ИНТЕГРАЛ  КРИВИЗНЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  СКАЛЯРНОГО  ПОЛЯ

Пешкичев  Юрий  Афанасьевич

канд.  физ.-мат.  наук,  исполнитель,  ООО  «Интеграл-Хаб.»,  РФ,  г.  Бердск

E-mail: 

THE  INTEGRAL  OF  THE  CURVATURE  MATHEMATICAL  SCALAR  FIELD

Yuriy  Peshkichev

candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  performer,  LLC  “Integral-Khab.”,  Russia,  Berdsk

АННОТАЦИЯ

Изучаются  свойства  гладкого  скалярного  поля  на  плоскости,  проявляющиеся  при  рассмотрении  семейств  линий  уровня.

ABSTRACT

We  study  the  properties  of  the  smooth  scalar  field  on  the  plane,  taken  in  dealing  with  the  families  of  level  curves.

Ключевые  слова:  линия  уровня;  эволюта;  кривизна;  вторая  кривизна;  интеграл  кривизны;  гауссово  изображение.

Keywords:  level  curve;  evolute;  curvature;  the  second  curvature;  the  integral  of  the  curvature;  the  Gaussian  image.

В  современной  теории  математического  скалярного  поля  является  актуальной  задача  количественного  наполнения  качественного  понятия  его  кривизны.  Данная  статья  является  естественным  продолжением  работы  автора  [5]  по  дифференциальной  и  интегральной  геометрии  гладкого  математического  скалярного  поля.  Под  гладкостью  скалярного  поля  в  данной  статье  будем  всегда  понимать  существование  всех  непрерывных  частных  производных  до  третьего  порядка  включительно  у  представляющей  его  функции  двух  переменных.  Дифференциальная  геометрия  семейств  линий  уровня  ориентирована  на  учебник  Дж.  Торпа  [6],  где  поверхности  в  многомерном  пространстве  рассматриваются  как  уровенные  поверхности.  Интегральная  геометрия  семейств  линий  уровня  представляет  собой  распространение  основных  идей  уже  сложившегося  понятия  интегральной  геометрии  на  семейства  криволинейных  уровней  скалярных  полей.  Такой  подход  использован  в  методе  модулей  исследования  квазиконформных  отображений.  При  доказательствах  используется  криволинейная  теорема  Фубини,  известная  по  учебнику  Р.  Куранта  [3,  c.  318].  Схема  доказательств  заимствована  из  учебника  М.А.  Евграфова  [1,  c.  443],  где  был  представлен  принцип  длины  и  площади.  Первая  теорема  есть  аналог  этого  принципа  в  ситуации,  когда  вместо  длины  образа  линии  уровня  рассмотрена  длина  её  гауссового  изображения,  а  вместо  площади  рассматривается  произведение  интеграла  Дирихле  и  двойного  интеграла  кривизны.  В  условии  второй  теоремы  длина  линии  уровня  заменяется  криволинейным  интегралом  от  квадратного  корня  из  абсолютной  величины  кривизны  эволюты,  из-за  чего  двойной  интеграл  кривизны  берётся  уже  от  квадрата  второй  кривизны.

Криволинейная  теорема  Фубини.  Для  гладкого  скалярного  поля  u(M)  в  плоской  области  G  пусть  E(r)  —  линия  уровня  с  длиной  дуги  s,  L(E(r))  —  её  длина.  Тогда  для  любого  скалярного  поля  f(M) 

∫∫f(M)|gradu|dG  =  ∫dr  ∫_E(r)f(M)ds

при  условии  существования  двойного  интеграла.  При  этом  однократное  интегрирование  проводится  по  всей  области  значения  скалярного  поля.

Вытекающую  отсюда  формулу

∫∫|gradu|dG  =  ∫L(E(r))dr

автор  предлагает  рассматривать  как  проявление  интегральной  геометрии  семейства  линий  уровня.  Эта  формула  допускает  своеобразное  повышение  порядка  дифференцирования  скалярного  поля.  Пусть  N(r)  —  гауссово  изображение  линии  уровня  E(r),  k  =  k(M)  =  -div(gradu/|gradu|)  — 

кривизна  линии  уровня  E(r)  в  точке  М.  Тогда  [6,  c.  116]  в  случае  выпуклости  почти  всех  линий  уровня  для  почти  всех  значений  параметра  r  будет

L(N(r))  =  ∫_E(r)|k|ds.  Интегрируя  по  параметру  r,  по  криволинейной  теореме  Фубини  получаем

∫∫|k|·|gradu|dG  =  ∫L(N(r))dr  ≤  ∫∫||hess  u||dG,

где  hess  u  —  матрица  Гессе  скалярного  поля  u(M)  c  евклидовой  нормой.

Рассмотрим  теперь  интеграл  Дирихле  D(u,G)  =  ∫∫|gradu|²dG,  двойной  интеграл  кривизны  I₁(u,G)  =  ∫∫  k⁴dG,  функцию  параметра  r

λ(r)  =  L(N(r))²/L(E(r))

и  однократный  интеграл  кривизны  J₁(u,G)  =  ∫λ(r)dr.

Теорема  1.  Если  для  гладкого  скалярного  поля  u(M)  конечны  интеграл  Дирихле  и  двойной  интеграл  кривизны,  то  конечен  и  однократный  интеграл  кривизны,  причём  J₁(u,G)²  ≤  I₁(u,G)D(u,G).

Доказательство.  Как  мы  уже  видели,  использование  криволинейной  теоремы  Фубини  приводит  к  рассмотрению  криволинейных  интегралов  первого  рода  по  линиям  уровня  скалярного  поля.  В  процессе  доказательства  мы  применим  к  ним  неравенство  Гёльдера  по  примеру  обзорной  статьи  В.Г.  Мазьи  [3].  Так  как  кривизна  линии  уровня  служит  касательной  производной  гауссового  отображения,  то  для  почти  всех  значений  параметра  r  будет

L(N(r))  ≤  ∫_E(r)|k|ds.

Согласно  неравенству  Буняковского-Шварца  [1,  c.  443],  тогда  λ(r)  ≤  ∫_E(r)k²ds.  Интегрируя  это  неравенство  по  всей  области  изменения  параметра  r,  по  криволинейной  теореме  Фубини  получаем 

J₁(u,G)  ≤  ∫∫k²|gradu|dG.

Оценивая  теперь  двойной  интеграл  с  помощью  неравенства  Буняковского-  Шварца,  получаем  требуемое  неравенство.

Пусть  теперь  k₂  =  k₂(M)  =  dk/ds  —  вторая  кривизна  линии  уровня  в  точке  М,  k_ev  =  k_ev(M)  —  кривизна  эволюты  линии  уровня  в  центре  кривизны  для  точки  М.  Из  известных  свойств  эволюты  [2,  c.  352]  вытекает  вычислительная  формул  k_ev  =  ±k₁³/k₂.  Рассмотрим  двойной  интеграл  кривизны  I₂(u,G)  =  ∫∫|k₂²dG,  функцию  параметра  r

μ(r)  =  L(N(r))³/(∫_E(r)|k_ev|^½ds)²

и  однократный  интеграл  кривизны  J₂(u,G)  =  ∫μ(r)dr.

Теорема  2.  Если  для  гладкого  скалярного  поля  u(M)  конечны  интеграл  Дирихле  и  двойной  интеграл  кривизны  I₂(u,G),  то  конечен  и  однократный  интеграл  кривизны  J₂(u,G),  причём  J₂(u,G)²  ≤ 

I₂(u,G)D(u,G).

Доказательство.  Если  в  начале  доказательства  теоремы  1  использовать  тождество  k  =  |k₂|^⅓k/|k₂|^⅓,  то  для  почти  всех  значений  параметра  r  будет

L(N(r))  ≤  ∫_E(r)|k₂k_ev|^⅓ds.

Согласно  неравенству  Гёльдера  с  показателем  р  =  3,  будет  μ(r)  ≤  ∫_E(r)|k₂|ds  .  Интегрируя  последнее  неравенство  по  всей  области  изменения  параметра  r,  получаем

J₂(u,G)  ≤  ∫∫|k₂|·|gradu|dG.

Остаётся  оценить  двойной  интеграл  с  помощью  неравенства  Буняковского-Шварца.

Доказанные  теоремы  позволяют  сделать  следующие  выводы.  Во-первых,  степень  суммируемости  подынтегральной  функции  в  двойном  интеграле  кривизны  влияет  на  вид  однократного  интеграла  кривизны.  Во-вторых,  сам  двойной  интеграл  кривизны  можно  ввести  на  основе  понятия  второй  кривизны  линии  уровня  скалярного  поля.

Список  литературы:

1. Евграфов  М.А.  Аналитические  функции.  М.:  Наука,  1968.  —  472  с.
2. Курант  Р.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Т.  1.  М.:  Наука,  1967.  —  704  с.
3. Курант  Р.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Т.  2.  М.:  Наука,  1970.  —  672  с.
4. Мазья  В.Г.  Классы  областей,  мер  и  ёмкостей  в  теории  пространств  дифференцируемых  функций  //  Итоги  науки  и  техн.  Соврем.  пробл.  мат.  Фундам.  направления,  26  (1988).  —  С.  159—228.
5. Пешкичев  Ю.А.  Дифференциальная  и  интегральная  геометрия  математического  скалярного  поля  //  Новый  университет.  Сер.  «Вопр.  естеств.  наук».  —  2012.  —  №  3.  —  С.  11—12.
6. Торп  Дж.  Начальные  главы  дифференциальной  геометрии.  М.:  Мир,  1982.  —  361  с.