ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТОЧНИКЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

AN INVERSE SOURCE PROBLEM FOR THE THIRD ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Kalyskan Matanova

candidate of Science, Department of mathematics,

Faculty of Sciences, Kyrgyz-Turkish Manas University,

Kyrgyzstan, Bishkek

Bekzhan Temirov

doctor of science, Kyrgyz national university named after J. Balasagun,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

В данной статье получена функция Грина для краевой задачи для уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, удовлетворяющими определенным условиям, а также методом резольвент и методом функции Грина найдены условия существования и единственности решения обратной задачи об источнике для уравнения третьего порядка с частными производными.

ABSTRACT

In this paper the Green function of the boundary value problem for the second order differential equations with variable coefficients satisfying certain conditions is obtained. Conditions for the existence and uniqueness of the solution of inverse source problem for the third-order differential equation with partial derivatives are found by using the method of resolvents and the Green function method.

Ключевые слова: обратная задача, уравнение третьего порядка с частными производными третьего порядка, резольвента, интегральное уравнение Вольтерра второго рода, функция Грина.

Keywords: inverse problem, third-order partial differential equation, resolvent, Volterra integral equation of the second kind, Green function.

C точки зрения физических приложений большой интерес представляют дифференциальные уравнения, в частности, дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Уравнения в частных производных третьего порядка возникают во многих областях физики и техники, например, при изучении движения дисперсионной волны, плазменной волны, волн в упругой среде [8], импульсивного движения плоской пластины [9], при изучении задач моделирования фильтрации жидкости в пористых средах и процесса влагопереноса в почве [3]. Вопросы разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучены многими авторами [4; 6; 7; 10]. В настоящей статье рассматриваются вопросы существования и единственности обратной задачи для уравнения третьего порядка с частными производными с неизвестной правой частью составного вида.

1.  Построение функции Грина для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Рассмотрим уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

                                                  (1)

где: , ,  – заданные функции на .

Как известно, решение краевой задачи может быть записано с помощью функции Грина. Построим функцию Грина для уравнения (1) с граничными условиями

                                                                (2)

.                                                                (3)

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям

,                           (4)

                                      (5)

где: ,  – производные функций  и , ,  для всех  [5]. Тогда функция Грина краевой задачи (1), (2), (3) имеет вид

      (6)

Доказательство. Фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

имеет вид [5]:

                                    (7)

                                    (8)

Найдем производные (7) и (8):

         (9)

.         (10)

Функцию Грина  краевой задачи будем искать в виде

(11)

Так как по определению [2] функция  непрерывна в точке, из (11) получим равенство

,

или

.

При любом фиксированном  первая производная  функции Грина краевой задачи (1), (2), (3) в точке  претерпевает скачок, равный 1:

.

Отсюда . Таким образом, для нахождения неизвестных  получили систему уравнений

решая которую, найдем

,                                (12)

.                             (13)

Для отыскания функций, воспользуемся граничными условиями (2) и (3):

,              (14)

.              (15)

Так как из (7) и (8) видно, что, то из (14) получим

.                                                                 (16)

Подставляя (16) в (15), найдем

.

Запишем суммы и разности найденных неизвестных функций:

,

,

,

.

Подставляя их в (11), получим функцию Грина (6).

Пример 1. Построить функцию Грина для краевой задачи

,

Решение. Здесь ,  для всех . Условия (4) – (5) будут выполняться, если выбрать  и . Тогда по формуле (6) функция Грина будет иметь вид:

2.  Обратная задача об источнике для уравнения третьего порядка с частными производными

Пусть требуется найти функции  и , удовлетворяющие уравнению

                             (17)

начальному условию

,                                     (18)

граничным условиям

                                   (19)

и дополнительному условию

,                                                        (20)

где:

                                     (21)

, ,  и выполняются условия согласования

, .                      (22)

Введем обозначение

.                                             (23)

Тогда

                                      (24)

и уравнение (17), граничные условия (19) относительно v (t, x) запишутся в виде

,             (25)

.                                                           (26)

Уравнение (25) выразим через Аv:

.    (27)

(27) относительно  есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром-константой . Применяя его резольвенту, получим:

или

.

Так как

,

то последнее уравнение примет вид

.                             (28)

Если считать правую часть (28) известной функцией, то это уравнение вместе с условиями (26) представляет собой краевую задачу для неоднородного дифференциального уравнения второго порядка по переменной х. Ее решение с помощью функции Грина  запишется в виде [3]

 (29)

где:

                  (30)

,

.

Введя обозначения

,

,

(29) перепишем в виде

.                    (31)

В силу обозначения (23) из дополнительного условия (20) имеем

,

а при  из (31) получим уравнение

.      (32)

Таким образом, обратная задача (17) – (20) эквивалентна системе линейных интегральных уравнений Вольтерра 2 рода (31) – (32). Эта система имеет единственное решение, если выполняется условие

.                                    (33)

Тем самым доказана

Теорема 2. Если заданные функции принадлежат пространствам , ,   и выполняется условие (33), то обратная задача (17) – (20) имеет единственное решение , принадлежащее пространству.

Пример 2. Доказать существование единственного решения обратной задачи

в пространстве , .

Решение. Здесь ,

. Все заданные функции удовлетворяют условиям теоремы 2, а также выполняются условия согласования

т. е. . Необходимо проверить условие (33). Если взять

,

то

,

и функция Грина по формуле (30) имеет вид

Найдем функцию :

,

т. е.

При , получим

В силу  имеем , а корни уравнения

 (*)

были найдены с помощью программы Maple и они не принадлежат рассматриваемому промежутку . Значит,  при всех . Все условия теоремы 2 для обратной задачи (2.2.18) – (2.2.21) выполнены и ее решение существует и единственно в пространстве.

Список литературы:

1. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 5. С. 852–866.

2. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. – М.: Наука, 1968. – 504 с.

3. Краснов М.Л. Интегральные уравнения: введение в теорию. – М.: Наука, 1975. – 304 с.

4. Юлдашев Т.К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014, выпуск 1(34), страницы 56–65. DOI: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1299 (Дата обращения: 10.10.2016).

5. Asanov A., Haluk Chelik M., Asanov R. One Formula for Solution of the Linear Differential Equations of the Second Order with the Variable Coefficients // Global Journal of Pure and Applied Mathematics. – 2012. – Volume 8, Number 3, Р. 321–328.

6. Isakov V., Inverse Problems for Partial Differential Equations, Second Edition, Springer, New York, 2006, 284 pages.

7. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht, Netherlands, 1999.

8. Robert A. Meyers (Ed.), Mathematics of Complexity and Dynamical Systems, Springer-Verlag New York, 2011.

9. Robert A. Van Gorder K. Vajravelu, Third-order partial differential equations arising in the impulsive motion of a flat plate // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 14, Issue 6, June 2009, Pages 2629–2636.

10. Shitao Liu, Roberto Triggiani, An inverse problem for a third order PDE arising in high-intensity ultrasound: Global uniqueness and stability by one boundary measurement // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. Volume 21, Issue 6, Pages 825–869, 10.1515/jip-2012-0096, 2013.