ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  РАЗРЕШИМОСТИ  ЗАДАЧИ  ТИПА  БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО  ДЛЯ  СМЕШАННОГО  УРАВНЕНИЯ  ВТОРОГО  ПОРЯДКА

Желдашева  Анна  Олеговна

старший  преподаватель  кафедры  дифференциальных  уравнений  Кабардино-Балкарского  государственного  университета  им.  Х.М.  Бербекова,  РФ,  г.  Нальчик

E -mail:  anna.zheldasheva@mail.ru

PROOF  OF  THE  SOLVABILITY  OF  THE  PROBLEM  OF  BITSADZE-SAMARA  FOR  THE  MIXED  SECOND-ORDER  EQUATION

Zheldasheva  Anna  Olegovna

Senior  Lecturer,  Department  of  Differential  Equations,  Kabardino-Balkar  State  University  H.M.  Berbekova ,  Russia,  Nalchik

АННОТАЦИЯ

Работа  посвящена  исследованию  однозначной  разрешимости  краевой  задачи  со  смещением  для  параболо-гиперболического  уравнения  второго  порядка.  Вопрос  существования  решения  задачи  эквивалентно  редуцирован  к  вопросу  разрешимости  интегрального  уравнения  Фредгольма,  а  единственность  решения  установлена  на  основе  метода  интегралов  энергии.

ABSTRACT

The  work  is  devoted  to  the  study  of  the  unique  solvability  of  boundary  value  problem  with  the  shift  to  parabolic-hyperbolic  equation  of  the  second  order.  The  question  of  the  existence  of  the  problem  solutions  is  reduced  to  the  equivalent  of  the  Fredholm  integral  equation  solvability  and  the  uniqueness  of  the  solution  set  based  on  the  energy  integrals  method.

Ключевые  слова:   краевая  задача;  уравнение  смешанного  типа;  уравнение  Фредгольма.

Keywords:   boundary  value  problem;  the  equation  of  the  mixed  type;  the  integral  equation;  the  method  of  energy  integrals.

Введение

Развитие  аналитических  методов  доказательства  разрешимости  краевых  задач  со  смещением  для  уравнений,  меняющих  свой  тип  в  области  задания  [1—3],  является  одной  из  наиболее  важных  задач  общей  теории  уравнений  в  частных  производных.  Несмотря  на  ярко  выраженный  теоретический  характер  таких  работ,  результаты  исследований  нелокальных  задач  содержащих  в  своей  постановке  интегральные  операторы,  могут  найти  свое  применение  и  в  задачах  математического  моделирования  (например  [4,  7]). 

Постановка  задачи

Рассмотрим  уравнение

,      (1)

в  области  ,  где  —    область  ограниченная  отрезками  АВ,  ВС,  СО  и  ОА  прямых  ,  ,  ,    соответственно;    —  характеристический  треугольник  ограниченный  отрезком  ОА  оси  абсцисс  и  двумя  характеристиками  AD:  ,  OD:    уравнения  (1)  выходящими  из  точек  А,  О  и  пересекающимися  в  точке  D;    —  заданная  функция.

Пусть

.

В  области  ,  где    для  уравнения  (1)  исследована  следующая  задача.

Задача  S.  Найти  регулярное  в    решение  уравнения  (1)  из  класса  ,  удовлетворяющее  условиям:

,  (2)

,  (3)

,  (4)

и  условиям  сопряжения:

  (5)

Здесь  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,    —  заданные,  достаточно  гладкие  функции,  причем  ,    и  выполнено  условие  согласования:  .

Доказательство  существования  решения  задачи  S

Аналогично  [5,  6],  получим  соотношение  между    и  ,  принесен­ное  на  отрезок  АО  из  гиперболической  части    смешанной  области  ,  на  основе  решения  соответствующей  задачи  Коши  [8]:

.  (6)

В  самом  деле,  удовлетворяя  (6)  условию  (4),  будем  иметь 

Или

.

Таким  образом,  соотношение,  связывающее  ,    и  принесен­ное  из  гиперболической  части  смешанной  области    представимо  в  виде:

,  (7)

где

,  ,  .

С  другой  стороны,  переходя  к  пределу  при    в  уравнении  (1)  в  области  ,  будем  иметь

.  (8)

Здесь    —  дифференциальный  оператор.

Введем  новые  неизвестные  функции:

,

,

где

.

С  учетом  введенных  обозначений  и  принимая  во  внимание  (8),  будем  иметь:

.  (9)

Пусть    —  функция  Грина  оператора    с  областью  определения

.

Тогда  решение  задачи  (9)  можно  записать  в  виде

,  (10) 

где

.

Соотношение  (10)  совместно  с  ранее  полученным  равенством  (7)  и  условиями  (5)  образуют  систему  интегро-функциональных  уравнений  относительно  неизвестных    и  .

Подставляя  (7)  последовательно  в  каждое  из  соотношений  (5),  в  результате  ряда  элементарных  преобразований,  получим:

,  (11)

,  (12)

где 

,

,

,  .

Из  (10),  с  учетом  (11)  и  (12),  будем  иметь

или

  (13)

где  .

Перепишем  (13)  в  виде:

.

Таким  образом,  вопрос  разрешимости  задачи  S  эквивалентно  редуци­рован  к  вопросу  разрешимости  интегрального  уравнения  Фредгольма  1-го  рода:

,

где

,

,

Список  литературы:

1.Бжихатлов  Х.Г.  О  нелокальных  краевых  задачах  для  квазилинейного  уравнения  с  вырождением  порядка  и  типа  //  Владикавказский  математический  журнал.  —  2003.  —  Т.  5.  —  №  4.  —  С.  26—31.

2.Елеев  В.А.,  Балкизова  А.Х.  Об  одной  нелокальной  внутреннекраевой  задаче  для  уравнения  третьего  порядка  с  разрывными  условиями  сопряжения  //  Известия  Кабардино-Балкарского  научного  центра  РАН,  —  2011.  —  №  62.  —  С.  22—33.

3.Ивашкина  Г.А.  Об  одной  краевой  задаче  со  смещением  для  уравнения  смешанного  эллиптико-гиперболического  типа  //  Вестник  Оренбургского  государственного  университета.  —  2010.  —  №  9  (115).  —  С.  35—39.

4.Лесев  В.Н.  Математические  методы  в  исследовании  статики  и  кинетики  капиллярных  поверхностей.  Нальчик:  Принт-Центр,  2011.  —  162  с.

5.Лесев  В.Н.,  Желдашева  А.О.  Нелокальная  краевая  задача  для  уравнения  смешанного  типа  второго  порядка  в  характеристической  области  //  Вест­ник  Адыгейского  государственного  университета.  Серия  4:  Естественно-математические  и  технические  науки,  —  2012.  —  №  3  (106).  —  С.  52—56.

6.Лесев  В.Н.,  Желдашева  А.О.  Об  одной  краевой  задаче  для  смешанного  уравнения  с  разрывными  условиями  сопряжения  //  Известия  смоленского  государственного  университета.  —  2012.  —  №  3  (19).  —  С.  392—399.

7.Лесев  В.Н.,  Созаев  В.А.  О  новом  методе  обработки  экспериментальных  данных  для  малых  капель  расплавов  //  Известия  КБГУ.  —  2011.  —  Т.  1.  —  №  1.  —  С.  3—8.

8.Тихонов  А.Н.,  Самарский  А.А.  Уравнения  математической  физики.  М.:  Наука,  1977.  —  736  с.