НОРМАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПО НЕТЕРУ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

NORMAL SOLVABILITY BY NETTER INTEGRAL EQUATIONS OF THE THIRD KIND IN THE COMPLEX DOMAIN

Kerim Barataliev

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Bekzhan Temirov

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Askar Talantbekov

post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В работе доказана нормальная разрешимость по Нетеру линейных интегральных уравнений третьего рода в комплексной области, используя результаты краевых задач Гильберта и Римана в теории аналитических функций.

ABSTRACT

We prove the normal solvability on Neteru linear integral equations of the third kind in the complex domain, using the results of the Hilbert boundary value problems, and Riemann in the theory of analytic functions.

Ключевые слова: Нормальная разрешимость по Фредгольму, по Нетеру и по Хаусдорфу, интегральные уравнения, сингулярные интегральные уравнения, ядро Коши, ядро Гильберта.

Keywords: Normal solvability on Fredholm on Neteru and Hausdorff, integral equations, singular integral equations, Cauchy kernel Hilbert kernel.

ВВЕДЕНИЕ

Исторически интегральные уравнения третьего рода привлекли внимание многих исследователей в разных направлениях. На ранней стадии исследования этого класса уравнений наметились два направления. Исходным пунктом одного направления является работа Д. Гильберта (1912), который состоит в сохранении альтернативы Фредгольма для уравнения

за счет расширения пространств решений.

Началом второго направления служит работа Э.И. Пикара (1912) и оно состоит в сведении интегральных уравнений третьего рода (1) к сингулярному интегральному уравнению с тем расчетом, чтобы привлекать их методы к исследованию рассматриваемого уравнения. Однако к тому времени теория сингулярных интегральных уравнений не была развита в таком совершенном виде, как в последствии. Первые основополагающие результаты по теории сингулярных интегральных уравнений были получены лишь в работах Ф. Нетера (1921) и сформулированы, в так называемых, теоремах Нетера, играющие в теории сингулярных интегральных уравнений ту же роль, что известные теоремы Фредгольма для уравнений Фредгольма.

После этих фундаментальных направлений долгое время в исследовании интегральных уравнений третьего рода господствовала затишье. Однако, начиная с 60-х годов прошлого столетия в связи с интенсивными исследованиями общей теории некорректных задач, интегральных уравнений первого рода в частности, естественно были затронуты рядом авторов и вопросы интегральных уравнений третьего рода. В работе (Рогожин В.С., Расланбеков С.Н. – 1978) доказаны теоремы Нетера в пространствах обобщенных функций, а в работе (Bart G.R. – 1981) приведены теоремы Фредгольма для линейных интегральных уравнений третьего рода, путем расширений пространств решений. При этом остро чувствовалось отсутствие общей теории (в классическом смысле) этого класса уравнений.

Таким образом, стояла задача о создании общей теории интегральных уравнений третьего рода. Эта задача еще более обострилась в связи со следующим утверждением [5, с. 175], что оператор , определяемой формулой.

не разрешим нормально в  Больше того, там же утверждается, что аналогичный результат справедлив для оператора , где  определено более общим образом в виде

где: функция  имеет на отрезке  конечное число нулей целого порядка. Поэтому оператор

согласно работе [5], является не нормально разрешимым в пространстве .

В настоящей статье доказана нормальная разрешимость по Нетеру интегральных уравнений третьего рода (4) в комплексной области, рассматривая его как граничное условие краевых задач Гильберта и Римана в теории аналитических функций. Напомним, что

Краевая задача Гильберта формулируется следующем образом: пусть на гладком замкнутом контуре L в комплексной плосткости, ограничивающем область D⁺, содержающей начало координат, заданы вещественные функции  и  . Далее, будем предполагать, что эти функции удовлетворяют условию Гельдера на  и что при  выполнено условие нормальности

(5)

Требуется определить функцию  такую, что она

1. регулярна во всех точках D⁺;
2. непрерывна в области
3. на границе L эта функция является решением уравнения

где:

Основным в этой работе является следующая

Теорема. Пусть L – гладкий замкнутый контур, охватывающий область D⁺, которая содержит начало координат. Рассмотрим линейное интегральное уравнение третьего рода вида

(6)

где: 0,  и  – заданные функции на L, удовлетворяющие условию Гельдера (функция  удовлетворяет условию Гельдера по обоим переменным),. Ф – искомая функция, которая также ищется в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера. Тогда уравнение (4) нормально разрешимо по Нетеру.

Доказательство. Предварительно заметим, что интегральный оператор K, определяемый формулой

(7)

является вполне непрерывным (компактным) в банаховом пространстве  функций, удовлетворяющих условию Гельдера, с нормой

Поэтому рассмотрим уравнение

(8)

с компактным возмущением (7).Здесь для простоты положили  

Заметим, что имеет место комплексное представление

=а

с вещественными функциями . Тогда с учетом искомой функции  имеем

(9)

Действительную часть (9),т.е.уравнение

(10)

будем рассматривать как граничное условие краевой задачи Гильберта.

Гильберт привел свою краевую задачу к сингулярному интегральному уравнению вида

(11)

где: , ,  те же функции, что и в краевой задаче Гильберта (10). А для уравнения (10) Нётер доказал (1921) свои знаменитые теоремы, называемыми теоремами Нетера.

Лемма 1. При сделанных предположениях сингулярное интегральное уравнение (11) и краевая задача Гильберта с условием (10) эквивалентны в том смысле, что уравнение (11) и задача (10) одновременно разрешимы или неразрешимы и в однородных случаях, т.е. когда их правые части равны нулю, имеют одно и то же число линейно независимых решений.

Этим доказано, что уравнение (10) и сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта (11) нетеровы. Остается доказать нетеровость мнимой части уравнения (9). Тогда эти два утверждения достаточны для того, чтобы комплексное интегральное уравнение третьего рода (1) являлось нетеровым.

С этой целью заметим, что краевая задача Гильберта является частным случаем граничной задачи Римана, а последняя заключается в отыскании кусочно-аналитической функции, определенной во всей комплексной плоскости, тогда как в задаче Гильберта ищется функция, определенная только во внутренней части области, а дополнительная область совершенно не затрагивается. Продолжим заданную в олбласти  функцию  в области, считая, что в точках, симмметричных относительно контура L, функции принимают сопряженные значения.Так как в силу определения то краевому условию задачи Римана можно придать следующую форму

(12)

Если задан гладкий замкнутый контур L, ограничивающий область , которая содержит начало координат. Через  обозначим внешнюю по отношению  область.

В то же время справедлива

Лемма 2. Краевая задача Римана с условием (12) эквивалентна задаче нахождения решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши вида

(13)

эквивалентны в том смысле, что уравнение (13) и задача (12) одновременно разрешимы или неразрешимы и в однородных случаях, т. е. когда их правые части равны нулю, имеют одно и то же число линейно независимых решений.

Если теперь ввести операторы , ,  с помощью формул

то уравнение (13) можно коротко записать в виде

(14)

операторы обратимы, тогда как оператор не всегда обратим. С этим как раз и связано несовпадение основных теорем теории сингулярных интегральных уравнений с теоремами Фредгольма.

Производя подстановку новая искомая функция, на основании формулы обращения  [5, с. 138–139]запишем уравнение (14) в виде

Таким образом операторы  и В можно поменять местами, а это означает, что коэффициенты ив уравнении (14) можно поменять местами. Тогда мы придем к сопряженной задаче Гильберта

т. е.

В силу того, что сумма нетеровых и компактных операторов нетеровы, то вместе с уравнениями (8), (11) и (13) и уравнения (4),  являются нетеровыми.

Итак, комплексное интегральное уравнение третьего рода (4) эквивалентно и к сингулярному интегральному уравнению с ядром Гильберта и к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши в том смысле, что все три названные уравнения одновременно нётеровы.

Теорема доказана.

Список литературы:

1. Бараталиев К.Б. К теории интегральных уравнений третьего рода. Бишкек: Изд. «Учкун», 2004. – 160 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевая задача. – М.: Физматгиз, 1958.

3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962.

4. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. – М.: 1979. – 493 с.

5. Рогожин В.С., Расланбеков С.Н. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода. Дифф. уравнения, – 1978, 14. № 2. С. 514–521. Р. 48–57.

6. Bart G.R. Three Theorems on Third-Khid Linear integral Euations. J. Math.Anal.Appl. – 1981.Vol. 79.