ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВРЕМЕНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

INVERSE PROBLEM OF TIME FOR THE HEAT EQUATION

Huynh Nhat Vy

teacher, Faculty of basic science, Ho Chi Minh Transport University,

Vietnam, Ho Chi Minh

Le Thi Thanh

phD student, Department of Mathematical Modeling, Tula State University,

Russia, Tula

teacher, Faculty of basic science-Ho Chi Minh Transport University,

Vietnam, Ho Chi Minh

АННОТАЦИЯ

В нашей работе используем метод интегрального усечения для коррекции задачи.

ABSTRACT

In our paper we use method of integral truncation for problem correction.

Ключевые слова: интегральное усечение, коррекция задачи, преобразование Фурье.

Keywords: integral truncation, correcting problem, Fourier transform.

Дано: T – положительное число,  – известная функция. Мы рассмотрим задачу о нахождении температуры ,  такую, что

                                     (1)

Выполняя преобразование Фурье для двух сторон уравнения в системе (1) по , мы получаем:

где: .

Следует, что:

Таким образом

                                     (2)

Это явное решение данной задачи.

Задача (1) или (2) – это не коррекционная задача, то есть либо решение не существует, либо если решение существует, то оно неточно зависит непрерывно от начальных данных. Теперь мы аппроксимируем задачу (2.2) по интерференционной задаче, которая имеет интерференционное решение:

                                         (3)

или                                          (4)

где:                     

Коррекция задачи (3):

В этом разделе мы рассмотрим существование, уникальность и стабильность решения задачи (3).

Теорема 1: Дано . Тогда задача (3) имеет одно уникальное решение , и это решение зависит непрерывно от  в .

Доказательство:

Так как  то мы легко следуем существование и уникальность решения задачи (3). Теперь мы рассмотрим стабильность решения. Пусть  и  – два решения задачи (4), соответствующих двум начальным данным  и  такие, что . Из (3) и (4) имеем:

. Следуем:

Таким образом: .

Уникальность решения и коррекция задачи (1):

Это однородная задача, поэтому если , как в теореме 1, то задача (1) имеет только одно решение .

Лемма 1: Дано , как в теореме 1. Пусть  и , где . Пусть , . Тогда: .

Доказательство: Пусть , тогда  – интегрируемая функция на  и  – последовательность интегрируемых функций на . Мы имеем:  и  почти всюду полностью, поэтому .

Следовательно: .

Теорема 2: (коррекция для случая  с точными данными)

Дано , как в теореме 1. Пусть ,  и задача (2) имеет одно решение , где . Пусть . Тогда с  справедливо неравенство  где .

Доказательство: Мы имеем

Мы получаем: . Далее:

Теорема 3: (коррекция для случая интерференционных данных)

Дано , как в теореме 1. Пусть ,  и задача (2) имеет одно решение , где  удовлетворяет . Пусть  и  – измеряемая данная, такая, что Тогда мы можем построить функцию, удовлетворяемую , где  и , как в теореме 2.

Доказательство: Пусть  – точное решение задачи (4), соответствующее точным данным , и  – интерференционное решение задачи (4), соответствующее интерференционной данной , где  и  находятся на правой части (4). Используя теоремы 1 и 2, мы имеем:

Пример: Рассмотрим уравнение . Мы имеем точное решение уравнения . Так как:

Отсюда мы имеем точные данные . Пусть , следовательно:

Пусть , , и интерференционная данная . Погрешность точных данных и интерференционной данной:

Мы имеем:

Значит:

Список литературы:

1. Andreas Kirsch. An Introduction to the Mathematical Theory Inverse Problems. – Karlsruhe, Germany 1996. – 310 p.

2. Quan P.H. and Trong, D.D. A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Applicable Analysis // Vol. 85, № 6-7, 2005. – P. 641–657.