ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF THE CONJUGATION PROBLEM FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD ORDER

Nurkasym Arkabaev

senior lecturer chair of “Programming” Osh state university,

Kyrgyzystan, Osh

АННОТАЦИЯ

Доказана теорема единственности решения задачи сопряжения для уравнений в частных производных третьего порядка с характеристической линией, принадлежащих к разным типам.

ABSTRACT

The theorem of uniqueness of the solution of the conjugation problem for partial differential equations of the third order with characteristic lines belonging to different types.

Ключевые слова: краевые задачи; характеристика; сопряжения; окрестность; уравнения; краевые условия; однородные условия; однородная задача; тривиальное решение.

Keywords: boundary value problems; characteristic; conjugation; neighborhood; equation; boundary conditions; similar conditions; homogeneous problem; trivial solution.

В работе рассмотрим задачу сопряжения для уравнений вида

                        (1)

,                                                               (2)

где: ,  , а .

Пусть  означает класс функций, имеющие производные .

Уравнения (1) и (2) по классификации работы [2] принадлежат разным типам. Прямая  является характеристикой одновременно для уравнений (1) и (2).

Краевые задачи как для уравнения (1), так и для уравнения (2), в отдельности, рассматривались в работах [1; 5; 7].

К таким задачам приводятся математические модели ряда задач механики сплошных сред, физики и техники, параметры которых резко отличаются в окрестности линии сопряжения [3; 4; 6].

ЗАДАЧА 1. Найти в области  функцию  , удовлетворяющую уравнению (1) в области , а в области  – уравнению (2), а также же краевым условиям:

, , ,                                       (3)

            (4)

где: ,  заданные функции, причем

                      (5)

.                                                    (6)

Отметим, что из постановки задачи 1 вытекает следующие условия сопряжения на линии :

, .                    (7)

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагаем следующее условие

.       (8)

Используя условия сопряжения (7) введем обозначения

, ,                              (9)

где: ,  пока неизвестные функции.

Тогда в силу (6) имеем следующие условия согласования

        (10)

, .                    (11)

Переходя к пределу при  в уравнении (1) имеем

.       (12)

Докажем единственность решения задачи 1. Имеет место

ТЕОРЕМА. Если выполняются условия (5), (6), (8), (10), (11) и

,                                                    (13)

,                              (14)

              (15)

то задача 1 имеет единственное решение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим задачу с однородными условиями

, , ,                        (16)

, , , ,         (17)

, ,

при этом условия согласования (10), (11) примут вид

, , ,                                (18)

, .                                       (19)

Интегрируя тождество

по области  и используя формулу Грина имеем

.                    (20)

Вычисляя значения криволинейного интеграла по границе области  из (17) с учетом (14) получим

.        (21)

С другой стороны, в силу условия (13) из (14) и (15), (16) будем иметь

.                        (22)

Из (21) и (22) получаем равенство

,

из которого имеем

:  : .

Тогда в области  приходим к следующей однородной задаче:

,                                                             (23)

, , ,                        (24)

, .

Интегрируя тождество

по области  и учитывая (24) имеем

. (25)

При выполнении условия (15) из (25) получим

: , ,

: .

Отсюда, в силу непрерывности  в  следует, что

: .

Это означает, что однородная задача (23), (24) имеет только тривиальное решение. Следовательно, решение задачи 1 единственно.

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнений с кратными характеристиками: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Ташкент, 1992. – 27 с.
2. Джураев Т.Д., Попёлок Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. – 1991. Т. 27. № 10. – С. 1734–1745.
3. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. – Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. – 208 с.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
5. Хошимов А.Р. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях. Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Ташкент, 1995. – 94 с.
6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977. – 624 с.
7. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Нальчик, 1985. – 225 с.