О РЕШЕТКЕ f-ЗАМКНУТЫХ ПРАВЫХ ИДЕАЛОВ

ON THE LATTICE OF f-CLOSED RIGHT IDEALS

Vladimir Mushrub

сandidate of Science, assistant professor of the Academic Department of Mathematical Methods in Economics of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Irina Sukhorukova

doctor of Economics, Professor of the Mathematics Department

of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В данной статье все кольца являются ассоциативными и содержат единицу. Пусть R – кольцо и f – инъективный эндоморфизм кольца R. В статье изучается строение решётки f-замкнутых правых идеалов кольца R. Основные результаты статьи (теоремы 1 и 2) возникли в связи с исследование строения этой решётки. Большинство доказательств основано на использовании расширения Кона-Джоржана. Также использованы некоторые методы теории колец и оригинальный авторский результат (лемма 3). В окончании статьи приведено несколько открытых вопросов.

ABSTRACT

Throughout this paper all rings are associative and contain an identity. Let R be a ring and f be an injective endomorphism of R. In the paper we study the structure of the lattice of f-closed right ideals of R. The main result of this paper (Theorems 1 and 2) arose in the connection with investigations on the structure of this lattice. Most proofs are based on using the Cohn-Jordan extension. Also we use some methods of the rings theory and original authors' results (Lemma 3). Some open problems end the paper.

Ключевые слова: ассоциативные кольца, решётка идеалов; артиновы кольца.

Keywords: associative rings, lattice of ideales, Artinian rings.

Всюду далее R – ассоциативное кольцо и f – инъективный эндоморфизм кольца R. Напомним конструкцию Дэйвида Алана Джоржана, представляющую собой наименьшее кольцо, содержащее R, на котором эндоморфизм f продолжается до автоморфизма. Эта конструкция потребуется нам на протяжении всей статьи. Пусть A= – кольцо, содержащее кольцо R, и  – автоморфизм кольца A, продолжающий f. Кольцо вместе с автоморфизмом  назовем расширением Кона-Джордана кольца R с эндоморфизмом f, если любой элемент a кольца A представим в виде  для некоторого  и некоторого целого неотрицательного числа n. Расширениям Кона-Джордана посвящены, например, статьи [3; 7].

В существовании данного расширения можно убедиться с помощью конструкции прямого предела колец. Рассмотрим счетное число экземпляров R_i кольца R, занумерованных целыми неотрицательными числами i, и естественные изоморфизмы . Для каждой пары индексов m  n определим отображение f_m,n. Тогда для любого числа k такого, что m k n, справедливо равенство

Поэтому существует прямой предел

являющийся, как несложно видеть, расширением Кона-Джордана кольца R с эндоморфизмом f.

Другой способ получить расширение Кона-Джордана состоит в использовании классического левого кольца частных , где ,, а операция умножения в кольце косых многочленов определяется соотношением:  Несложно доказать, что все элементы кольца Q, имеющие вид , где  и  образуют кольцо , которое содержит подкольцо . При этом внутренний автоморфизм  кольца  является продолжением эндоморфизма f и .

Всюду далее кольцо A c автоморфизмом  будет обозначать расширение Кона-Джордана кольца R, снабженного инъективным эндоморфизмом f.

Определение 1. Правый идеал I кольца R называется f-замкнутым [2; 3; 7], если

Идеал N кольца R называется f-идеалом, если .

Нетрудно проверить, что f-замкнутость правого идеала I равносильна выполнению равенства . Поэтому каждый f-замкнутый правый идеал кольца R имеет вид , где M – некоторый правый идеал кольца A, и, наоборот, все правые идеалы такого вида будут f-замкнуты.

Рассмотрим решетку Lat (R,f) правых f-замкнутых идеалов кольца R со следующими операциями:

1. ;

2).

Результатом первой операции является наибольший f-замкнутый правый идеал, содержащийся в f-замкнутых правых идеалах B и С. Результатом второй операции наименьший f-замкнутый правый идеал, содержащий оба правых идеала B и С.

Замечание.

a)Если B и С – f-замкнутые правые идеалы кольца R, то

 и

Следовательно, нет необходимости описывать операцию  аналогично операции , поскольку .

b).

Предложение 1. Пусть B, C и D – f-замкнутые правые идеалы такие, что . Тогда .

Доказательство.

Включение “”. Пусть . Тогда , где , , .Заметим, что  и , и, следовательно, . Так как , , то . Поэтому .

Для доказательства второго включения заметим, что , и в силу модулярности .

Следствие 1. Если  для любых f-замкнутых правых идеалов кольца R, то решетка Lat( R,f ) правых f-замкнутых идеалов кольца R является модулярной.

Лемма 1. Если  – строго возрастающая цепочка правых идеалов кольца A длины d, то в кольце R найдется строго возрастающая цепочка f-замкнутых правых идеалов длины d.

Доказательство. Выберем элементы  ( i = 1, 2, …, d). По определению расширения Кона-Джордана  для некоторых целых неотрицательных чисел n₁, n₂,…, n_d. Пусть n – наибольшее из этих чисел. Тогда  для всех i = 1, 2, …, d и правые идеалы  образуют строго возрастающую цепочку

При этом  и  для всех i = 1, 2, …, d. Поэтому цепочка длины d правых f-замкнутых идеалов кольца R

является строго возрастающей.

Лемма 2. Пусть – строго возрастающая цепочка f-замкнутых правых идеалов кольца R. Тогда

– строго возрастающая цепочка правых идеалов кольца A той же длины.

Доказательство. Если бы в каком-то месте второй цепочки выполнялось равенство, то в силу f-замкнутости правых идеалов  и  получаем противоречащее условию леммы равенство:

Следующая теорема является одним из основных результатов статьи.

Теорема 1. Следующие условия (1) и (2) эквивалентны:

(1) кольцо A артиново справа;

(2) существует целое неотрицательное число d такое, что все строго возрастающие цепочки f-замкнутых правых идеалов кольца R имеют длину не более d.

Доказательство. «(1)(2)». Пусть кольцо A артиново справа. Тогда по теореме Хопкинса-Левицкого кольцо A является нетеровым справа и по теореме Жордана-Гёльдера (см. [6], теорема 4.10, с. 44) кольцо A как правый модуль над собой имеет конечную (композиционную) длину d. Если бы кольцо R содержало строго возрастающую цепочку f-замкнутых правых идеалов длины более d, то по лемме 2 кольцо A содержало бы цепочку правых идеалов длины более d, что невозможно. Поэтому все строго возрастающие цепочки f-замкнутых правых идеалов кольца R имеют длину не более d.

«(2)(1)». При выполнении условия (2) по лемме 1 длины всех строго возрастающих цепочек правых идеалов кольца A не превосходят числа d. Поэтому кольцо A артиново справа.

Предложение 2. Пусть F – эндоморфизм кольца S и N – F-идеал кольца S. Предположим, что Ker F N. Тогда индуцирует эндоморфизм фактор-кольца  такой, что  для любого элемента . При этом диаграмма

является коммутативной в следующем смысле:

a)для каждого натурального числа n и каждого элемента  справедливо равенство ;

b)для каждого правого идеала Y кольца S, содержащего первичный радикал N, справедливо равенство

Доказательство. а).

Проверим справедливость равенства б):

Следствие 1. Обозначим через π: S → R=S/N естественный эпиморфизм. Тогда в условиях предложения каждому f-замкнутому правому идеалу M кольца R соответствует правый идеал  кольца S, который оказывается F-замкнутым.

Доказательство. Достаточно проверить F-замкнутость:

=  =  

и поэтому

Пусть N – первичный радикал кольца S.

Лемма 3. Пусть кольцо S удовлетворяет условию максимальности на правые аннуляторы и каждое нильподкольцо кольца S нильпотентно. Пусть f – эндоморфизм кольца S такой, что Ker f N. Тогда .

Для доказательства леммы мы ссылаемся на работы [1; 2 или 4].

Теперь мы готовы доказать несложную структурную теорему.

Теорема 2. Пусть F – инъективный эндоморфизм кольца S. Предположим, что существует натуральное число d такое, что все строго возрастающие цепочки F-замкнутых правых идеалов кольца S имеют длину не более d. Тогда фактор-кольцо R = S/N может быть вложено в конечное прямое произведение полных колец матриц над телами.

Доказательство. Проверим сначала, что выполняются условия леммы 3. Правый аннулятор какого-либо множества в кольце S является пересечением кольца S с правым аннулятором этого множества в расширении Кона-Джордана :

Поэтому все правые аннуляторы в кольце S являются F-замкнутыми. По теореме 1 кольцо S является подкольцом артинова справа кольца , а все ниль подкольца артинова справа кольца нильпотентны. Отсюда каждое нильподкольцо кольца S нильпотентно.

Пусть P – первичный радикал кольца и – автоморфизм этого кольца, продолжающий эндоморфизм F. Тогда P – нильпотентный идеал и, следовательно, . Поэтому  . Отсюда . Кроме того,  как нильпотентный идеал кольца S. Таким образом, .

Из последнего равенства вытекает, что отображение

вложение фактор-кольца R = S/N в полупростое артиново справа кольцо . Для окончания доказательства теоремы осталось заметить, что по теореме Веддеберна-Артина (см. [6] с. 61, теорема 5.16) кольцо  изоморфно конечному прямому произведению полных матричных колец над телами.

Приведем несколько задач, которые возможно будут полезны магистрантам и аспирантам.

Открытые вопросы:

1.Привести условия на кольцо R и эндоморфизм f, достаточные для модулярности решётки Lat (R,f), и примеры, демонстрирующие существенность этих условий.

2.Если Lat (R,f) удовлетворяет условию обрыва убывающих цепочек, то обязано ли кольцо A быть артиновым справа.

3.Пусть существует возрастающая цепочка f-замкнутых правых идеалов кольца R длины d, а все остальные строго возрастающие цепочки f-замкнутых правых идеалов кольца R имеют длину не более d. Верно ли тогда, что все максимальные строго возрастающие цепочки f-замкнутых правых идеалов имеют длину d?

4.Какова взаимосвязь между существенными элементами решётки Lat( R,f ) и существенными правыми идеалами расширения Кона-Джордана?

5.Доказать обобщение теоремы 2, в котором инъективность эндоморфизма F заменено на условие Ker F N, а условие ограниченности возрастающих цепочек накладывается на некоторое фактор кольцо S/I.

6.Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы расширение Кона-Джордана было кольцом Голди справа.

Список литературы:

1. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
2. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
3. Мушруб В.А. О размерности Голди расширений Оре со многими переменными // Фундаментальная и прикладная математика. – 2001. – Т. 7, № 4 – С. 1107–1121.
4. Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильников А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов // Отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований).
5. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.
6. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. – М.: МЦНМО, 2009. – 472 с.
7. Matczuk J. S-Cohn-Jordan extensions // Communications in Algebra. – 2007. – Т. 35, № 3. – С. 725–746.