ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  РАЗРЕШИМОСТИ  КЛАССИЧЕСКОЙ  КРАЕВОЙ  ЗАДАЧИ  ДЛЯ  УРАВНЕНИЯ  С  ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ  АРГУМЕНТОМ  ПРИ  СТАРШЕЙ  ПРОИЗВОДНОЙ

Боташева  Диана  Рафаиловна

магистрант,  Кабардино-Балкарский  государственный  университет,  РФ,  г.  Нальчик

E-mail:  

PROOF  OF  THE  SOLVABILITY  OF  THE  CLASSICAL  BOUNDARY  VALUE  PROBLEM  FOR  THE  EQUATIONS  WITH  DEVIATING  ARGUMENT  IN  THE  HIGHER  DERIVATIVE

Botasheva  Diana

postgraduate,  Kabardino-Balkarian  State  University,  Nalchik

АННОТАЦИЯ

В  работе,  на  основе  метода  Фурье,  исследован  вопрос  существования  регулярного  решения  классической  краевой  задачи  для  уравнения  в  частных  производных  второго  порядка  с  отклоняющимся  аргументом. 

ABSTRACT

In  this  paper  on  the  basis  of  the  Fourier  method,  we  investigate  the  question  of  the  existence  of  a  regular  solution  of  the  classical  boundary  value  problem  for  partial  differential  equations  of  the  second  order  with  deviating  argument.

Ключевые  слова :  краевая  задача;  уравнение  в  частных  производных;  отклоняющийся  аргумент;  метод  Фурье.

Keywords:   boundary  value  problem;  partial  differential  equation;  divergent  argument;  Fourier  method.

Введение .  Краевые  задачи  для  уравнений  в  частных  производных  стали  изучаться  относительно  недавно.  При  этом,  уравнениям  с  дискретным  отклонением  аргумента  посвящено  немного  работ  (например  [1—3,  6,  7]).  Однако,  во  всех  указанных  работах  были  исследованы  уравнения  с  отклонением  аргумента  в  младших  членах.  В  настоящей  работе  приведем  доказательство  разрешимости  краевой  задачи  для  уравнения  с  отклонением  аргумента  при  старшей  производной.

Постановка  задачи

В  области    рассмотрим  уравнение

,  (1)

где    –  заданные  постоянные,  причем  .

Для  уравнения  (1)  в  области  Ω  исследована  следующая

Задача  А .  В  области  ,  найти  решение    уравнения  (1)  из  класса  ,  удовлетворяющее  условиям:

,  (2)

,  (3)

где:    —  заданные,  достаточно  гладкие  функции,  причем  выполнены  условия  согласования:  .

Доказательство  разрешимости  задачи  А

Для  доказательства  разрешимости  задачи  А  применим  метод  Фурье,  т.е.  будем  искать  решение  в  виде

.  (4)

Подставляя  (4)  в  (1),  получим

.  (5)

Принимая  во  внимание  (2),  относительно    получим  следующую  задачу  Штурма-Лиувилля:

,

.

Легко  убедиться  в  том,  что  данная  задача  будет  иметь  следующие  собственные  значения

  (6)

и  соответствующие  им  собственные  функции

.  (7)

Таким  образом,  остается  исследовать  аналог  первой  краевой  задачи  для  уравнения

,  (8)

где  .

Решения  уравнения  (8)  с  отклоняющимся  аргументом  нейтрального  типа  будем  искать  в  виде  [4]:

,  (9)

где:    —  неизвестные  постоянные,  причем  .

Подставляя  (9)  в  (8),  получим

.

Откуда  следует

,    (10)

Так  как  ,  то

.  (11)

Разрешая  (11)  относительно  ,  находим 

.

В  случае    уравнение  (8)  имеет  только  комплексное  решение.  В  связи  с  этим  остановимся  на  случае  .

Подставляя    в  (9),  получим:

,

где    и    связаны  соотношением:

Таким  образом,  решение  задачи  А  представимо  в  виде:

,

где    определяется  из  краевых  условий.

Доказательство  того,  что  ряд

равномерно  сходится  вместе  со  своими  производными  до  второго  порядка  включительно,  проводится  аналогично  [5].

Список  литературы:

1.Бжеумихова  О.И.,  Лесев  В.Н.  О  разрешимости  второй  краевой  задачи  для  уравнения  с  отклоняющимся  аргументом  в  прямоугольной  области  //  Обозрение  прикладной  и  промышленной  математики.  —  2011.  —  Т.  18,  —  №  2.  —  250  с.

2.Бжеумихова  О.И.  Лесев  В.Н.  Об  однозначной  разрешимости  задачи  Неймана  для  эллиптического  уравнения  с  отклоняющимся  аргументом  //  Экологический  вестник  научных  центров  Черноморского  экономического  сотрудничества.  —  2012.  —  №  3.  —  С.  41—46.

3.Бжеумихова  О.И.,  Лесев  В.Н.  Применение  метода  Фурье  к  исследованию  задачи  Дирихле  для  уравнения  с  отклоняющимся  аргументом  и  оператором  Лапласа  в  главной  части  //  Политематический  сетевой  электронный  научный  журнал  Кубанского  государственного  аграрного  университета.  —  2012.  —  №  81.  —  С.  128—137. 

4.Жабоев  Ж.Ж.  и  др.  Решение  уравнения  колебания  струны  с  отклоняющимся  аргументом  //  Международная  научно-практическая  конференция  «Современные  проблемы  гуманитарных  и  естественных  наук».  М.,  2012.  —  С.  13—16.

5.Bzheumikhova  O.I.,  Lesev  V.N.  Application  of  Fourier  method  to  investigation  of  the  Dirichlet  problem  for  partial  differential  equations  with  deviating  arguments  //  International  Journal  of  Differential  Equations  and  Applications.  —  2013.  —  Vol.  12.  —  №  2.  —  P.  103—120.

6.Khasawneh  F.A.,  Mann  B.P.,  Barton  D.A.W.  Periodic  solutions  of  nonlinear  delay  differential  equations  using  spectral  element  method//  Nonlinear  dynamics.  —  Vol.  67.  —  №  1.  —  P.  641—658.

7.Li  X.,  Yuan  X.  Quasi-periodic  solutions  for  perturbed  autonomous  delay  differential  equations//  Journal  of  differential  equations.  —  Vol.  252.  —  №  6.  —  P.  3752—3796.