МЕТОД ПОГРАНСЛОЙНЫХ ЛИНИЙ ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

METHOD OF BOUNDARY-LAYER LINES TO CONSTRUCT REGULAR AND SINGULAR DOMAINS FOR SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ANALYTICAL FUNCTIONS

Kurmanbek Alybaev

doctor of phys.-math. sciences, prorector of Jalal-Abad state university,

Kyrgyzstan, Jalal-Abad

Kushtarbek Tampagarov

candidate of phys.-math. sciences, director of Kochkor-Ata technical college,

Kyrgyzstan, Kochkor-Ata

АННОТАЦИЯ

В предыдущих работах авторов было доказано, что для сингулярно возмущенных уравнений в области изменения аргумента возникают погранслойные линии. Эти линии можно рассматривать как специфическое свойство таких уравнений. В данной статье, в общем случае, для линейных обыкновенных сингулярно возмущенных уравнений с использованием топологических и аналитических методов построены погранслойные линии, регулярные и сингулярные области.

ABSTRACT

It was proven in the authors’ preceding works that boundary-layer lines arise in the domain for singularly perturbed differential equations. These lines can be considered as a specific property of such equations. In this paper, boundary-layer lines, regular and singular domains for linear ordinary singularly perturbed differential equations are constructed with assistance of topological and analytical methods in general case.

Ключевые слова: cингулярно возмущенное уравнение, обыкновенное дифференциальное уравнение, погранслойная линия, регулярная область, сингулярная область, аналитическая функция, гармоническая функция, линия уровня.

Keywords: singularly perturbed equation, ordinary differential equation, boundary-layer line, regular domain, singular domain, harmonic function, contour line.

Введение

Объектом исследования данной работы будут линейные сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения (с.в.у.) [3].

В [2] на основе метода [1], для с.в.у. второго порядка, получены условия для возникновения на плоскости изменения аргумента линии в форме петли, названной авторами «простирающимся пограничным слоем».

В [5] показано, что такие линии естественно возникают для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, что можно рассматривать, как специфическое свойство таких уравнений.

Было предложено назвать их – погранслойными линиями (п.с.л.). В [6; 7] предложены другие методы определения п.с.л. В [4] разработан алгоритм приближенного поиска погранслойных линий с точками ветвления для с.в.у. с аналитическими функциями.

Данная работа посвящена вычислению п.с.л. и определению регулярных и сингулярных областей (далее используем краткие обозначения (р.о.), (с.о.)) на основе методов, предложенных в работах [6; 7].

1. Постановка задачи

Рассматривается задача

,                              (1)

,                                                        (2)

где:  – малый параметр;  – комплексная плоскость и W – одноcвязная область; 0 является внутренней точкой области W;

 – скалярная функция; .

U.1. Пусть  – пространство аналитических функций в W.

Для простоты изложения потребуем

U.2. .

Из [5] заимствуем следующие определения.

Определение 1. Если ограничено при , то будем называть точку  регулярной для задачи (1) – (2), в противном случае – нерегулярной.

Определение 2. Точку, в любой окрестности которой существуют как регулярные, так и нерегулярные точки, будем называть погранслойной точкой.

Определение 3. Любой множество регулярных (погранслойных) точек будем называть регулярным (погранслойным) множеством.

Определение 4. Погранслойное множество, являющееся непрерывным, локально взаимно-однозначным образом отрезка, будем называть погранслойной линией.

Задача. Для решения начальной задачи (1) – (2), согласно принятых определений, построить п.с.л. и р.о., с.о.

Метод решения задачи. Из (1) при  получим вырожденное уравнение

                                            (3)

В силу U.2 уравнение (3) имеет единственное решение

В (1) произведем замену

                                       (4)

где:  – новая неизвестная функция.

Поставляя (4) в (1), получим задачу

,                             (5)

,                                 (6)

где:

Теперь задачу (5)-(6) заменим следующей

,(7)

где: .

Решение поставленной задачи разделим на две части.

В первой части изложим топологические основы применяемого метода. В частности, с применением линий уровней гармонических функций область Ω будет разделена на несколько частей и указан выбор путей интегрирования.

Вторая часть – аналитическая. Вычисление п.с.л. и р.о., с.о.

2. Топологическая часть решения задачи

В [6; 7] для вычисления п.с.л. и определения р.о., с.о. предложено исполь-зовать метод характеризующих функций. Основу метода составляет использо-вание линий уровня функций и.

Полагая - действительные переменные,  введем обозначения.

Функции  являются гармоническими в Ω.

Определение 5. Множество назовём линией уровня функций  и обозначим ().

В силу условия U.2 имеем

Отсюда следует, что

: или .

Теперь нам надо решить, в каких частях области Ω выполняется или .

Для конкретизации и наглядности предположим

.                                                    (8)

Тогда

                                                    (9)

Лемма 1. Функция  строго монотонна вдоль линии .

Доказательство. Рассмотрим уравнение

                                                              (10)

Согласно условия (9), из (10) определяется однозначная, бесконечно диф-ференцируемая функция, причем

Вычислим производную функции . Имеем . Отсюда следует, что строго монотон-на вдоль линии

Аналогично доказывается строгая монотонность  вдоль линии  где  Лемма доказана.

Линия проходит через точку 0 и делит область Ω на части и .

Возмём произвольную точку . Вдоль линиифункция  строго монотонна, следовательно, если исходить из точки , то существует два направления. По одному из них  возрастает, а по другому - убывает. Учтём, что .

Тогда в части области, соответствующей направлению убывания  , функция , а в другой части .

Без ограничения общности считаем, что

   .

Далее рассмотрим линии уровня

 ,         .

Часть , ограниченную линиями ( и (, обозначим , а остав-шуюся часть - . Часть , ограниченную линиями ( и (, обозначим , а оставшуюся часть – .

В силу U.1 для интеграла в (7) выберем путь интегрирования, который будем обозначать .

 состоит из части линии  соединяющей точки  и , и части линии соединяющей точки  и . Такой выбор пути обусловлен тем, что в каждой части путиодна из функций  постоянна и это позво-ляет применить известные методы.

3. Аналитическая часть решения задачи

Учитывая выбранный путь, получим

(11)

где: , а функция  однозначно определяется из уравнения  с областью определения ;

;

.

Применяя интегрирования по частям к интегралам в (11) и обзначая

; , получим

                     (12)

Рассмотрим следующие случаи.

1. . В этом случае.
2. . Тогда , причем .
3. . Имеем , .

Заметим, что интегралы в (12) для рассмотриваемых случаев ограничены.

4. ., .
5. ..

Отсюда для решения задачи (1) – (2) имеем следующие асимптотические представления в области Ω.

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. 

Заключение

Из асимптотических представлений и на основании определений 1–4 вытекает, что п.с.л., а– р.о.

Часть  содержит регулярные и нерегулярные точки и является переходным слоем, т. е. переходом от регулярной части к сингулярной.

Область  является с.о.

Список литературы:

1. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости // Вестник Кыргызского государственного национального университета. – Серия 3, Выпуск 6. – Бишкек, 2001. – С. 190–200.
2. Алыбаев К.С., Нарбаев М.Р. Явление простирающегося пограничного слоя для сингулярно возмущенных уравнений при потере устойчивости // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. – 2008, № 1. – С. 122–126.
3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. – М.: Наука, 1973. – 272 с.
4. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.С. Алгоритм приближенного поиска погранслойных линий с точками ветвления для сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Доклады Национальной академии наук Кыргызской Республики, 2015, № 2. – С. 15–18.
5. Панков П.С., Алыбаев К.С., Тампагаров К.Б., Нарбаев М.Р. Явление погранслойных линий и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями // Вестник Ошского государственного университета, 2013. – № 1 (специальный выпуск). – С. 227–231.
6. Тампагаров К.Б. Метод характеризующих функций исследования асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексной плоскости // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям, вып. 47. – Бишкек: Илим, 2014. – С. 98–102.
7. Alybaev K.S.,Tampagarov K. Criterion of existence of boundary layer lines of regular and singular domains for singularly perturbed equations with analytical functions // Abstracts of the Issyk-Kul International Mathematical Forum / Edited by Acad. A. Borubaev. – Bishkek: Kyrgyz Mathematical Society, 2015. – P. 32.