ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА-ЧЕПМЕНА И ИХ СВЯЗЬ С УРАВНЕНИЯМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

PARTICULAR SOLUTIONS OF CHAPMAN-KOLMOGOROV EQUATION AND THEIR CONNECTION WITH EQUATIOS OF MATHEMATICAL PHYSICS

Roman Miroshin

professor, Doctor of Physics and Mathematics, Faculty of mathematics and mechanics,

Saint Petersburg state University,

Russia, Saint Petersburg

Olga Barinova

specialist, Faculty of mathematics and mechanics, Saint Petersburg state University,

Russia, Saint Petersburg

АННОТАЦИЯ

В настоящей статье установлена связь некоторого частного решения билинейного уравнения Колмогорова-Чепмена с интегро-дифференциальным уравнением. Причем, рассмотрен пример случайных марковских процессов с разрывной траекторией. Оказалось, среди интегро-дифференциальных уравнений есть уравнение с сингулярными интегралами и уравнения с дробными производными. При выводе использовались нестандартные оценки интегралов, в том числе посредством леммы Эрдейи.

ABSTRACT

In this article the connection of some particular solutions of the bilinear equations of Kolmogorov-Chapman with integro-differential equations. Moreover, the examples of random Markov processes with discontinuous trajectory. It appeared, among integro-differential equations are equations with singular integrals and equations with fractional derivatives. When you output use a custom evaluation of integrals by Lemma Erdelyi and procedures of taking the integral using the principal value of Cauchy.

Ключевые слова: случайный марковский процесс; прямое и обратное уравнения Колмогорова; уравнение Колмогорова-Чепмена; дробная производная.

Keywords: random Markov process; the direct and the inverse Kolmogorov equation; equations of Kolmogorov-Chapman; fractional derivatives.

При изучении различного рода явлений мы нередко сталкиваемся с теми процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Иными словами, это те процессы, физическая система которых с течением времени переходит из одного состояние в другое случайным образом. Теория случайных процессов в последние десятилетия бурно развивается, потому как является востребованной в таких науках как механика, физика, биология, экономика, социология и в других областях. Особое место среди случайных процессов занимает так называемые марковские случайные процессы, впервые введенные русским ученым А.А. Марковым в 1907 г.

Отличительную черту марковского процесса можно сформулировать следующим образом: если именовать момент t настоящим, а моменты  (прошлым, то процесс в настоящем зависит только от значений процесса в последний перед настоящим момент времени из прошлого. Итак, марковские процессы отличаются тем, что нам нет необходимости знать «предысторию» состояния системы, а лишь достаточно знать ее «настоящее», и тогда мы сможем предсказать «будущее» состояние системы.

Настоящая статья отведена теории марковских процессов с разрывной траекторией и исследованию примера, описывающего вышеупомянутые процессы, взятого из статьи [5]. Рассмотрено частное решение интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена и по нему получены уравнения Колмогорова.

Значимую роль играют процессы, изменение состояния системы которых с течением времени меняется не непрерывно, а скачкообразно. Случайный процесс  чисто разрывен, если за любой промежуток времени  траектория процесса, начавшаяся в точке x, остается равной с вероятностью , а с вероятностью  может претерпеть скачком некоторое изменение.

Определение 1[3]

Пусть  условная вероятность распределения случайной величины , при условии, что в момент t произошел скачок, а до скачка величина  принимала значение равное х. Тогда функция распределения  при выражается через функции  следующим образом:

Отметим, что, как и для всякой функции распределения, так и для выполняются равенства:

Также будем иметь ввиду неотрицательность и непрерывность  относительно t, x.

Определяющим уравнением в теории марковских процессов является уравнение Колмогорова-Чепмена. С.Н.Бернштейн показал при каких условиях из этого интегрального уравнения можно получить дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа [2]. В дальнейшем, О.В. Сарманов получил частное решение в виде ряда [6]. Известен общий вид решения уравнения Колмогорова, полученный в работе [5]. Нам следует выяснить, к какому виду дифференциального уравнения сводится некоторое частное решение интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена.

Частное решение уравнения Колмогорова-Чепмена для скачкообразного (разрывного) процесса.

Рассмотрим одно из решений уравнения Колмогорова-Чепмена, полученного в [5].

где:  синус-преобразования Фурье от функций

Как известно, функция распределения связана с плотностью вероятности перехода следующим соотношением:

Подставляя (2) в (4) получим выражение для функции распределения:

Взяв интеграл по переменной у в (5) получаем функцию в виде:

Отметим основные свойства функции распределения

1. Неотрицательность;
2. при  , функция принимает значение, равное нулю;
3. при значение функции стремится к единице.

Свойства 1)3) нетрудно проверить. Неотрицательность  вытекает из неотрицательности  

Осталось показать, что  Заметим, что

  Следовательно, упомянутая функция является характеристической (теорема Пойа), а это гарантирует неотрицательность синус-преобразования Фурье (теорема Бохнера). Во втором свойстве легко убедиться, если в (5') вычислить интеграл при  В самом деле,

И наконец, перейдем к третьему свойству. Положим  тогда

При помощи формул Эйлера, определим функции следующим образом:

Тогда можно применить лемму Эрдейи [7] к уравнению (6), получаем (7).

• 
  
  Выражение (7) будет выполняться при

В итоге, нам удалось убедиться в вероятностном смысле решения (2), проверив на свойствах функцию распределения (5').

Теперь выведем новое соотношение для функции распределения , но уже без интегралов.

Об оценке разрывной функции распределения.

Лемма 1.

Функция распределения  может быть записана в виде

где функция представима

Действительно, имеем выражение для функции

в котором h устремляем к нулю, причем

Возьмем интеграл по переменной z, и в то же время, оставим от  два первых члена асимптотики при условии, что

Также (8) можно получить, используя лемму Эрдейи [7].

Воспользуемся таблицей [8] при

Подставим (9) в (8), получаем преобразованное выражение:

Далее мы будем следовать процедуре, описанной в [2]. Для этого подставим последнее выражение для  в уравнение КолмогороваЧепмена и получаем, положив  и используя свойство

где

Следующая лемма направлена на оценку последнего интеграла в (10), для возможного использования производной , невзирая на особенность функции  в точке

Дополнительная оценка интеграла.

Лемма 2

При предположении справедлива следующая оценка

где:  

Доказательство.

Пусть  тогда проинтегрировав (11) по частям, получаем:

Преобразуем (12), сославшись на формулу ()

Первый член последнего выражения порядка  осталось разобраться со вторым. Преобразуем последнее выражение к виду:

Таким образом, учитывая оценки для интегралов мы получили оценку

Лемма доказана.

Перейдем к выводу уравнения Колмогорова, но перед этим, определим некоторые понятия.

Определение 2[1].

В равенстве

функция  называется дробной производной от степени  в смысле Г. Харди и Д.Е. Литтльвуда [5] и обозначается

Согласно[6], при

т.е.

При  дробная производная  совпадает с обычной

Определяя дробную производную в смысле Гельдера [3] равенством

Видим, что она совпадает с правой частью, но, в отличие от (16), нелокальная (зависит от  Дробная производная (13) допускает восстановление , как по обычной производной.

Определение 3[1].

Правосторонняя и левосторонняя дробные производные Римана-Лиувилля порядка  от вещественной функции  определяется следующими соотношениями

Интегрируя в этих равенствах по частям, находим что

Таким образом, получаем

Применение дробных производных в первом и втором уравнениях Колмогорова.

Вероятности перехода  удовлетворяют первому и второму уравнениям Колмогорова соответственно:

где

Обратимся к уравнению (5') при

Решение (17) подставим в уравнение Колмогорова-Чепмена и получим

Лемма 3.

При  имеет место следующая оценка:

Доказательство.

Воспользуемся соотношением  запишем (18) через плотность вероятности перехода, предварительно сделав замену переменной

Используя последнее, возьмем интеграл (20)

где: справедлива оценка

справедлива и оценка

Аналогичными рассуждениями, мы получаем для вероятности перехода  второе уравнение Колмогорова:

Список литературы:

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований // Пер. с англ. Т. 1. – М.: Наука, 1969. 344 с.
2. Бернтштейн С.Н. О зависимостях между случайными величинами // Собр. Соч. Т. 4: Наука, 1964. С. 235–254.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Книжный дом «ЛИБРИКОМ», 2011. 488 с.
4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы // Пер. с англ. – М.: Наука, 1966. 228 с.
5. Мирошин Р.Н. О некоторых решениях интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена // Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2007. Вып. 4. С. 22–29.
6. Сарманов О.В. Исследование стационарных марковских процессов методом разложения по собственным функциям // Труды Мат. Ин-та АН СССР. Т. 60. – М.: Наука, 1961. С. 238–259.
7. Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977. 368 с. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. – М.: Физмалит, 2003. 272 с.