О ВНУТРЕННИХ АВТОМОРФИЗМАХ f-КОЛЕЦ ЧАСТНЫХ

ON INNER AUTOMORPHISMS OF f-RINGS OF QUOTIENTS

Vladimir Mushrub

phd, assistant professor of the Academic Department of Mathematical Methods in Economics of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Galina Ivankova

senior lecturer of the Mathematics, Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

Ekaterina Mochalina

phd, assistant professor of the Mathematics, Department of the Russian Plekhanov University of Economics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Работа посвящена f‑кольцам частных ассоциативных колец. Цель работы –доказать, что при определенных условиях автоморфизм f основного кольца B продолжается до внутреннего автоморфизма его f‑кольца частных. Используемый подход к построению кольца частных, связан не с инъективными оболочками, а с фильтрами плотных левых идеалов. Рассматриваются два случая: случай, когда основное кольцо f‑первично, и случай, когда оно f‑полупервично. Этим случаям соответствуют основные результаты работы: теоремы 1 и 2. Работа основывается на классических методах полных колец частных в смысле Фейса, Утуми, Ламбека.

ABSTRACT

The work is devoted to f‑rings of quotients of associative rings. The main target is to prove that under certain conditions the automorphism of the base ring B can be extended to an inner automorphism of f-ring of quotients of B. The approach to the construction of f-ring of quotients is not connected with the injective envelope. It's connected with some filters of dense left ideals. We consider two cases: the case where the base ring is f‑prime, and the case where it is f‑semiprime. The main results (Theorem 1 and 2) correspond to these cases. The work is based on the classical methods of complete (maximal) rings of quotients in the sense of Faith, Utumi, Lambek.

Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца частных; полупервичные кольца.

Keywords: associative rings; rings of quotients; semiprime rings.

Всюду в данной статье B – ассоциативное кольцо с единицей и f – автоморфизм кольца B. Некоторые определения и понятия, используемые в данной статье, могут быть найдены в работах [2; 3; 5].

1. Внутренние автоморфизмы f-первичных колец. В первой части статьи кольцо B предполагается f‑первичным. Это означает, что I *J ≠ 0 для любых ненулевых f‑идеалов I и J кольца B (см. работы [6; 7]). Обозначим через Q ═  – левое (мартиндейловское) f‑кольцо частных кольца B, введенное в работе [4]. Как показано в работе [4] автоморфизм f единственным образом продолжается до автоморфизма кольца .

Теорема 1. Пусть кольцо B является f‑первичным и . Если q f(a) ═ aq для всех элементов , то q – обратимый элемент кольца Q и  – внутренний автоморфизм кольца Q, определяемый элементом q:

Доказательство. Пусть p – произвольный элемент кольца Q и k – целое число. Тогда для всех элементов  справедлива такая цепочка равенств:

Напомним, что символом J ( p) в работе [4] был обозначен наибольший левый f‑идеал среди всех тех левых f‑идеалов I кольца B, для которых . Из равенства (1) вытекает, что для всех элементов  J ( p) справедливы следующие равенства:

Отсюда J . Поэтому  в силу предложения 1 [4]. Следовательно,

и, в частности,

По предложению 1 [4] кольцо Q является f‑первичным. Поэтому согласно лемме 1 [4] для любых двух ненулевых элементов справедливо неравенство . В силу равенства (3) получаем, что

и поэтому  для некоторого целого числа k.

Положим  и заметим, что в силу равенства (2)

для всех элементов . Кроме того, равенство (1) приводит к инвариантности элемента u:

Итак, мы доказали, что

1)  (это следует из равенства (4));

2)

Для завершения доказательства нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1 ([9, Лемма 1.2]). Если элемент  удовлетворяет условиям 1) и 2), то он обратим в кольце Q.

Осталось заметить, что q также оказывается обратимым элементом кольца Q. В самом деле,  и  Из равенства (2) следует, что q f(p) ═ pq для всех элементов . Так как q обратим, то

Перейдем теперь к f-полупервичным кольцам.

2. Внутренние автоморфизмы f-полупервичных колец. Напомним, что кольцо B называется f‑полупервичным, если  для любого ненулевого f‑идеала I кольца B.

Лемма 2. Следующие условия (1)–(3) эквивалентны:

(1) кольцо B называется f‑полупервичным;

(2) для каждого ненулевого элемента a ∈ B найдутся целые числа i и j, для которых ;

(3) для каждого ненулевого элемента a ∈ B существует целый показатель k такой, что  

Доказательство. (1)Þ(2). Если a ∈ B – ненулевой элемент, то  – ненулевой f‑идеал кольца B. Условие  эквивалентно тому, что  для некоторых целых i и j.

(2)Þ(3). Применив автоморфизм  получаем равносильное неравенство , где  

(3)Þ(1). Пусть  – ненулевой f‑идеал кольца B и . Тогда  и поэтому .

Обозначим через  полное левое кольцо частных кольца B (см. [1]). Сейчас мы приведем одну классическую лемму.

Лемма 3. Пусть u – ненулевой элемент кольца  такой, что правый и левый аннуляторы этого элемента в кольце B равны нулю: . Тогда u – обратимый элемент кольца .

Доказательство. Пусть L – плотный левый идеал кольца B такой, что  и  – гомоморфизм левых B-модулей такой, что  для всех  (данную ситуацию мы будем обозначать записью ).

Заметим, что  – плотный левый идеал кольца B. В самом деле, если , то из условия  следует, что , так как элемент полного кольца частных полностью определяется своим действием на любом плотном левом идеале. Из равенства  следует, что , поскольку . Следствие [1, с. 155] показывает, что левый идеал  является плотным.

Так как , то  и поэтому отображение , является корректным гомоморфизмом левых B-модулей. При этом  и  для всех элементов . Пусть Тогда  и , что и показывает обратимость элемента u.

Обозначим через Q ═  подкольцо полного левого кольца частных кольца B, состоящее из тех его элементов q, для которых существует плотный левый f‑идеал L такой, что . Кольцо  будем называть левым f‑кольцом частных кольца B.

Лемма 4. Если кольцо B является f‑полупервичным, то и кольцо  является f‑полупервичным.

Доказательство. Пусть  и L – плотный левый f‑идеал кольца B такой, что Lq, а показатель i пробегает целые числа. Тогда  и, следовательно,  – ненулевой левый f-идеал кольца B. Поэтому . Отсюда получаем, что  для некоторых целых показателей i и j. Следовательно, по лемме 2 кольцо  является f‑полупервичным.

В случае f‑полупервичного основного кольца в формулировке основного результата появляется дополнительное предположение: . Ясно, что отбросить это дополнительное условие нельзя, так как при  элемент q не может обладать обратным к нему элементом.

Теорема 2. Пусть кольцо B является f‑полупервичным,  и . Если q f(a) ═ aq для всех элементов  и , то q – обратимый элемент кольца  и  – внутренний автоморфизм кольца , определяемый элементом q.

Доказательство. Из условия q f(a) ═ aq следует равенство (3). Так как по лемме 4 кольцо  является f-полупервичным, то из равенства (3) вытекает, что  Поэтому  для некоторого целого числа k. Рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, показывают, что элемент  обладает следующими свойствами:

1. ;
2.  для всех элементов .

Кроме того, так как , то для любого элемента  J(q) выполняется цепочка импликаций

Поэтому  J(q) . Но, как показано в монографии [1], каждый плотный левый идеал является существенным. Тем самым, , а в силу свойства 2) и . Применяя лемму 3, убеждаемся, что u будет обратимым элементом полного кольца частных .

На самом деле, обратный элемент  принадлежит левому f‑кольцу частных. Действительно, так как , то  будет левым f‑идеалом и, следовательно, .

Так же как и в доказательстве теоремы 1 замечаем, что q – обратимый элемент кольца .

В заключении отметим, что результаты данной работы могут использоваться для описания, расширенного центроида расширений Оре [8].

Список литературы:

1. Ламбек И. Кольца и модули, пер. с англ. – М., «Факториал», 2005.
2. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. – М., 1992. – 11 с.
3. Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. – М., 1992. – 158 с.
4. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О свойствах f-колец частных первичных колец // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 20–26.
5. Мушруб В.А., Иванкова Г.В., Мочалина Е.П. О существенных правых идеалах расширения Кона-Джордана // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVI междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 26–33.
6. Мушруб В.А., Сухорукова И.В. О решетке f-замкнутых правых идеалов // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIV междунар. науч.-практ. конф. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 118–125.
7. Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. – 2016. – Т. 4. – С. 155–164.
8. Matczuk J. Extended centroids of skew polynomial rings // Mathematical Journal of Okayama University. – 1988. – Vol. 30. – P. 13–20.
9. Montgomery S., Passman D.S. Outer Galois theory of prime rings // Rocky Mountain Journal of Mathematics. – 1984. – Vol. 14, № 2. – P. 305–317.