СВОЙСТВА ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

PRORERTIES OF BOUNDARY-LAYER LINES OF SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH POLYNOMIAL COEEFICIENT

Kushtarbek Tampagarov

candidate of phys.-math. sciences, director of Kochkor-Ata technical college, Kyrgyzstan, Kochkor-Ata

АННОТАЦИЯ

Доказана следующая теорема. Для любого конечного набора точек на комплексной плоскости существует такое сингулярно возмущенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с полиномиальным коэффициентом с начальным условием, что его решение имеет погранслойные линии, содержащие все эти точки.

ABSTRACT

The following is proven. For any finite set of points on the complex plane there exists such singularly perturbed linear differential equation with polynomial coefficient with initial condition that its solution has boundary-layer lines containing all these points.

Ключевые слова: обыкновенное дифференциальное уравнение, аналитическая функция, сингулярное возмущение, погранслой      ная линия, многочлен.

Keywords: ordinary differential equation, analytical function, singular perturbation, boundary-layer line, polynomial.

1. Введение.

В [2] на основе метода [1], получены условия для возникновения на плоскости изменения аргумента линии в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем». В статье [3] показано, что такие линии естественно возникают для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, что можно рассматривать, как специфическое свойство таких уравнений. Также предложено называть их более кратко – погранслойными линиями. В [4] предложены другие методы исследования. В данной статье доказано, что для любого конечного набора точек на комплексной плоскости существует такое сингулярно возмущенное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с полиномиальным коэффициентом с начальным условием, что его решение имеет погранслойные линии, содержащие все эти точки.

2. Результаты, используемые в настоящей статье

Обозначим R=(-∞,∞), R₊=[0,∞);

С – комплексная плоскость, С₁= {Θ ∈ С, |Θ|=1};

( )* – комплексное сопряжение;

Q(G) – пространство аналитических функций в области G ⊂ С;

ε – малый положительный вещественный параметр.

Рассмотрим линейное уравнение c параметром ε при производной

ε z’(t,ε)= a(t) z(t,ε), z∈Ω⊂ С,                                (1)

с начальным условием

z(t₀,ε)= z₀,                                                             (2)

где: Ω – односвязная область, t₀ – ее внутренняя точка, z₀∈С, z₀¹ 0, a(t) – ненулевой многочлен.

Будем обозначать решение задачи (1) - (2) через Z(t,ε) (для тех значений t, для которых оно существует и однозначно определено).

Определение 1. Если |Z(t₁,ε)| ограничено при ε → 0, то точка t₁ называется регулярной для задачи (1)-(2), в противном случае – нерегулярной.

Определение 2. Точка, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, называется погранслойной точкой.

Определение 3. Любое множество регулярных (погранслойных) точек называется регулярным (погранслойным) множеством.

Определение 4. Погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, называется погранслойной линией.

Определение 5. Для погранслойной точки t₁∈ С число Θ ∈ С₁ называется погранслойным направлением, если для любого малого σ >0 существует такое малое δ>0, что множество

{t ∈ С | |Arg(t- t₁) - ArgΘ | <σ, | t- t₁| =δ }

содержит погранслойные точки.

Примечание. В погранслойных точках lim {Z(t₁,ε)| ε → 0}, вообще говоря, не существует. Это видно из следующего примера.

Пример 1. Уравнение ε z’(t,ε)=2t z(t,ε), с начальным условием z(0,ε)= 1, имеет решение Z(t,ε)= εxp(t²/ε). Здесь {t ∈ С | Re (t²) < 0} - регулярные точки функции Z(t,ε); {t ∈ С | Re (t²) >0} – сингулярные точки функции Z(t,ε).

При Re (t²) = 0 – погранслойные точки, образующие погранслойную линию, заменяем t = (±i±1)s, s∈R₊, Z₁₂₃₄(t,ε)= εxp(±2is/ε) – быстрые колебания. Таким образом, для t=0 имеются четыре погранслойных направления: Θ₁₂₃₄ =√2(±i±1)/2.

Определение 6. Если в погранслойной точке имеется более двух погранслойных направлений, то она называется точкой ветвления. (Как установлено, количество погранслойных направлений при выполнении условия (3) является четным).

Замена t_ω (s)= t₀+ω s, ω ∈ С₁, s∈R₊ в (1) дает уравнение:

ε dz(t_ω (s),ε)/ (ω ds)= a(t_ω (s))z(t_ω (s),ε)+f(t_ω (s)). (3)

С обозначением W_ω (s,ε) = z(t_ω (s),ε), A_ω (s)= a(t_ω (s)), F_ω (s)= f(t_ω (s)), получается уравнение

ε W_ω’(s,ε)=ω (A_ω (s) W(s,ε)+ F_ω (s))                      (4)

с начальным условием

W(0,ε)= z₀.                                                            (5)

Существует такое целое неотрицательное n, что

a(t)=(t- t₀)ⁿa_n(t), a_n(t) ∈ Q (Ω), a_n(t₀) ≠ 0.             (6)

Очевидно, что n, как функция от t₀, может быть больше нуля только на множестве точек, не имеющих точку прикосновения, в силу свойств аналитических функций.

Подставляя (6), получается уравнение

ω A_ω (s)= ω a(t₀+ω s)= ω (ω s)ⁿa_n(t₀+ω s)= ω ⁿ⁺¹sⁿ a_n(t₀+ω s).

Уравнение (4) принимает вид

ε W_ω’(s,ε)= ω ⁿ⁺¹a_n(t₀+ω s) sⁿ W(s,ε)+ ωF_ω (s), s∈R₊ .(7)

Выбирая ω=ω₀ так, чтобы было

Re(ω₀ ⁿ⁺¹a_n(t₀)) = 0,                                                                 (8)

получается погранслойное направление. Это можно сделать самое меньшее двумя способами, а при n>0 – (2n+2) способами.

В силу непрерывности, при ω, близких к ω₀, будет и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀)) > 0, и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀)) < 0.

Отсюда, в свою очередь, следует, что при s <δ, где δ – достаточно мало, будет и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀+ω s)) > 0, и Re (ω ⁿ⁺¹a_n(t₀+ω s)) < 0.

Из общей теории сингулярных возмущений следует, что при таких ω решение задачи (1) – (2) будет либо стремиться к ∞ при ε → 0, либо стремиться к решению вырожденного уравнения с возможным всплеском в начале, но такие всплески (при n>0) будут только в отдельных точках.

Таким образом, в каждой погранслойной точке имеются не менее двух погранслойных направлений. Движение по соответствующему направлению является решением некоторого дифференциального уравнения на плоскости С и дает погранслойную линию.

Такое уравнение, если его можно построить, называется погранслойным уравнением, соответствующим начальной задаче (1) – (2).

В [3] была применена замена, аналогичная переходу от «фазовых координат» к «энергии». Рассмотрено уравнение (1) в предположении, что f(t)≡ 0 . Введена функция U(s,ε)= z(T(s),ε)(z(T(s),ε))*, s∈R₊, T(0)=0,

• квадрат модуля функции z(t,ε) вдоль некоторой траектории.

Надо так подобрать функцию T(s), чтобы было U’(s,ε)º 0. Выполняются следующие преобразования

ε U’(s,ε)= ε(z(T(s),ε)(z(T(s),ε))*)’=

= ε( z’(T(s),ε) (z(T(s),ε))* + z(T(s),ε) (z’(T(s),ε))*) =

= A(T(s)) z(T(s),ε)T’(s) (z(T(s),ε))*+ z(T(s),ε)(A(T(s)) z((T(s),ε)T’(s))* =

= z(T(s),ε) (z(T(s),ε))*( A(T(s)) T’(s)+ (A(T(s)) T’(s))*).(9)

Пример 2. Для уравнения Примера 1 T(s)= (±i±1)s:

εU’(s,ε)=z(T(s), ε)z*(T(s), ε) ((±i±1)² +((±i±1)²)*)=

= z(T(s), ε)z*( T(s), ε) ((±2i) - (±2i))=0

(здесь погранслойные линии являются прямыми).

В общем виде, приравнивая правую часть (9) нулю, получено

A(T(s)) T’(s)+ (A(T(s)) T’(s))*= 0,                        (10)

Re(A(T(s)) T’(s))= 0.

Полагая A(T(s))T’(s)=± i, отсюда получено:

A(T)dT=± ids                                                        (11)

• уравнение погранcлойной линии в дифференциалах;

                                           (12)

• интегральное уравнение погранcлойной линии.

3. Основной результат

Теорема. Для любого набора различных ненулевых точек {z_k: k=1.. n }, n ³1, существует такой многочлен a(t), что погранслойные линии решения задачи (1) – (2) проходят через все эти точки.

Доказательство. Используя формулу для многочлена Лагранжа, найдем такой ненулевой многочлен B_n(t) (степени n), чтобы было B_n(0)=0, Re B_n(z_k)= 0, k=1.. n:

(13)

где: b_k – произвольные ненулевые вещественные числа; тогда B_n(z_k)=ib_k.

Поскольку B_n(t) - ненулевой многочлен, пусть p – такое первое натуральное число, что B_n^(p)(z_k)¹ 0; такое число существует. Тогда для t, близких к z_k, получаем

Re(B_n(t))» Re(B_n(z_k)+ B_n^(p)(z_k)(t– z_k)^p/p!)= Re(B_n^(p)(z_k)(t– z_k)^p)/p!.

Отсюда следует, что существуют t, сколь угодно близкие к z_k,что для них и

Re(B_n(t))>0, и Re(B_n(t))<0.                          (14)

Положим a(t)= B_n¢(t), тогда решение задачи (1) – (2) записывается в виде

Отсюда и из (14) следует заключение теоремы.

Пример. Положим n=2, z₁=1, z₂=i, b₁=2, b₂=3. Формула (13) дает:

Таким образом, уравнение εz¢(t)=(-it-5t+2.5+2.5i)z(t) с начальным условием (2) имеет погранслойную линию, проходящую через точки t=1 и t=i.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского государственного национального университета. – Серия 3, Выпуск 6, 2001. – С. 190–200.
2. Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.
3. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий, и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник Ошского государственного университета, 2013. – № 1 (специальный выпуск). – C. 227–231.
4. Тампагаров К.Б. Метод характеризующих функций исследования асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексной плоскости // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 47. – Бишкек: Илим, 2014. – С. 98–102.