ВВЕДЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ТРЕХСОСТАВНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

INTRODUCTION PROJECTIVE CONNECTIONS ON THREE-PART DISTRIBUTION OF PROJECTIVE SPACE

Yuri Popov

candidate of science, professor of institute of applied mathematics

and information technologies, Baltic federal university of I. Kant,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

Данная статья является непосредственным продолжением работы [8] и выполнена инвариантным теоретико-групповым методом Г.Ф. Лаптева [2]. Дано построение проективных связностей (определенных путем проектирования [4]), ассоциированных с подрасслоениями данного TH – распределения. Приведены охваты компонент тензоров кручения-кривизны, построенных проективных связностей соответственно распределений .Указан способ построения двойственных проективных связностей соответственно связностям .Теория TH – распределения актуальна, так как она применяется для изучения геометрии, как вырожденных гиперполос [5; 6], так и для регулярных гиперполос и гиперповерхностей (общего и специального типов) проективного пространства [8; 7; 1].

Во всей работе индексы принимают следующие значения:

;  ; ;  ;

 ;  ; ;  ;

;; ; .

ABSTRACT

This article is a continuation of [8] and made by invariant group-thearetic method of G.F. Laptev. Given the construction of projective connections associated with subbundles of TH distribution. Also given the coverages of torsion-curvature tensor components, constructed projective connections  respectively distributions . Shown a method of constructing the dual projective connections  respectively connections . Study of TH – distributions is actual, because the theory of TH – distributions can be used to study torsovyh surfaces, dimensional hyperbands regular and special classes hyperbands and hypersurfaces of projective space.

Indexes are:;  ; ;  ;

 ;  ; ;  ;

;; ; .

Ключевые слова: распределение, геометрически объект, связность, тензор кручения-кривизны, объект проективной связности;

Keywords: distribution, geometrical object, coherence, tensor twisting-curvature, object of projective coherence;

1. Как известно [8], относительно репера 1-го порядка дифференциальные уравнения рассматриваемого трехсоставного регулярного распределения TH имеют вид (в данной работе мы изменим обозначения некоторых функций):

; ; ;

; ; ;                                      (1)

; ; .

Замечание. Здесь  – фундаментальный объект 1-го порядка, а - фундаментальный объект 2-го порядка исследуемого многообразия TH.

В целях полноты изложения приведем дифференциальные уравнения, которым подчинены компоненты фундаментального объекта 2-го порядка Г₂ [8], т. е. функций, входящих в уравнения (1):

                                           (2)

Коэффициенты в правых частях уравнения (2), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам.

2. Рассмотрим пространство проективной связности Р_{n,r ,} n-мерной базой которого является точечное проективное пространство Р_n, а слоями (r-мерные центропроективные пространства) – плоскости П_r соответствующих r-мерных линейных элементов базисного распределенияTH.

Проективную связность Г пространства Р_n,r определим при помощи системы форм :

удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]:

                                        (3)

где:

Геометрический объект  (следуя работе [4]) назовем объектом проективной связности пространства Р_n,r.

Формы  (3) определяют проективную связность в слоях (плоскостях П_r распределения ) пространства проективной связности Р_n,r тогда и только тогда [2–4], когда

                                                      (4)

При этом структурные уравнения для слоевых форм  (3) пространства Р_n,r имеют вид

                                          (5)

где:

• компоненты тензора кручения-кривизны проективной связности Г пространства Р_n,r.

Пусть базисное распределение  (распределение плоскостей P_r) трехсоставного распределения TH оснащено в смысле Картана [10] внутренним образом. То есть в каждом центре А_о элемента распределения TH внутренним инвариантным образом присоединена оснащающая плоскость  [8], § 5, принадлежащая нормали 1-го родабазисного распределения  и не проходящая через точку А_о. Известно [8, § 5], что инвариантная оснащающая плоскость натянута на точки

              (6)

где:

Построим проективную связность Г, внутренне определенную самим распределением TH, т. е. построим охват объекта проективной связности Г фундаментальными объектами распределения TH.

Предварительно представим систему дифференциальных уравнений (4) в следующем виде:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (7) – (10) удовлетворяются, если в качестве компонент объекта проективной связности  взять такие функции:

                      (11)

Замечание. Охват объекта проективной связности Г по формулам (11) можно осуществить с помощью компонент фундаментального объекта второго порядка (третьего порядка,…) распределения . Этот порядок зависит от порядка квазитензоров  участвующих в охватах (11) функций .

Слоевые формы  пространства проективной связности Р_n,r внутренне определенного на распределении  имеют вид:

                    (12)

Можно показать, следуя работе [4], что построенная внутренним образом проективная связность Г определена путем проектирования при помощи оснащающей по Картану плоскости  (6).

Компоненты тензора кручения-кривизны  пространства Р_n,r в структурных уравнениях (5) имеют следующие строения [4]:

3. Рассмотрим пространство проективной связности Р_n,s, n-мерной базой которого является точечное проективное пространство Р_n, а слоями (s-мерные центропроективные пространства) – плоскости П_s(s=m-r) соответствующих s-мерных линейных элементов распределения TH.

Определим проективную связность g пространства Р_n,s при помощи системы форм :

                                   (13)

удовлетворяющих структурным уравнениям [3], [4]

                             (14)

где:

Для того, чтобы формы  (13) определяли проективную связность в слоях (плоскостях П_s распределения H_s) пространства проективной связности Р_n,s необходимо и достаточно, чтобы было задано поле объекта связности { [2–4], т. е. чтобы выполнялись дифференциальные уравнения

                                     (15)

Тогда структурные уравнения для слоевых форм  (13) пространства Р_n,s имеют вид

                            (16)

где:

• тензор кручения-кривизны проективной связности пространства Р_n,s.

Предположим, что распределение H_s оснащено в смысле Э. Картана [10] внутренним образом полем плоскостей [8]. Оснащающая плоскость  натянута на точки [8, § 5]:

                        (17)

где:

Построим проективную связность g, внутренне определенную самим распределением TH, т. е. построим охват объекта проективной связности  фундаментальными объектами распределения TH.

Дифференциальные уравнения (15) представим в виде:

                            (18)

                                     (19)

                          (20)

          (21)

Охват компонент объекта проективной связности  можно осуществить с помощью функций:

                      (22)

которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям (18) – (21).

Таким образом, слоевые формы  пространства проективной связности Р_n,s, внутренне определенного распределением , имеют вид

                        (23)

Нами доказано, что проективная связностьg, определенная формами (23), получена проектированием при помощи оснащающей по Э. Картану [10] плоскости (A_o) (17).

Компоненты тензора кручения-кривизны пространства проективной связности Р_n,s в структурных уравнениях (16) имеют следующие строения [4]:

4. Рассмотрим пространство проективной связности Р_n,n-m-1, n-мерной базой которого является точечное проективное пространство Р_n, а слоями (n-m-1)-мерные центропроективные пространства) – плоскости Х_n-m-1–характеристики соответствующих (n-1)-мерных линейных элементов оснащающего распределения .

Проективную связность J пространства Р_n,n-m-1 можно определить при помощи форм :

                                          (24)

удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]

где:

Геометрический объект  назовем [4] объектом проективной связности пространства Р_n,n-m-1. Для того чтобы формы  определяли проективную связность J пространства Р_n,n-m-1, необходимо и достаточно [2–4], чтобы было задано поле объекта связности , т.е. чтобы выполнялись дифференциальные уравнения

                                    (25)

или, что то же,

где:

• компоненты тензора кручения-кривизны пространства Р_n,n-m-1.

Построим охват объекта проективной связности J фундаментальными объектами распределения TH.

Систему дифференциальных уравнений (44), которым должны удовлетворять функции  представим в следующем виде:

.             (26)

                        (27)

        (28)

   (29)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (26–29) удовлетворяются, если в качестве компонент объекта проективной связности  взять следующие функции:

                  (30)

где:

Замечание. Формулы (30) определяют охват объекта проективной связности фундаментальным объектом распределения TH не ниже второго порядка. Этот порядок зависит от порядка квазитензоров, участвующих в охватах (30), так как остальные функции имеют порядок не ниже второго. Аналогичные утверждения имеют место и при построении охвата (22) объекта проективной связности  пространства. Построение квазитензоров различных порядков приведено в работе [8].

Итак, слоевые формы  пространства проективной связности , внутренне определенного на распределении , имеют следующий вид:

                            (31)

Нами показано (следуя работе [4]), что проективная связность J определяется путем проектирования при помощи внутренне определенной (оснащающей по Картану) плоскости ,

где:

Построим охваты компонент тензора кручения-кривизны  пространства проективной связности P_n,n-m-1 [4]:

5. Рассмотрим теперь систему из (n+1)² форм Пфаффа :

Заметим, что формы  (32) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера {}:

где:

где:

В работе [8], доказано, что регулярное (S¹0) трехсоставное распределение  во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует проективное пространство , двойственное исходному проективному пространству Р_n относительно инвалютивного преобразования P форм  по закону (32).

Дифференциальные уравнения геометрического образа , двойственного данному распределению TH, имеют вид

                       (33)

Известно [8], что каждая система величин

                            (34)

образует квазитензор, двойственный соответствующему квазитензору, относительно преобразования P (32).

Следуя работе [9], укажем способ построения двойственных проективных связностей относительно инволютивного преобразования P (32). Строим, например, охват объекта проективной связности  двойственного образа , аналогичный охвату объекта  (для величин  входящие в них формы и функции пишутся с черточкой сверху). После чего по закону P (32), учитывая при этом формулы (33), (34), находим охват объекта проективной связности  – двойственного образа объекта .

Системы форм , построенные по законам соответственно вида (12), (23), (31) (в этом случае, входящие в них формы и функции пишутся с черточкой сверху), удовлетворяют (каждая) структурным уравнениям Картана-Лаптева и определяют соответственно пространства  с линейной связностью проективного типа, двойственные соответствующим пространствам .

Список литературы:

1. Волкова С.Ю., Попов Ю.И. «Поля фундаментальных и охваченных объектов кооснащенной гиперполосы проективного пространства» // Сб. «Диф. геом. многообр. фигур», вып. 41. 2010, – С. 23–35.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований. Тр. Моск. мат. о-ва, 1953, т. 2, 275–382.
3. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные и обобщенные пространства. Тр. 4-го Всес.матем.съезда, 1961, т. 2, – Л., «Наука», 1964, 226–233.
4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I. Тр. Геометр. семинара. (Всес. ин-т научн. и техн. информ., 1971, т .3, 49–94.
5. Попов Ю.И. Внутренние оснащения вырожденной m-мерной гиперполосы  ранга r многомерного проективного пространства. Калининград, 1975 Сб. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур»; Вып.6. Калининград, гос.ун-т, С. 102–142.
6. Попов Ю.И. О полях геометрических объектов многомерной распадающейся гиперполосы проективного пространства. Калининградский госуниверситет, 1977. – Вып. 8. – С. 43–70. В сб. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур».
7. Попов Ю.И. Регулярные гиперполосы  проективного пространства // Сб. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», вып. 41, 2010. –С. 117–125.
8. Попов Ю.И. Трехсоставные регулярные распределения  проективного пространства. Калининградский ун-т, Калининград, 1982, 126 с. Библиогр. 20 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 16 декабря 1982 г., № 6192-82Деп.).
9. Столяров А.В. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения. В сб.: «Дифференциальная геометрия многообразий фигур», 1982, вып. 13, 95–102.
10. Cartan E., Les espaces a connexion projective.Тр. Семин.по векторн. и тензорн. анализу, 1937, т. 4, 147–159.