КОРРЕКТНОСТЬ  ОДНОЙ  ЛИНЕЙНОЙ  НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ  ЗАДАЧИ  О  НАСЫЩЕННО-НЕНАСЫЩЕННОЙ  ФИЛЬТРАЦИИ

Семенко  Евгений  Вениаминович

д-р  физ.-мат.  наук,  зав.  кафедрой  математического  анализа,  профессор  Новосибирского  государственного  педагогического  университета,  РФ,  г.  Новосибирск

E -mail:  semenko

Семенко  Татьяна  Ивановна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Новосибирского  государственного  педагогического  университета,  РФ,  г.  Новосибирск

E-mail: 

CORRECTNESS  OF  ONE  LINEAR  INITIAL-BOUNDARY  VALUE  PROBLEM  OF  SATURATED-UNSATURATED  FILTRATION

Evgeny  Semenko

doctor  of  science,  head  of  mathematical  analysis  department,  professor  of  Novosibirsk  State  Pedagogical  University,  Russia,  Novosibirsk

Tatyana  Semenko

candidate  of  science,  assistant  professor  of  Novosibirsk  State  Pedagogical  University,  Russia,  Novosibirsk

АННОТАЦИЯ

Рассматривается  линейный  аналог  начально-краевой  задачи,  возникающей  в  теории  фильтрации  при  моделировании  совместного  движения  влаги  в  зонах  полного  и  неполного  насыщения.  Линейная  задача  представляет  самостоятельный  интерес  как  неклассическая  начально-краевая  задача  со  свободной  границей,  с  необычным  условием  на  свободной  границе,  отражающим  способ  сопряжения  течений  на  границе  зон  полного  и  неполного  насыщения.  В  работе  приводится  доказательство  существования  и  единственности  обобщенного  решения  этой  задачи. 

ABSTRACT

The  linear  analog  of  initial-boundary  value  problem  arising  in  filtration  theory  at  modeling  of  water  in  saturated  and  unsaturated  zones  coupled  movement  is  considered.  The  linear  problem  has  a  separate  interest  as  non-classical  free  boundary  problem  with  unusual  conjugation  condition  on  free  boundary,  reflecting  the  manner  of  conjugation  of  flows  on  the  boundary  of  saturated  and  unsaturated  zones.  The  proof  of  existence  and  uniqueness  of  generalized  solution  is  brought  in  this  work.

Ключевые  слова:  теория  фильтрации;  зона  полного  насыщения;  зона  неполного  насыщения;  задачи  со  свободными  границами;  обобщенное  решение;  теорема  существования  и  единственности.

Keywords:  filtration  theory,  saturated  zone;  unsaturated  zone;  free  boundary  problem;  generalized  solution;  existence  anduniqueness  theorem.

Для  описания  взаимосвязанного  движения  влаги  в  зонах  полного  и  неполного  насыщения  в  [1]  была  предложена  приближенная  гидравлическая  модель  фильтрации,  основанная  на  предположении  о  преобладании  вертикальных  потоков  влаги  в  зоне  неполного  насыщения  и  горизонтальных  —  в  зоне  полного  насыщения.  Эта  модель  в  случае  профильной  (происходящей  в  вертикальной  плоскости)  фильтрации  представляет  собой  начально-краевую  задачу  для  уравнения 

в  области    (зоне  неполного  насыщения  грунта)  со  свободной  границей  ,  где    —  глубина  залегания  грунтовых  вод.  Здесь    —  давление  влаги  в  зоне  неполного  насыщения,    —  одномерная  фиксированная  область.  На  свободной  границе    задаётся  условие 

следующее  из  соотношения  баланса  влаги  для  всей  толщи  грунта  и  связывающее  вертикальные  потоки  в  зоне  неполного  насыщения  с  горизонтальными  в  зоне  полного  насыщения. 

В  работе  [2]  приводится  линейная  задача,  полученная  из  исходной  гидравлической  модели  путём  сведения  её  к  задаче  в  постоянной  области  с  помощью  замены  переменной  ,  а  также  фиксирования  коэффициентов  во  всех  уравнениях  и  граничных  условиях.  Эта  задача  отражает  главные  особенности  исходной  модели  —  предположения  о  преобладании  вертикальных  скоростей  в  зоне  неполного  насыщения,  горизонтальных  скоростей  в  зоне  полного  насыщения,  а  также  способ  сопряжения  этих  двух  зон.  Мы  приведём  здесь  развернутое  доказательство  существования  и  единственности  обобщенного  решения  линейной  задачи. 

Итак,  рассмотрим  полученную  в  [2]  задачу  для  функций    и 

:

где:    —  постоянная,  , 

, 

  —  положительные  постоянные. 

Определение.   Обобщенным  решением  задачи  (3)—(7)  в    назовём  пару  функций  (w,  h)  таких,  что 

удовлетворяющих  условиям:

Здесь,  , 

Теорема.  Пусть  в  условии  (5)  Тогда  существует  единственное  обобщенное  решение  (w,  h)  задачи  (3)—(7),  причём  справедлива  оценка:

Доказательство.  Для  доказательства  существования  решения  применим  метод  Фурье.  Будем  отыскивать  частное  решение  уравнения  (3)  в  виде

  (12)

и  потребуем,  чтобы  оно  удовлетворяло  условиям  (4),  (6),  (7).  Подставляя  (12)  в  (3),  (4),  (6),  (7),  получим  следующие  краевые  задачи  для  функций  и  уравнение  для  :

  (13)

  (14)

  (15)

где    —  постоянные.

Уравнение  (15)  при  любом    имеет  решение  ,  где    Задача  (13)  разрешима  при  где  ,  соответствующие  решения  имеют  вид:  .  Задача  (14)  для  любого  фиксированного    разрешима  при  ,  ,  где  ,  а    являются  положительными  решениями  уравнения  ctg;  соответствующие  решения  имеют  вид  y.  Решения  задач  Штурма-Лиувилля  (13),  (14)  образуют  полные  ортогональные  системы  в    и    соответственно,  следовательно,  система  функций    является  полной  ортогональной  системой  в  . 

Обозначим  через    коэффициенты  разложения  функции    в  ряд  Фурье  по  этой  системе:

и  пусть  =  Как  известно,    в    при  и  справедлива  оценка

  (16)

(неравенство  Бесселя).  Пусть  теперь

=  (17)

Нетрудно  заметить,  что    является  решением  задачи

,  (3*)

  (4*)

  (5*)

  (6*)

  (7*)

Покажем,  что  для    справедлива  оценка

  (11*)

где    есть  некоторая  постоянная,  не  зависящая  от    Для  этого  умножим  (3*)  на    и  проинтегрируем  равенство  по  ,

+    (18)

=

Принимая  во  внимание  (4*),  (6*),  (7*),  получаем:

I=  (19)

= 

C  учётом  (18)  и  (19)  имеем:

  (20)

где    не  зависит  от  откуда,  переходя  к  максимуму  по  ,  мы  и  получаем  требуемую  оценку  (11*).

Далее,  с  учётом  (16),  имеем:

G(),  (21)

что  означает  равномерную  по    ограниченность  последовательностей    в  .  Следовательно,  существует  подпоследовательность  (сохраним  для  неё  обозначение  )  такая,  что    слабо  в    Так  как    очевидно,  удовлетворяет  (8),  то,  переходя  в  этих  тождествах  к  пределу  при  ,  получим,  что  обобщённое  решение  задачи  (3)  с  начальным  значением  ,  и  для  него  справедлива  оценка  (11)  как  для  слабого  предела  последовательности    этой  оценке  удовлетворяющей.  Существование  обобщенного  решения  доказано. 

Докажем  теперь  единственность  такого  решения.  Пусть    два  обобщённых  решения  задачи  (3),  и  пусть    Тогда    является  обобщённым  решением  задачи  при    Заметим,  что  так  как  ,  то  равенство  (8)  справедливо  для  любой  функции    такой,  что  ,    (множество    плотно  в  классе  таких  функций). 

Рассмотрим  в    функцию 

Нетрудно  убедиться,  что    имеет  в    обобщённые  производные    принадлежащие    Далее,  так  как    то  при  почти  всех    существует  значение  ,  причём,  с  учётом  (11),    при  почти  всех 

Из  свойств  функции  заключаем,  что  функция    имеет  обобщённую  производную    принадлежащую    и    Подставив  функцию  вида  (22)  в  тождество  (8)  с    получим  равенство 

Легко  проверить,  что  для  любой  функции 

Следовательно,  второе  и  третье  слагаемые  в  (23)  неотрицательны,  поэтому    откуда  вытекает,  что    в  то  есть  . 

Далее,  так  как  ,  то    в  ,  то  есть  что  завершает  доказательство  единственности  решения. 

Список  литературы:

1.Антонцев  С.Н.,  Епихов  Г.П.,  Кашеваров  А.А.  Системное  математическое  моделирование  процессов  водообмена.  Новосибирск:  Наука,  1986.  —  216  с.

2.Семенко  Т.И.  О  корректности  приближенной  гидравлической  модели  насыщенно-ненасыщенной  фильтрации  //  Динамика  сплошной  среды.  Новосибирск,  —  1991.  —  Вып.  102.  —  С.  114—132.