрестности включая вершины квадратной окрестности точки перетянем равномерно туго, до тех пор пока верёвка не прикоснется к границам четырёхугольных расширенных окрестностей решётки евклидовой плоскости. При этом все бильярдные шары, под действием тяги верёвки прокатываясь по поверхности плоскости, равномерно уплотнятся вокруг точки  , плотно заполняя все четырёхугольные, расширенные окрестности. Следовательно,

→→→→                                                                                    →…→

В случае трёхмерного евклидова пространства – шаговая схема, аналогично проводится, как и в двумерном плоскостном случае. Берётся круговой цилиндр  или замкнутый шар . Узловая решётка плоскости заменяется узловым решёточным пространственным каркасом кругового цилиндра или шара. В роли узловой точки вступают бильярдные шары, равного диаметра и формы. После применения шаговой схемы, равномерно плотно заполненной бильярдными шарами, неправильные четырёхугольные тела представляют собой башни, вложенные друг на друга перевёрнутые основанием вверх по возрастанию, относительно по оси симметрии кругового цилиндра или замкнутого шара и вершиной вниз по убыванию тел. Таким образом, мы получим

→→→→

→…→

Основные результаты. Как известно, для того чтобы равномерно распределять точки на плоскости, достаточно поместить их в узлы координатной сетки. Но в случае поверхности конфокальной системы потребуется исключительно иной метод для равномерного распределения точек. В данной работе в качестве такого метода предлагается метод автора – Поступательный шаг по завиткам спирали. С применением двух методов автора – Геометризации винтовой поверхности кривых и Поступательного шага по завиткам спирали – получены

Определение. Множество при называется геометрическим звездным телом, если оно

·     звездное;

·     не обязано быть центрально-симметричным;

·     область его звездчатости имеет комбинаторный и звездный -элемент;

·     как топологический шар (или как топологический куб ), имеющий звездную триангуляцию , является -элементом;

·     представляется в виде связной суммы и разрезанными несжимаемыми шарами и двусторонними торами, каждая долька ) несет полную локально однородную метрику конечного объема.

Теорема. Пусть геометрическое (выпуклое, невыпуклое, с винтовой поверхностью) тело в трёхмерном Евклидовом пространстве . И пусть на поверхности или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью) тел заданы  – счётное количество подобласти. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

·     в каждой площади или объёме подобласти соответственно, поверхности или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью) тел количество точек  обратно пропорционально длине или ширине, или величине объёма подобласти ;

·     каждая замкнутая подобласть , заключённая между предыдущей и последующей подобластью имеет плотность распределения точек, равную нулю, за пределами своих граничных точек;

·     плотность распределения точек на поверхности в каждой замкнутой подобласти  или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью) тел имеет постоянную величину;

·     замкнутые подобласти  и  на поверхности или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью) тел

 попарно не пересекаются ;

·     каждая замкнутая подобласть  на поверхности или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью)

тел допускает геометрическую и топологическую структуру;

·     каждая замкнутая подобласть  на поверхности или по объёму геометрических (выпуклых, невыпуклых, с винтовой поверхностью) тел

имеет конечную площадь или конечный объём;

·     равномерно плотно распределённые точки, неправильные четырёхугольные подтела  по объёму геометрических

(выпуклых, невыпуклых) тел представляют собой башни, вложенные друг на друга, перевёрнутые основанием вверх по возрастании относительно по оси симметрии геометрических (выпуклых, невыпуклых) тел  и вершиной вниз по убывании, а в геометрических винтовой поверхностью тел

– винтовую башню.

Замечание. Вопрос вычисления фундаментальные группы ( ) в остаётся открытыми.

Список литературы:

1. Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм // Успехи математических наук (УМН). –1937. – № 3. – С. 16–62.
2. Штогрин М.И. Правильные разбиения пространств постоянной кривизны и их приложения : автореф. … д-ра физ.-мат. наук. – М., 2000.
3. Abdymanapov Usen. Pathological (wild) knots and braids in three-dimensional Euclidean space // 28^th Summer Conference on Topology and it’s Applications, 2013, Nipissing University, North Bay, Ontario, Canada.
4. Peter Engel. Geometric Grystallography. – Dordrecht, 1986. – 266 p.