О  РАЦИОНАЛЬНЫХ  ЧИСЛАХ,  «ДИАГОНАЛЬНОЙ  ТЕОРЕМЕ»  И  О  ТЕОРИИ  МНОЖЕСТВ  ВООБЩЕ

Алатин  Сергей  Дмитриевич

канд.  техн.  наук,  старший  научный  сотрудник,  главный  инженер 
ООО  «Русское  решение», 
РФ,  г.  Нижний  Новгород

E-mail:  alatin1949@mail.ru

ON  RATIONAL  NUMBERS,  “DIAGONAL  THEOREM”  AND  SET  THEORY  IN  GENERAL

Sergey  Alatin

candidate  of  Technical  Sciences,  Senior  Research  Scientist,  Chief  Engineer 
of  OOO  “Russkoye  Resheniye”, 
Russia,  Nizhny  Novgorod

АННОТАЦИЯ

Актуальность  выбранной  темы  обусловлена  необходимостью  выявления  и  устранения  апорий  Зенона  в  основаниях  теории  множеств.

ABSTRAKT

Relevance  of  the  topic  chosen  due  to  the  need  to  identify  and  eliminate  the  paradoxes  of  Zeno  foundations  of  set  theory.

Ключевые  слова:  мощность;  степень;  отображение  множеств;  апории  Зенона.

Keywords:  cardinality;  degree;  mapping  of  sets;  Zeno  aporia.

Никто  не  изгонит  нас  из  рая, 

созданного  для  нас  Кантором.

Д.  Гильберт.

Я  думаю,  математика  когда-нибудь 

излечится  от  этой  болезни  —  теории  множеств.

А.  Пуанкаре.

1.  О  рациональных  числах.

Оставаясь  в  рамках  алгоритма  апории  Зенона  про  Ахиллеса  и  черепаху,  необходимо  признать,  что  Ахиллес  не  перегонит  черепаху,  и  чтобы  уйти  от  парадокса,  уходят  от  алгоритма:  наш  опыт  дает  нам  возможность  видеть  его  итог.  Кантор  строит  свое  доказательство  по  форме  и  структуре  точно  так  же,  как  парадокс  Ахиллеса: 

Таблица  1.

В  доказательстве  Кантора  множество  рациональных  чисел  изображается  таблицей  с  бесконечным  (счетным)  числом  строк  и  столбцов,  затем  организуется  движение  по  диагоналям  таблицы.  Алгоритм  (движение  по  диагоналям)  указан,  и  с  ним  не  спорят,  во-первых,  в  силу  его  наглядности,  во-вторых,  потому,  что  наш  конечный  опыт  не  дает  нам  возможности,  как  в  случае  с  черепахой,  непосредственно  идентифицировать  его  итог.

Не  смущает  экстравагантность  приема:  алгоритм,  выражаясь  фигурально,  предлагает  «прочесывать»  взад-вперед  множество  рациональных  чисел  на  постоянно  увеличивающемся  интервале. 

Не  настораживает,  что  алгоритм  не  соответствует  требованию  биекции,  поскольку  в  таблице  каждое  число  повторяется  бесконечное  (счетное)  количество  раз;  считается:  если  в  таблице  чисел  «больше»,  чем  рациональных,  то  доказательство  Кантора  заведомо  верно,  а  повторяющиеся  числа  предлагается  при  пересчете  просто  пропускать  (?).

Приведем  три  примера:

1.  При  сравнении  конечных  множеств  натуральные  числа  имеют  одинаковое  отношение  порядка. 

2.  При  биекции  одного  на  другое  счетных  бесконечных  множеств,  например  множества  натуральных  чисел  на  множество  чисел  четных,  также  имеет  место  сохранение  отношения  порядка.

$13.  При  биекции  одного  на  другое  несчетных  множеств,  например  одного  интервала  действительных  чисел  на  другой,  тоже  сохраняется  отношение  порядка. 

В  приведенных  примерах  биекция  согласуется  с  отношениями  порядка.  И  это  существенно:

«Для  того  чтобы  множества  А  и  В  были  равномощны,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  реляционные  системы  áА,  АхАñ  и  áВ,  ВхВñ  были  изоморфны»  [1,  с.  181].

Реляционные  системы  áА,  Rñ  и  áВ,  Sñ  называются  изоморфными,  если  существует  биекция  f,  отображающая  А  на  В  так,  что  для  всех  х,у  Π А

хRy  º  f(х)Sf(у)  [1,  с.  91]

Биекция  предполагает  наличие  в  обоих  множествах  структур,  и  эти  структуры  должны  быть  согласованы  с  биекцией.  Множество  натуральных  чисел  вполне  упорядочено  отношением  R,  а  на  множестве  чисел  диагоналей  таблицы  отношение  S,  удовлетворяющее  [1,  с.  91]  отсутствует.  Поэтому  «диагональное»  отображение  признать  биекцией  неправомерно.

«Множество  всех  точек  отрезка  0  ≤  х  ≤  1  несчетно.  (Г.  Кантор)

Д  о  к  а  з  а  т  е  л  ь  с  т  в  о.  Допустим,  что,  напротив,  множество  всех  точек  отрезка  [0,  1]  счетно  и  все  их  можно  расположить  в  последовательность 

х₁,  х₂,  …,  х_n,…  Имея  эту  последовательность,  построим  следующим  образом  последовательность  вложенных  друг  в  друга  отрезков.

Разделим  отрезок  [0,  1]  на  три  равные  части.  Где  бы  не  находилась  точка  х₁,  она  не  может  принадлежать  одновременно  всем  трем  отрезкам  [0,  1/3],  [1/3,  2/3],  [2/3,  1]  ,  и  среди  них  можно  указать  такой,  который  не  содержит  точки  х₁  (ни  внутри,  ни  на  границе);  этот  отрезок  мы  обозначим  через  Δ₁.

Далее,  обозначим  через  Δ₂  ту  из  трех  равных  частей  отрезка  Δ₁,  на  которой  не  лежит  точка  х₂.

Когда  таким  образом  будут  построены  отрезки  Δ₁  É  Δ₂  É  …  É  Δ_n,  мы  обозначим  через  Δ_n+1  ту  из  трех  равных  частей  отрезка  Δ_n,  на  которой  не  лежит  точка  х_n+1,  и  т.д.  Бесконечная  последовательность  отрезков  Δ₁  É  Δ₂  É  …

в  силу  известной  теоремы  анализа  имеет  общую  точку  ξ.  Эта  точка  ξ  принадлежит  каждому  из  отрезков  Δ_n  и,  следовательно,  не  может  совпадать  ни  с  одной  из  точек  х_n.  Но  это  показывает,  что  последовательность  х₁,  х₂,…,х_n,…  не  может  исчерпывать  всех  точек  отрезка  [0,  1],  в  противовес  первоначальному  предположению.  Теорема  доказана».

Заменив  в  этой  теореме  слова  «точки»  словами  «рациональные  числа»  или  «иррациональные  числа»,  получим  три  теоремы.

Все  три  теоремы  одинаково  логичны.

Это  возможно,  потому  что  во  всех  трех  случаях  используются  такие  свойства  множеств,  которыми  обладают  и  действительные,  и  рациональные,  и  иррациональные  числа.  Эти  свойства  суть:

1.  Плотность  множества,  дающая  возможность  бесконечного  деления  отрезка  на  все  более  мелкие  части.

2.  Топология  на  множестве,  дающая  возможность  говорить  об  окрестностях  и  перейти  к  пределу.

3.  Упорядоченность  множеств,  благодаря  которой  и  возможна  топология.

Что  же  правильно  —  «диагональный»  метод,  приводящий  к  счетности  множества  рациональных  чисел,  или  только  что  приведенная  теорема,  приводящая  к  несчетности  этого  множества?

Еще:  в  таблице  все  числа,  расположенные  выше  главной  диагонали,  заключены  в  интервале  [0,  1],  а  все  числа  ниже  главной  диагонали,  в  интервале  [0,  ¥].  Между  тем  между  элементами  таблицы  существует  изоморфизм

aik  =  1/aki  .

Таблица,  таким  образом,  показывает,  что  множество  рациональных  чисел  равномощно  своему  конечному  отрезку  [0,  1].  Можно  дискутировать,  как  именно  можно  и  как  нельзя  производить  пересчет  множеств.

Но  такого  свойства  у  натуральных  чисел,  этого  эталона  счетных  множеств,  нет.  Такое  свойство  есть  лишь  у  континуума  в  силу  его  плотности.

Поэтому  попытка  изобразить  плотное  множество  рациональных  чисел  в  виде  множества  разреженного  путем  построения  таблицы  все  равно  высвечивает  одно  из  свойств  плотных,  соответственно  несчетных  множеств  —  равномощность  всего  множества  своему  конечному  интервалу.

Вернемся,  однако,  к  парадоксу  Ахиллеса.  Утверждение,  что  в  нем  не  учтено  непрерывно  текущее  время,  справедливо,  но  не  раскрывает  структуры  этого  парадокса.  Между  тем  структура  эта  не  тривиальна.

Ключ  к  пониманию  парадокса  Ахиллеса  дал  А.  Эйнштейн  в  своей  статье  «Геометрия  и  опыт».  В  этой  статье  рассматривается  возможность  существования  бесконечной  и  в  то  же  время  ограниченной  вселенной.  Суть  статьи  сводится  к  тому,  что  если  вселенную  представить,  например,  в  виде  сферы  ограниченного  диаметра,  а  метрику  внутри  сферы  задать  таким  образом,  чтобы  размеры  всех  тел,  включая  средства  измерения,  при  приближении  к  границе  сферы  неограниченно  и  в  одинаковой  пропорции  уменьшались,  то  для  живущих  внутри  сферы  это  уменьшение  не  будет  заметно,  и  вселенная  для  них  будет  бесконечна,  хотя  по  существу  является  ограниченной  поверхностью  сферы  ограниченного  (конечного)  диаметра.

То  же  самое  —  постоянное  и  неограниченное  уменьшение  масштаба  измерения  (размера  отрезка  измеряемого  пути)  —  имеет  место  в  парадоксе  Ахиллеса  и  черепахи.

Фактически  Ахиллеса  поместили  в  сферу  Эйнштейна  и  заставили  его  бежать  к  границе  сферы,  в  то  время  как  наблюдение  вели  снаружи  сферы;  иными  словами,  Ахиллес  бежит  в  неэвклидовом  пространстве,  к  тому  же  еще  с  переменной  метрикой,  а  наблюдение  за  ним  ведется  из  эвклидова  пространства.  Наблюдатель  действительно  увидит  и  зафиксирует  парадокс,  но  никакого  парадокса  не  будет,  если  Ахиллеса  и  наблюдателя  поместить  в  пространство  с  одинаковой  метрикой.

В  этом,  собственно,  и  состоит  разгадка  знаменитого  парадокса.

Можно  добавить:  в  этом  парадоксе  наличие  черепахи  не  является  обязательным  и  служит  по  сути  дела  отвлекающим  обстоятельством.  Ахиллес  бежит  не  за  черепахой,  а  сам  по  себе:  сначала  10  метров,  потом  1  метр  и  т.  д.:

10  +  1  +  0,1  +  …  =  11,111…  =  100/9  метра.

Это  и  есть  радиус  сферы  Эйнштейна.

Представив  множество  рациональных  чисел  в  виде  таблицы,  Кантор  изменил  их  структуру  и  уже  для  множества  с  измененной  структурой  повел  разговор  о  счетности.  Фактически  Кантор  воспроизвел  в  области  чисел  парадокс  Зенона  об  Ахиллесе  и  черепахе.

Кантор  дал  доказательство  равномощности  прямой  и  плоскости.  Но  налицо  и  однозначное  соответствие  точки  числовой  прямой  континууму,  расположенному  на  прямой,  пересекающей  числовую  прямую  в  указанной  точке.  Стало  быть,  плоскость  —  это  континуум  континуумов.  Следовательно,  Кантор  доказал  равномощность  континуума  континууму  континуумов.  Из  этого  можно  сделать  вывод,  что  множеств,  мощность  которых  превосходит  континуум,  не  существует.

Стало  быть,  должна  быть  ошибка  в  доказательстве  теоремы  о  степени  множеств  —  «диагональной»  теоремы.

$12.  О  «диагональной»  теореме.

В  изложении  К.  Куратовского  [1,  с.  185]  теорема  имеет  вид:

«Теорема  (о  диагонали).  Если  область  определения  Т  функции  F  содержится  в  А,  а  значениями  функции  F  служат  подмножества  множества  А,  то  множество

Z  =  {tÎT:  tÏF(t)}

не  является  значением  функции  F.

Д  о  к  а  з  а  т  е  л  ь  с  т  в  о.  Мы  должны  показать,  что  F(t)=  Z  для  всех  tÎТ.

Из  определения  множества  Z  следует,  что  для  tÎТ

[tÎZ]  º  [tÏF(t)].

Если  F(t)=Z,  получаем  противоречие

(tÎZ)  º  (tÏZ).

В  случае  А=Т  теорема  имеет  наглядную  геометрическую  интерпретацию.

Представим  множество  А  х  А  в  виде  квадрата  и  рассмотрим  в  нем  множество  R  =  {[x,  y]:  y  Π F(x)}.  Тогда  F(x)  —  проекция  на  ось  ординат  тех  точек  из  R,  абсцисса  которых  равна  x,  а  Z  —  проекция  на  ось  ординат  множества  тех  точек  диагонали  квадрата,  которые  не  принадлежат  R.  Из  такого  геометрического  представления  совершенно  очевидно,  что  Z¹F(x)  для  всех  x  Π А.  В  самом  деле,  если  [x,  x]  Π R,  то  x  Π F(x),  но  xÏZ;  если  же 

[x,  x]  Ï  R,  то  x  Ï  F(x),  но  xÎZ.

Эта  интерпретация  объясняет  название  «теорема  о  диагонали»  ».

В  изложении  Ю.Л.  Ершова  [3,  с.  83]  и  А.Н.  Колмогорова  [2,  с.  42]  принято  А=Т,  при  этом  А.Н.  Колмогоров  [2,  с.  42]  счел  необходимым  включить  в  текст  доказательства  заключительное  предложение:  «Обратите  внимание  на  аналогию  между  этим  рассуждением  и  рассуждением  в  парадоксе  Рассела». 

Далее  принято  А  =  Т.

Обозначим  ti  —  элемент  области  определения  функции  F,

F(ti)  =Ai  —  подмножество,  в  которое  отображает  функция  F  элемент  ti. 

Текст  теоремы  «область  определения  Т  функции  F  содержится  в  А,  а  значениями  функции  F  служат  подмножества  множества  А»  допускает  разночтения:

1.  È  F(t)  <  A.  Тогда  можно  положить  Z  =  A  –  È  F(t),  и  теорема  сводится  к  бессодержательному  определению.

2.  È  F(t)  =  A,  и  каждый  ti  Π F(ti).  Тогда  построить  множество  Z  так,  чтобы  ti  Ï  F(ti),  не  представляется  возможным.  Попытка  построить  Z  путем  сопоставления  ti  значению  F(tk),  то  есть  сопоставлением  аргумента  значению  функции  от  другого  аргумента,  приводит  к  следующему  пункту.

3.  È  F(t)  =  A  и  ti  Ï  F(ti),  то  есть  значение  функции  не  включает  в  себя  аргумент.  Запишем  это  условие  в  виде 

[  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (  tiÏAi  ).

*Положив  F(ti)  =  Ai  =  A,  получаем  противоречие:

[  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (tiÏAi)  ®  [  F(ti)  =  A  ]  Ù  (tiÏA).

Это  аналог  парадокса  Рассела:  множество  А  не  является  собственным  подмножеством:  А  Ë  A.

*Приняв  F(ti)  =  ti,  снова  приходим  к  противоречию:

[  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (tiÏAi)  ®  [  F(ti)  =  ti  ]  Ù  (tiÏti).

Это  тоже  аналог  парадокса  Рассела:  tiÏti.

*Пусть  F(ti)  =  tk,  ti  ¹  tk.  Тогда  [  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (tiÏAi)  ®  [  F(ti)  =  tk  ]  Ù  (  ti  ¹  tk  )

Получается  Z  =  A,  поскольку  Èti  =  A  —  область  определения  F,  и  Z  =  Æ,  поскольку  Ètk  =A  —  область  значений  F.

*Пусть  F(ti)  =  Ai  ¹  A. 

Введем  два  подмножества,  каждый  со  своим  элементом:

tiÎAk,  tkÎAi.  Обозначив  функцию  F  стрелкой  ®  ,

произведем  отображение:

ti  ®  Ai,  ti  Ï  Ai;  tk®  Ak,  tkÏ  Ak.

Взяв  последовательно  композицию  двух  функций  F:  F×F,  получим 

{  [  F×F  ](ti)  =  Ak  }Ù  (tiÎAk).

Следовательно,  {  [  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (  tiÏAi  )}  ®  {  [  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (  tiÎAi  )}, 

И  снова  противоречие.

Рассмотрим  «наглядную  геометрическую  интерпретацию»  теоремы.

Если  нарисовать  квадрат  А  х  А  соответственно  с  осями  абсцисс  и  ординат,  провести  диагональ  и  поместить  в  квадрат  множество  R  =  {[x,  y]:  y  Π F(x)},  то  все  последующие  выкладки  теоремы  следует  признать  справедливыми.

Однако:  кроме  множества  RΠ A  в  множестве  A  существует  c  точно  такими  же  полномочиями  множество  R1  =  A  –  R,  являющееся  дополнением  множества  R  в  A.  Повторив  для  R1  все  сказанное  для  R,  обнаружим,  что  на  оси  ординат  Z  и  F(x)  поменялись  местами.  Если  же  отображение  взять  одновременно  для  R  и  для  R1,  то  на  оси  ординат  для  Z  места  не  остается.

Получается,  что  если  рассматривать  все  подмножества  в  совокупности,  то  ни  одно  из  подмножеств  множества  A  не  может  быть  значением  функции  F.

По  мнению  автора,  имеет  место  апория,  аналога  которой  нет  у  Зенона:  из  истинности  некоторого  утверждения  для  каждой  части  целого  делается  вывод  об  истинности  данного  утверждения  для  целого.  А  это  неправомерно.  Тривиальный  пример:  из  того,  что  3  и  5  нечетны,  не  следует,  что  нечетна  их  сумма.  Как  следствие  апории  —  еще  и  порочный  круг:  F(x)  не  существует,  поскольку  Z  пусто;  Z  пусто,  поскольку  F(x)  не  существует.  Апория  заложена  в  самом  определении  множества  Z  и,  как  следствие,  в  наложенном  на  функцию  условии  [  F(ti)  =  Ai  ]  Ù  (  tiÏAi  ).

Действительно,  когда  рассматривается  в  отдельности  каждое  подмножество  F(t)  множества  А,  множество  Z  представляется  существующим  и  осмысленным.  Когда  же  берутся  все  подмножества  в  совокупности,  то  множество  Z  оказывается  пустым,  потому  что  подмножества  F(t)  покрывают  все  множество  A,  и  нет  такого  t,  которое  не  принадлежало  бы  пусть  одному  подмножеству  из  A.

Возвращаясь  после  проведенного  анализа  к  тексту  теоремы  и  рассматривая

Z  =  {tÎT:  tÏF(t)},

находишь  логику  теорему  странной:

1.  Сначала  постулируется  tÏF(t),  а  после

2.  Доказывается,  что  это  именно  так.

Поскольку,  по  мнению  автора,  доказать  для  произвольного  множества  утверждение  «мощность  степени  множества  больше  мощности  самого  множества»  не  удается,  рассмотрим  степень  множества  применительно  к  конкретному  множеству  —  к  действительным  числам.

Введем  обозначения:

R  —  множество  действительных  чисел,

P(R)  —  степень  множества  R,

Ri  —  подмножество  действительных  чисел,

ri  —  действительное  число,

R  →  P(R)  —  функция,  выполняющая  отображение.

Будем  считать  R  обладающим  естественной  топологией.

1.  Предположим,  что  R  >  P(R).  Тогда  $ri,  для  которого  на  множестве  P(R)  не  хватило  Ri.  Поскольку  R  Ì  P(R),  предположение  несостоятельно.

2.  Предположим,  что  R  <  P(R).  Тогда  $Ri,  для  которого  на  множестве  R  не  хватило  ri.  Возьмем  ближайшие  к  ri  числа  rk  и  rj  такие,  чтобы

(  rk  →  Rk  )  Ù  (  rj  →  Rj  ),  и  (  rk  <  ri  <  rj  )  Ù  (  rk  ≠ rj  ).

Поскольку  интервал  [  rk,  rj  ]  ~  R,  ri  не  может  не  существовать,  так  как  располагает  всем  множеством  R.  Более  того,  само  выражение  «на  множестве  R  не  хватило  ri»  предполагает  на  месте  ri  наличие  в  R  щели,  что  невозможно  в  силу  непрерывности  R.  Предположение  несостоятельно.  Поскольку  оба  предположения  несостоятельны,  остается  признать

R  ~  P(R).

Следует  согласиться,  что  как  не  существует  множества  всех  множеств,  так  не  существует  и  множества,  мощность  которого  превышала  бы  мощность  множества  действительных  чисел.

3.  О  теории  множеств  вообще.

Отыщи  всему  начало,

и  ты  многое  поймешь

К.  Прутков.

Эвклид,  строя  свою  геометрию,  не  был  знаком  с  таким  понятием,  как  метрическое  пространство,  однако  свойства  его  успешно  использовал.  В  частности,  метрику  —рассчитывал  расстояние  между  двумя  точками,  меру  —  вычислял  площади  и  объемы,  гомотетию  —  рассматривал  подобные  фигуры,  систему  координат  —  позиционировал  одни  фигуры  относительно  других.  Имел  он  понятие  и  о  точке.  Иначе  и  быть  не  могло  —  в  противном  случае  геометрии  не  построить.  Докопался  Эвклид  даже  до  иррациональности:  установил,  что  одним  масштабом,  как  его  ни  уменьшай,  весь  мир  Божий  в  целых  числах  не  измеришь.

Подчеркнем:  понятие  точки  было  вспомогательным  —  начало  и  конец.  Основным  понятием  было  пространство.

С  введением  Декартом  координат  каждой  точке  пространства  стало  возможно  присвоить  числа.  Статус  точки  серьезно  повысился.  Повысился,  правда,  лишь  в  глазах  математиков,  пространство  же  осталось  прежним. 

Когда  в  IXX—XX  веках  понятие  метрического  пространства  было  осознано  и  сформулировано  в  явном  виде,  к  услугам  математиков  были  уже  и  матанализ,  и  абстрактная  алгебра,  и  многие  другие  ветви  математики.  Интерес  переместился  с  геометрии  на  число,  с  пространства  на  точку,  произошла,  как  принято  говорить,  арифметизация.  Вполне  закономерно  поэтому,  что  пространство  стали  рассматривать  как  совокупность  точек  или  чисел.  Это  оказалось  удобным,  и  так  стало  оформляться  понятие  множества.  Одновременно  при  детальном  анализе  метрического  пространства  обнаружилось,  что  его  свойства  имеют  разный  уровень  устойчивости  по  отношению  к  преобразованиям  координат.  Выяснилось,  что  если  отказаться  от  координат,  метрики  и  меры,  то  останутся  еще  свойства,  представляющие  интерес.  Так  стала  формироваться  топология,  четкую  аксиоматизацию  которой  дал  Хаусдорф,  исходя  уже  не  из  метрического  пространства,  а  непосредственно  из  аксиом,  оперирующих  с  заданными  на  множествах  структурами.  Но  часть  свойств  метрического  пространства,  естественно,  осталась.  Осталось  наиважнейшее  свойство  метрического  пространства  —  возможность  поделить  его  на  части,  при  этом  таким  образом,  чтобы  части  эти  можно  было  между  собой  соотнести  на  предмет  принадлежности  друг  другу,  пересечения  и  т.  д.,  соответственно  и  об  отношении  точки,  как  предельного  пространства,  к  этим  частям.  Именно  это  свойство  и  закрепил  Хаусдорф  своими  аксиомами,  и  именно  это  свойство  метрического  пространства,  сохраненное  в  пространстве  топологическом,  и  дало  возможность  построить  содержательную  область  —  топологию.  Естественно  возник  вопрос:  если  от  пространства  метрического  удалось  с  успехом  перейти  к  пространству  топологическому,  то  нельзя  ли  еще  повысить  уровень  абстракции  и  рассматривать  множества  уже  непосредственно?  Так  возникла  идея  построения  теории  множеств.  Идея  эта  заманчива,  так  как  все  области  математики,  с  подачи  Декарта,  стали  оперировать,  в  конечном  итоге,  как  казалось,  с  множествами.

Однако  если  мы  знаем  о  множестве  только  то,  что  это,  например,  континуум,  то  мы  знаем  лишь,  что  как  его  на  части  ни  дели,  каждая  часть  будет  таким  же  континуумом,  и  никакой  содержательной  теории  не  построить.

Должна  быть  задана  структура.  И  структура  эта  должна  быть  беднее,  чем  топология,  но  достаточно  богата,  чтобы  построить  содержательную  теорию.

Перейти  от  пространства  топологического  к  пространству  теории  множеств,  казалось  бы  логичным,  можно  путем  устранения  одной  из  двух  аксиом  Хаусдорфа.  Но  если  устранить  объединение  множеств  (первая  аксиома),  или  их  конечное  пересечение  (вторая  аксиома),  то  содержательной  теории  все  равно  не  построить.  Так  называемая  наивная  теория  множеств  —  это  попытка  работать  с  множествами  без  их  четкой  структуризации,  что  привело  к  известным  парадоксам.  Поэтому  и  была  проведена  большая  работа  в  области  аксиоматизации.  Фактически  решался  вопрос,  каким  быть  пространству  теории  множеств.

И  структура  иметь  место  должна.  И  была  предложена,  с  целью  задания  структуры,  аксиома  суммы  [1,  с.  60]: 

«Для  каждого  семейства  множеств  А  существует  множество  S,  состоящее  из  тех  и  только  тех  элементов,  которые  принадлежат  некоторому  множеству  Х,  принадлежащему  А:

х  Π S  º= "  [(х  Π Х)  Ù  (Х  Π А)]».

Эту  аксиому  можно  переформулировать  и  так:

«Множество  S  можно  разбить  на  подмножества  Х,  составляющие  семейство  А,  так  чтобы  объединение  всех  Х  равнялось  S».

Но  если  объединение  всех  Х  равняется  S  и  каждое  Х  принадлежит  S,  то  любое  объединение  Х  принадлежит  S.

А  это  и  есть  первая  аксиома  Хаусдорфа  для  топологического  пространства.

Вторая  аксиома  Хаусдорфа  явно  не  формулируется,  но  она  непосредственно  вытекает  из  аксиомы  суммы:  если  каждое  Х  принадлежит  S,  то  и  любое  конечное  пересечение  множеств  Х  принадлежит  S.  Правда,  остается  открытым  вопрос,  принадлежит  ли  конечное  пересечение  множеств  Х  семейству  А,  но  и  этот  вопрос  снимается  в  аксиоме  суммы  словами  «Для  каждого  семейства  множеств  А…».  Действительно,  в  теории  множеств  операцией  пересечения  пользуются  как  само  собой  разумеющимся  оператором. 

Получается  в  итоге,  что,  если  вынести  за  скобки  аксиому  Цермело  о  степени  множеств,  то  пространство  теории  множеств  совпадает  с  пространством  топологии.  В  частности:

1.  Что  такое  есть  вполне  упорядоченное  множество,  если  это  не  топологическое  пространство?

2.  Алгебра  теории  множеств  [1].  Какой  смысл  имеют  декларируемые  законы  коммутативности,  дистрибутивности  и  т.  п.  для  множеств  А,  В  и  т.  д.,  если  нам  известно  про  них,  что  все  они,  например,  континуумы  и  никаких  структур  не  задано?  Ведь  тогда  следует  написать

А  È  В  =  В  È  А  =  А  Ç  В  =  В  Ç  А  =  А  =  В.

Разумеется,  если  их  пересечение  не  пусто.  Эти  законы  начинают  действовать  лишь  в  том  случае,  если  на  множествах  этих  задана,  например,  мера,  как-то  эти  множества  очерчивающая.

Еще  о  степени  множеств  —  о  кардинальных  числах.  «Диагональная»  теорема,  как  показано  в  п.  2,  является  апорией  и  поэтому  доказательной  силой  не  обладает.  Это  и  естественно:  если  вся  Вселенная  представляет  собой  континуум,  в  котором  не  может  быть  щелей,  то  некуда  поместить  и  множества,  мощность  которых  превышает  мощность  континуума.  Для  него  просто  нет  места  в  реальном  мире.  То  есть,  рассуждая  о  кардинальных  числах  более  континуума,  связь  с  реальным  миром  мы  окончательно  рвем. 

Каждый  отрезок,  плоская  либо  пространственная  фигура  суть,  и  базу  для  такого  толкования  заложил  Декарт,  континуум  точек.  Может  показаться  поэтому,  что  Эвклид  смело  и  успешно  оперировал  с  континуумами.  Когда  об  этом  узнали,  это  не  помешало  производить  различные  операции  как  в  метрическом,  так  и  в  топологическом  пространствах.  По  этому  же  пути,  за  неимением  другого,  идет  и  теория  множеств  —  оперирует  не  с  множествами,  а  с  заданными  на  них  структурами.

Но  континуум,  если  на  нем  нет  структур,  это  и  есть  актуальная  бесконечность.  Поэтому,  на  наш  взгляд,  тысячелетний  спор  между  сторонниками  и  противниками  актуальной  бесконечности  можно  и  завершить,  придя  к  компромиссу:  существует  и  потенциальная,  и  актуальная  бесконечности.  Если  потенциальная  бесконечность  понимается  как  предел,  как  процесс,  и  этим  успешно  пользуются  в  матанализе,  то  актуальная  бесконечность  суть  завершенная  данность,  которая  превращается  в  один  из  видов  пространств,  как  только  на  ней  задаются  соответствующие,  разумеется,  разумные  структуры. 

Если  же  структур  не  задано,  то  вопрос  этот  следует  оставить  философам  и  фантастам.

Есть,  однако,  в  теории  множеств  раздел,  выпадающий  из  общей  концепции.  Раздел  этот  игнорирует  по  существу  даже  аксиому  суммы,  обязывающую  на  множестве  структуру  всегда  иметь.  Это  раздел  о  числах  —  натуральных,  рациональных,  иррациональных  и  действительных.

Сначала  решили,  что  разреженное  множество  натуральных  чисел  равномощно  плотному  множеству  чисел  рациональных.

Затем,  поскольку  мощность  континуума  не  изменится,  если  из  него  вычесть  множество  счетное,  установили,  что  мощность  непрерывного  множества  действительных  чисел  равна  мощности  всего  лишь  плотного  множества  чисел  трансцендентных.

Равномощность  —  это  всегда  биекция.  Пусть  те,  кто  утверждает,  что  непрерывное  множество  равномощно  плотному,  эту  биекцию  предъявят.

Понятие  соответствия,  взаимно-однозначного  соответствия,  отображения,  функции  и  т.  п.  является  ключевым  во  всех  науках,  и  математика  тут  не  исключение.  Оно  широко  используется  в  алгебре,  топологии,  различных  геометриях  и  т.  д.  И  установление  биекции  между  множествами  фактически  ничем  не  отличается  от  таковой  в  других  областях  математики.

Но  есть  и  коренное  отличие,  восходящее  еще  к  Кантору,  современной  теории  множеств  от  других  ветвей  математики.  И  отличие  это  не  в  том,  что  теория  множеств  рассматривает  бесконечности.  Бесконечностями  (континуумами)  оперировал  еще  Эвклид,  только  не  знал  об  этом.  Отличие  это  заключается  в  том,  что  другие  ветви  математики  строго  придерживаются  своего  пространства,  имеется  в  виду  заданных  на  множествах  структур,  в  теории  же  множеств  совершенно  безосновательно  считается  почему-то  допустимым  обращаться  со  своими  структурами  вольно.  Следствие  этого  вольного  обращения  со  своими  структурами  —  «диагональные»  теоремы.  А  ведь  без  структур  теряет  смысл  само  понятие  биекции  уже  потому,  что  нет  возможности  отличить  один  элемент  от  другого.  Например,  при  доказательстве  равномощности  отрезков  различной  длины  используется  частный  случай  аффинного  преобразования  —  гомотетия.  Фактически  речь  идет  не  о  множествах,  а  о  заданных  на  них  структурах  —  длинах,  и  доказывается  биекция  длин,  а  не  множеств.

Видимо,  некорректно  говорить  о  равномощности  множеств.  Правильнее  говорить  об  эквивалентности  пространств.  В  геометрии,  кстати,  есть  хороший  термин  —  конгруэнция.

Знаменитая  «диагональная»  теорема  Кантора  (диагональ  в  математике,  по-видимому,  имеет  сакральное  значение:  первыми  о  нее  «ушиблись»  греки  —  наткнулись  на  «неправильные»  числа)  о  несчетности  множества  действительных  чисел  на  самом  деле  при  ближайшем  рассмотрении  устанавливает,  по  мнению  автора,  не  несчетность,  а  плотность.  Действительно,  почему  бы  в  этой  теореме  не  расположить  числа  в  порядке  возрастания  или  убывания?  Тогда  числа,  не  входящие  в  перечень,  можно  получить  простым  средним  арифметическим  соседних  чисел.  Кантор  же  отношение  порядка  на  числах  не  предусматривает,  фактически  игнорируя  всякую  структуру,  он  расположил  их  в  перечне  случайным  образом.  Почему?  Да  потому,  что  между  любыми  двумя  числами  умещается  чисел  бесконечно  много,  и  поэтому  сам  вопрос  о  каком-либо  перечне  и  пересчете  несостоятелен.  Это  относится  как  к  действительным,  так  и  к  рациональным  и  к  иррациональным  числам.  Чтобы  замаскировать  этот  факт,  и  расположил  Кантор  числа  случайным  образом.

Кроме  того,  если  в  этой  теореме  слова  «действительные  числа»  просто  заменить  словами  «плотное  множество»,  то  теорема  по  форме  останется  справедливой.  Следовательно,  эта  теорема  доказывает  по  существу  эквивалентность  понятий  «плотное»  и  «несчетное».

В  заключение  отметим,  что,  на  наш  взгляд,  теорема  о  равномощности  прямой  и  плоскости  не  только  и  не  столько  эту  самую  равномощность  доказывает,  сколько  кладет  предел  применимости  самого  понятия  равномощности:  этот  предел  есть  континуум  (непрерывные  множества).  Действительно,  на  этом  уровне  абстракции  все  непрерывные  объекты  суть  континуумы  и  как  континуумы  неразличимы  между  собой.  Чтобы  как-то  оперировать  с  ними,  необходимо  уже  самым  явным  образом  заявить  о  структурах  —  топологиях,  метриках  или  иных  структурах.

Мы,  дети  пространства,  возвращаемся  обратно  в  свое  пространство,  только  вооруженные  различным  математическим  инструментарием.

Список  литературы:

1.Куратовский  К.,  Мостовский  А.  Теория  множеств.  М.,  Мир,  1970.  —  416  с.

2.Колмогоров  А.Н.,  Драгалин  А.Г.  Математическая  логика.  М.,  1984.  —  120  с.

3.Ершов  Ю.Л.,  Палютин  Е.А.  Математическая  логика.  М.,  Наука,  1987.  —  336  с.