КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКЛАССИЧЕСКИМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THIRD ORDER WITH NONCLASSICAL BOUNDARY CONDITIONS

Ularbek Moldoyarov

senior lecture, Chair of Information Technology and Automatization System Osh State University,

Kyrgyzstan, Osh

АННОТАЦИЯ

Методом сжатых отображений доказана разрешимость краевой задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.

ABSTRACT

The method of contraction mapping proved the solvability of boundary value problem for nonlinear partial differential equations of the third order with nonclassical boundary condition.

Ключевые слова: краевая задача, неклассическое граничное условие, нелинейное уравнение, принцип сжатых отображений, интегро-дифференциальное уравнение.

Keywords: boundary value problem, non-classical boundary condition, nonlinear equation, the contraction mapping principle, integral-differential equation.

Краевые задачи с неклассическими граничными условиями для параболического уравнения с двумя независимыми переменными рассмотрены в работах [2; 3; 8]. Такого рода условия встречаются при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме [2], в процессах распространения тепла в стержне, когда задана сумма тепловой энергии [3; 8]. Различные нелокальные задачи с интегральными краевыми условиями рассмотрены также в работах [1; 4–7].

В работе рассматривается краевая задача для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическим граничным условием.

В области  рассмотрим уравнение

  (1)

где:  – заданная функция.

Задача 1. Найти в  решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

                       (2)

                                            (3)

где:  – заданные функции.

Решение задачи 1 будем искать в классе функций   . Сделаем следующие предположения относительно заданных функций:

1)  ;

2)   ;

3)  , ,  – пятимерное пространство переменных  

4)  ;

5)  ,.

Нетрудно заметить, что задача (1) – (3) эквивалентна интегро-дифференциальному уравнению

                                         (4)

где: ,

.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что функция , определяемая из (4) удовлетворяет уравнению (1). Полагая  в (4) и учитывая условия согласования 5) имеем, что . Полагая  в (4) и с учетом равенства  имеем, что . И наконец, умножим на  обе части уравнения (4) и интегрируем полученное равенство от  до . Тогда слагаемые, содержащие функцию , взаимно уничтожаются. Если учесть, что , то в правой части равенства остается, лишь . Тем самым доказывается выполнение первого условия (2).

Найдя производные  из (4) имеем

                               (5)

                           (6)

                                    (7)

                                   (8)

Введем вектор функцию  где   и оператор , компоненты которого определяется следующим образом

(9)

Здесь  

Тогда система уравнений (4)-(8) запишется в виде одного векторного уравнения

.                                                        (10)

Покажем, что для этого уравнения в области  имеет место принцип сжатых отображений. Пусть оператор  осуществляет сжатое отображение шара  где  некоторое заданное число, в себя.

Норму  определим равенством . Пусть . Для элементов , принадлежащих шару  имеет место оценка  Пусть . Тогда  и, кроме того, для всех  справедливы неравенства  где . Отсюда следует, что . Поэтому, если

,                                                         (11)

то  имеем . Следовательно . Это означает, что при выполнении условия (11) оператор A отображает шар  в себя.

Пусть  Тогда используя условия 4) из (9) получаем , где  Следовательно . Отсюда заключаем, что если

                                                            (12)

то, оператор А в силу (11), (12) осуществляет сжатое отображение шара  в себя. Тогда в силу теоремы С. Банаха в шаре  существует и притом только одна неподвижная точка отображения, т.е. существует только одно решение уравнения (10).

Определив в шаре  решение уравнения (10) методом последовательных приближений, мы однозначно построим решение системы уравнений (4) – (8), и тем самым решение задачи 1.

Теорема. Если выполняются условия 1) – 5) и (11), (12), то задача 1 имеет единственное решение, принадлежащее классу .

Список литературы:

1. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. – 1990. Т. 42, № 1. – С. 132–135.

2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим граничным условием // Дифференциальные уравнения. – 1977. Т. 13, № 2. – С. 294–304.

3. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал выч. матем. и матем. физики. – 1064, Т. 4. № 6. – С. 1006–1024.

4. Карсанова Ж.Т., Нахушева Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. – 2002. Т. 4. Вып. 2. – С. 31–37.

5. Керефов А.А., Плотникова Е.В. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка // Владикавказский математический журнал. – 2002. Т. 4. Вып. 2. – С. 51–60.

6. Напсо А.Ф., Канчукоев В.З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения // Владикавказский математический журнал. – 2002. Т. 4. Вып. 2. – С. 44–49.

7. Пулькина Л.С., Климова Е.Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебаний струны // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей всерос. научн. конф. Ч. З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. – Самара: СамГТУ, 2006. – С. 192–195.

8. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. – 1963. T. 21, № 2. – P. 155–160.