ОСНАЩЕНИЕ Э. БОРТОЛОТТИ SH – РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

EQUIPMENT E. BORTOLOTTI OF SH – DISTRIBUTION

Andrey Budylkin

Baltic federal university of I. Kant, graduate student, institute of applied mathematics and information technologies,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

Построен двойственный образ SH – распределения [1]. Введено оснащение Э. Бортолотти Λ-подрасслоения. Изучение SH-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями специальных классов регулярных гиперполос [2; 3], гиперповерхностей и гиперполосных распределений [4]. Индексы принимают значения:

;I, J, K,…σ,ρ,τ,…=i, j, k,…; α,β,γ,….

ABSTRACT

Built dually SH – distribution [1]. Permission equipment E. Bortolotti Λ-sub-bundle. Study of SH-relevant distributions, as these images are generalizations of the special classes of regular hyperstrips [2; 3], hypersurfaces and hyperband distribution [4]. The indices take the values:

;I, J, K,…σ,ρ,τ,…=i, j, k,…; α,β,γ,….

Ключевые слова: распределение; тензор; квазитензор; нормализация; квазинормаль; геометрический объект.

Keywords: distribution; tensor; quasi tensor; normalization; quasi normal; geometric object.

1. Двойственный образ SH – распределения

Рассмотрим SH – распределение [1], для которого плоскость L(A₀) в каждом центре А₀ является характеристикой H – плоскости при смещении центра вдоль кривых принадлежащих плоскости Λ(А₀). В этом случае тензор

.                                                                                   (1)

SH – распределение при условии (1) задается уравнениями [1]:

,

                     (2

,

Введем в рассмотрение систему из (n+1)² форм Пфаффа :

                                      (3)

где:

.

Формы  удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают ифинитезимальные перемещения тангенциального репера

,                                                          (4)

где:

 .

Докажем, что преобразование  форм проективного пространства по закону (3) является инволютивным, т. е. ^-1. Действительно, прежде всего из формул

согласно уравнениям (1), (3) находим

 

                                                    (6)

 ,

,

.

В силу (6) имеем

Из дифференциальных уравнений (2), записанных относительно тангенциального репера (5), с использованием (4) соответственно имеем:

                                            (7)

          (8)

Наконец, из соотношений

согласно формулам (6)-(8), находим еще две группы необходимых нам соотношений между объектами, отнесенными к различным реперам  и :

                                (9)

                                   (10)

Теперь, используя соотношения (6)-(10), из формул (1),(3) получаем формулы, определяющие преобразование

            (13)

Итак, из соотношений (1) и (13) получаем, что ^-1. Дифференциальные уравнения регулярного  – распределения, двойственного данному регулярному SН – распределению, имеют аналогичный вид (без соответствующих замыканий):

          (14)

.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Регулярное SН – распределение проективного пространства P_n во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:

1)  проективное пространство , двойственное исходному проективному пространству  относительно инволютивного преобразования  форм  по закону (3),

2)  регулярное распределение  ⊂  , двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (4) – (5) имеют вид (14), аналогичный уравнениям SН – распределения проективного пространства  [1].

В разных дифференциальных окрестностях можно построить поля фундаментальных и охваченных объектов двойственного многообразия  ⊂ , используя те же формулы охватов. Построенные поля геометрических объектов определяют внутреннюю геометрию многообразия  ⊂ , двойственную геометрии исходного SН – распределения проективного пространства .

Двойственная теория имеет место и на оснащенном SН – распределении в . Пусть основные структурные подрасслоения SН – распределения нормализованы полями квазитензоров  В силу (2), и соотношений

убеждаемся, что функции

                             (15)

                          (16)

удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям:

                              (17)

где:

Таким образом, всякая нормализация SН – распределения индуцирует двойственную ей нормализацию. При этом оснащающие объекты (,), (,) связаны соотношениями (15) – (16).

В результате справедлива

Теорема 2. Нормализация одного из регулярных распределений  ⊂  и SН ⊂  равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (15) – (17).

В первых трех дифференциальных окрестностях мы построили (без применения теории двойственности) различные внутренние инвариантные нормализации SН – распределения проективного пространства [1]. Теперь, утверждаем: в силу двойственности теории SН – распределения, зная закон охвата объекта нормали первого (второго) рода  () любого ассоциированного распределения с данным SН – распределением, можно построить внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго (первого) рода  () рассматриваемого ассоциированного распределения по следующей схеме [3; 4]. Построим охват квазитензора  () двойственного образа  ⊂ , аналогичный охвату  (), после чего по закону (3) найдем соответствующую нормаль  (). В этом случае будем говорить, что поля нормалей  и  двойственны друг другу по отношению к инволютивному преобразованию  [3].

2. Инвариантное оснащение базисного Λ – подрасслоения данного SH – распределения в смысле Э. Бортолотти

Определение. Λ – подрасслоение m – мерных линейных элементов Λ(А₀) данного SH – распределения, назовем оснащенным в смысле Э. Бортолотти [7], если каждому центру А₀ SH – распределения поставлена в соответствие гиперплоскость B_n-1(A₀), не проходящая через точку А₀.

Гиперплоскость Э. Бортолотти B_n-1(A₀) зададим относительно репера R₁ уравнением:

                                               (18)

Компоненты полей объектов , определяющих гиперплоскость B_n-1(A₀), удовлетворяют уравнениям:

                                                       (19)

                                                        (20)

                             (21)

Согласно уравнениям (19) получаем, что в качестве охвата квазитензора {} можно взять квазитензор {}, где

,                       (22)

Это равносильно тому, что оснащающая гиперплоскость B_n-1(A₀) проходит через первую ось Кенигса K_n-m-2(A₀) = [K_α] = [] подмногообразия H(Λ) [3].

В силу соотношений (3), систему уравнений (19) – (21) представим в двойственном виде:

                                   (23)

                                       (24)

            (25)

где: функции ,  , , учитывая

,

имеют следующее строение

Сравнивая уравнения (23) – (25) с соответствующими уравнениями (19) – (21), видим, что оснащение в смысле Э. Бортолотти H(Λ)- подрасслоения полем гиперплоскостей  определяет поле плоскостей (A₀), оснащающих в смысле Э. Картана двойственное подмногообразие  в [8]. Это поле задается полями объектов  (важно при этом заметить, что плоскость  имеет размерность m).

Поле плоскостей  определяется неоднозначно потому, что квазитензор :

                                     (26)

двойственный квазитензору , можно охватить не единственным образом. В частности, уравнениям (23) удовлетворяют компоненты квазитензора , где

;      ,                                 (27)

при этом

 (28)

Так как охват  определяет в каждом центре первую ось Кенигса

[K_α] Λ – подрасслоения, то по двойственности охват (28) определяет (m+1) – мерную инвариантную плоскость

, содержащую в каждом центре А₀ текущий элемент базисного Λ- подрасслоения: Λ(А₀)⊂K_m+1(А₀).

Плоскость К _m+1 (А₀), по аналогии с плоскостью  назовем второй осью Кенигса Λ- подрасслоения в его центре А_0.

Плоскость Картана  двойственного подмногообразия  при охвате (28) есть m – мерная плоскость K_m(A₀), содержащаяся во второй оси Кенигса K_m+1(A₀): K_m(A₀). Так как K_m и Λ(А₀), то K_m Λ(А₀) = .

Таким образом, справедлива

Теорема 3. При охвате (28) оснащение в смысле Бортолотти Н(Λ) – подрасслоения полем гиперплоскостей B_n-1, равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа  полем m – мерных плоскостей К_m, принадлежащих полю вторых осей Кенигса распределения .

Отметим, что оснащение Λ – подрасслоения в смысле Э. Бортолотти влечет за собой его оснащение полем нормалей 2-го рода {. Обратно, если на Λ – подрасслоении задано поле нормалей 2-ого рода {}, то такое оснащение подмногообразия Λ определяет его оснащение в смысле Э. Бортолотти, ибо в качестве одного из возможных охватов функции  можно взять:

                                           (29)

При охвате (29) функции  оснащающую гиперплоскость (А₀) назовем гиперплоскостью Кенигса нормали .

Запишем условия неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти:

                         (31)

,               (32)

.                                               (33)

Подставляя вместо функций с чертой их выражения через функции без черты, получим соотношения, равносильные (31) – (33)

                                       (34)

                      (35)

,                           (36)

.                                                (

Одновременное выполнение (36) и (37) является условием того что при смещении точки А₀ гиперплоскость (А₀) «вращается» вокруг нормали второго рода.

Покажем, что при m>1, следуя работе [3], это условие эквивалентно тому, что оснащающая гиперплоскость Бортолотти (А₀) является неподвижной.

Действительно, замыкая уравнения

равносильные соотношениям (37), с исползованием условий (36) получим:

(38)

Соотношения (39), в силу линейной независимости каждой из систем форм , , при m>1 равносильны соотношениям (35).

Уравнения (19) в силу соотношений (36) можно переписать в следующем виде:

Замыкая полученные уравнения, с использованием условий (38), получим соотношения (34).

Теорема 4. На Λ – подрасслоении (при m>1) данного SH – распределения оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти (А₀) неподвижна тогда и только тогда когда она «вращается» вокруг нормали второго рода К_m-1(А₀)

Запишем условия (37) при К= :

Свертывая эти соотношения по индексам , найдем охват квазитензора

.

Запишем условия (36) при К = j:

Свертывая последние равенства с тензором , с учетом ,

получим:

                             (39)

Теорема 5. Если на регулярном Λ – подрасслоение данного SН - распределения оснащающая гиперплоскость  неподвижна, то она в каждом центре А₀ является плоскостью Кенигса нормали  второго рода.

Из соотношений (37) следует, что неподвижная оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти, то есть плоскость Кенигса нормали  второго рода, определяется следующим охватом

.               (40)

Таким образом, получаем, что в случае неподвижности оснащающей плоскости Э. Бортолотти на Λ – подрасслоении охваты 40 и 39, определяют одну и ту же плоскость Кенигса нормали

Определение. Λ – подрасслоение SH – распределения назовем сильно оснащенным, если оно оснащено в смысле Э. Бортолотти и Э. Картана одновременно [5].

Сильное оснащение Λ – подрасслоения влечет за собой его нормализацию. Справедливо и обратное утверждение: всякая нормализация Λ – подрасслоения в смысле Нордена – Чакмазяна индуцирует его сильное оснащение полями плоскостей Кенигса К_n-m-1 нормалей первого и второго рода соответсвенно.

Определение. Λ – подрасслоение SH – распределения назовем согласовано оснащенным, если оно сильно оснащено и при этом в каждой точке А₀ оснащающие плоскости Картана К_n-m-1 и Бортолотти B_n-1 инцидентны [6].

Определяющие плоскость Картана точки:

,

принадлежат плоскости Бортолотти

тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению

Следовательно, аналитическим условием согласованности оснащения подмногообразия Λ является обращение в нуль относительного инварианта :

.

Отметим, что согласованное оснащение Λ – подрасслоения является сильным: обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Список литературы:

1. Будылкин А.А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства // Естественные и математические науки в современном мире / г. Новосибирск, 2015. вып. № 2 (26) –С. 24–33.
2. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространство. Учебное пособие, издание 2-ое. Изд-во БФУ им. Им. Канта, Калининград, 2011. – 122 с.
3. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий; Монография 2-е изд. / Чуваш. Ин-т, Чебоксары 1994 г. 290 с.
4. Cтоляров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов. – В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), – М., 1975, Т. 7, С 117–151.
5. Фисунов П.А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. – Чебоксары, 1999. – 33 с. – Деп. В ВИНИТИ РАН 1999. – № 1835–В99.
6. Фисунова С.В. Двойственные линейные связности на распределении гиперплоскостных элементов. // Дифференц. Геометрия многообразий фигур. – Калининград, 1999, № 30. – С. 94–97.
7. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spati; applicazione alla geometria metrica differenziale delle cngruenze di rette // Rend. Semin. Sci. Univ. Cagliari. – 1933, – V. 3, – P. 81–89.
8. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – М., 1937. – Вып. 4. – С. 147–159.