ДВУХСКОРОСТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦМАНА-МАКСВЕЛЛА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

TWO-SPEED CONTACT PROBLEM BOLTZMANN-MAXWELL WITH A SMALL PARAMETER

Taalaibek Omurov

doctor of science, professor of Kyrgyz National University named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

Marat Tuganbaev

candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Kyrgyz National University named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

Askar Talantbekov

post-graduate student of Kyrgyz national university named after J. Balasagyn,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В статье проведено исследование двухскоростных обратных задач типа Больцмана-Максвелла с малым параметром. При этом с целью выяснения разрешимости изучаемые задачи эквивалентно преобразованы к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода и используемые преобразования не выводит исследуемые задачи из класса (Б-М) уравнений причем в полном объеме сохраняет физические значения исходных задач. Исследование носит не только теоретический характер, но и имеет практическую ценность, так как полученные результаты могут быть использованы и при решении задач переноса более сложной структуры.

ABSTRACT

The paper studied the two-speed type of inverse problems of Boltzmann-Maxwell with a small parameter. At the same time in order to clarify the solvability of the problems under consideration is equivalent to the transformed system of Volterra integral equations of the second kind, and used the conversion does not take of the problem of class (B -M) equations with fully preserves the physical values ​​of the original problems .The study is not only theoretical, but also has practical value, because the results can be used in solving transport problems more complex structure.

Ключевые слова: Задача переноса, двухскоростная задача, малый параметр, гладкие функции.

Keywords: Transfer task, two-speed problem, small parameter, smooth function.

ВВЕДЕНИЕ

Первое кинетическое уравнение было получено Л. Больцманам [3] и решающий вклад в теорию этих уравнений внес Дж.К. Максвелл [12], введя основное понятие кинетической теории – функцию распределения и сделав основополагающее предположение о том, что столкновение между атомами ведет не к выравниванию скоростей, а к установлению распределения по скоростям [6; 12].Двухскоростные обратные задачи с малым параметром в теории переноса должны, в частности, рассматриваться при расчетах устойчивости задач переноса типа (Б-М) [1; 2; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11], то есть обратная задача требует нахождения неизвестной функции распределения, и восстановления неизвестного коэффициента в правой части. Причем такие задачи вообще остаются мало исследованными, несмотря на их исключительную важность в приложениях, в чем и заключается актуальность данной работы.

Рассмотрим задачу

 (1)

                                                          (2)

                                                           (3)

где:

                (4)

 – известные гладкие функции, фиксированные точки. При этом неизвестные функции . Доказывается на основе этих условий разрешимость и близость решений возмущенного и вырожденного уравнений в пространстве , так как, при  имеем

      (5)

                                                (6)

малый параметр.

Тогда

 (7)

с условиями

                                        (8)

Имеем систему

  (9)

Следовательно

                                         (10)

Тогда

                                               (11)

Теорема 1. При условиях (8), (11) обратная задача типа (Б-М) (7), (8) разрешима в пространстве .

Поэтому, чтобы установить близость решений к, когда  в смысле нормы пространства , сперва докажем разрешимости обратной задачи (1) – (3).

В первом пункте рассмотрим вопрос однозначной разрешимости задачи (1) – (3) в , а во втором пункте докажем близость решений задачи с малым параметром и вырожденной задачи в этом классе функций.

Таким образом, рассмотрим задачу (1) – (3). Следовательно, используя преобразование вида:

    (12) получим задачу вида (13)

Из (13) следует

(14)

Тогда на основе (12) и (14), имеем

 (15)

Лемма 1. При условиях (2) – (4) и (12) уравнение (15) является составным представлением задачи (1) – (3).

 Отметим, что уравнение (15) содержит неизвестные функции . Поэтому, принимая во внимание (3) и далее, дифференцируя (15) по , выразим неизвестную функцию , т. е. получим систему

 (16)

Если

                                  (17)

где:  коэффициенты Липшица операторов  то система (16) решена в  причем,  построены методом Пикара:

                                        (18)

с ошибками вычисления:

                                                       (19)

Поэтому

                                                (20)

при этом                                              (21)

Лемма 2. При условиях (2) – (4), (17) и (20) исходная обратная задача разрешима в .

В первом пункте отмечено, что вырожденная задача (5), (6) разрешима в классе функций  (см. (7), (8), результаты теоремы 1). Кроме того, в условиях леммы 2 и исходная задача (1) – (3) разрешима в .

Поэтому, чтобы доказать:

                                                                 (22)

В , когда , поступим следующим образом, т.е., воспользуясь [7, 9]

           (23)

из уравнения (1) получим

(24)

Далее, учитывая алгоритмом решения исходной задачи (см. (12) – (16)) из (24), следует

(24)

Поэтому, оценивая (24) в смысле , при этом учитывая (17), т. е.

                                   (25)

получим

                (26)

Тогда система (24) решена в, причем

                                              (27)

Аналогичные ограничения получим и относительно в частных производных функции .

Теорема 2. В условиях теоремы 1, леммы 2 и (27), устанавливается близость решений возмущенной и вырожденной задачи в , когда .

Список литературы:

1. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории приближенного решения задач о переносе частиц. – Москва: Отд. выч. математики АН СССР, 1984. – 206 с.
2. Арсеньев А.А. Кинетические уравнения. – М.: Знание, 1985. – 64 с.
3. Больцман Л. Лекции по теории газов – М.: ГИТТЛ, 1953.
4. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды МИАН СССР. – М.: 1961, № 61. – С. 3–158.
5. Казаков А.Я. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоской среде. – ДАН СССР, 1983, 270, № 5. – С. 1100–1103.
6. Максвелл Дж. Основатели кинетической теории материи. – М: – Л., ОНТИ, 1937, С. 201.
7. Омуров Т.Д., Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. – Бишкек: Илим, 2010. – 116 с.
8. Смелов В.Б. Лекции по теории переноса нейтронов. – М.: Атомиздат, 1978. – 216 с.
9. Туганбаев М.М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца – Больцмана. – Бишкек, 2011. – 122 с.
10. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. – Москва: Атомиздат, 1973. – 375 с.
11. Frosali, van der Mee, Paveri-Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., – 1989. – Vol. 30. – № 5, – Р. 1177–1186.
12. Maxwell J.C., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field.1864 Р. 526–597.