СОЛИТОН-АНТИСОЛИТОННАЯ  ПАРА  КАК  РЕШЕНИЕ  УРАВНЕНИЯ  СИНУС-ГОРДОН

Хусаинова  Галина  Владимировна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент 
Уральской  государственной

архитектурно-художественной  академии, 
РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  aldisa@mail.ru

Хусаинов  Дамир  Зиннурович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент 
Уральской  государственной

архитектурно-художественной  академии, 
РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  damiran@mail.ru

Сагарадзе  Игорь  Викторович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент 
Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии, 
РФ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  

SOLITON-ANTISOLITON  PAIR  AS  SOLUTION  SINE-GORDON  EQUATION

Galina  Khusainova

candidate  of  Science,  associate  professor 
of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy, 
Russia,  Ekaterinburg

Damir  Khusainov

candidate  of  Science,  associate  professor 
of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy, 
Russia,  Ekaterinburg

Igor  Sagaradze

candidate  of  Science,  associate  professor 
of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy, 
Russia,  Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Получено  точное  вырожденное  солитонное  решение  для  уравнения  sin-Гордон  как  предельный  (резонансный)  случай  двухсолитоного  решения.  Показано,  что  это  решение  описывает  связанное  состояние  двух  солитонов  типа  перегибов  (солитон-антисолитонную  пару).

ABSTRACT

The  exact  degenerate  soliton  solution  of  sine-Gordon  equation  is  obtained  as  limit  (resonance)  case  of  two-soliton  solution.  It  has  shown  that  the  solution  is  described  the  bound  state  of  two  solitons  types  of  kinks  (soliton-antisoliton  pair).

Ключевые  слова:  солитон;  перегиб;  полиномиально-экспоненциальное  решение.

Keywords:   soliton;  kink;  rational-exponential  solution.

Рассмотрим  одно  из  классических  уравнений  математической  физики  —  уравнение  sin-Гордон  (CГ):

    ,  (1)

(символ    обозначает  частную  производную  относительно  x).

Уравнение  (1)  встречается  во  многих  областях  физики:  в  нелинейной  оптике,  в  физике  магнетизма,  в  теории  сверхпроводимости,  как  модель  для  описания  дислокаций  в  кристаллах,  в  теории  поля  [3,  с.  93].  Кроме  того,  уравнение  СГ  имеет  многосолитонные  решения  [6,  с.  1463],  представляемые  в  виде  стандартных  конечных  рядов  экспонент,  где  каждая  экспонента  зависит  от  произвольной  фазовой  постоянной.  Начиная  с  работы  Хироты  [5,  с.  1193]  и  работ  многих  других  авторов  [1,  с.  108],  эти  фазовые  постоянные  считались  вещественными  постоянными,  не  имели  особенностей  и  не  зависели  от  физических  параметров  солитона,  таких  как  амплитуда  и  скорость.

Однако,  если  считать  фазовые  постоянные  определенными  сингулярными  функциями  параметров  солитона,  то  возникает  новый  класс  решений,  так  называемые  полиномиально-экспоненциальные  (ПЭ)  решения  [4,  с.  3]  .

В  статье  [7,  c.  120]  было  указано  на  существование  такого  типа  солитонов,  как  возможных  многополюсных  решений  в  методе  обратной  задачи  рассеяния.  Данные  решения  описывают  вырожденные  солитоны,  которые  образуются  в  результате  резонансного  взаимодействия  пары  солитонов,  характеризующиеся  одинаковыми  параметрами  (например,  амплитудой). 

В  данной  работе  мы  построим  новое  точное  решение  уравнения  СГ,  выбрав  фазовые  постоянные  в  виде  определенных  сингулярных  функций  параметров  солитона  -  вырожденное  солитонное  решение.

Рассмотрим  двухсолитонное  решение  [6,  с.  1462]  уравнения  (1):

    ,  (2)

    ,  (3)

где    ,  (4)

  и    —  произвольные  ограниченные  вещественные  постоянные  . 

Заметим,  что  для  вещественных  постоянных      в  пределе    и    выражения  (2),  (3)  сводятся  к  односолитонному  решению.  Нетривиальное  решение  нового  типа  можно  получить  в  пределе    и  ,  если  рассматривать  фазовые  постоянные  неограниченными  и  имеющими  особенности. 

Преобразуем  выражение  (2):

    ,  (5)

где  ,    —  начальная  фаза,  ,  (i=1,2).

Предположим,  что  фазовые  постоянные  являются  сингулярными  функциями  параметров  солитона  :

    ,  (6)

тогда  решение  (5)  можно  записать  в  виде

    .  (7)

С  учётом  формулы  (4)  выражение  (6)  можно  преобразовать  к  следующему  виду:

    ,  (8)

Кроме  того,  можно  получить  дополнительное  соотношение

     ,  (9)

поскольку  .

Полученные  выражения  (8),(9)  позволяют  записать  решение  (7)  в  виде: 

     .  (10)

В  пределе  ,  из  формулы  (10)  имеем:

    .  (11) 

При  получении  формулы  (11)  мы  учли,  что    при  .  Отметим,  что  предельный  переход    соответствует  вырожденному  случаю,  так  как  двум  солитонам  соответствуют  два  равных  параметра.  Нетрудно  проверить,  что  данная  функция  удовлетворяет  уравнению  (1). 

В  результате  нами  получено  простейшее  вырожденное  солитонное  решение  уравнения  СГ  (  ПЭ  решение).

Уравнение  (1)  подробно  исследовалось  для  магнитных  систем.  Для  магнетика  с  анизотропной  «легкой»  плоскостью  уравнение  Ландау-Лифшица  сводится  к  уравнению  СГ  [2,  с.  98].  Простейшее  односолитонное  решение  уравнения  (1)  [2,  с.  98]:

  ,    (12)

описывает  перегибы  (или  доменные  границы  ),  соединяющие  области  с  и    (см.  Рис.  1).  Здесь  -угол,  отсчитывемый  от  легчайшей  оси  в  «легкой»  плоскости.  Знаки    определяют  полярность  доменной  границы  (плюс  соответствует  солитону,  а  минус  —  антисолитону). 

Вырожденное  солитонное  решение  (11)  описывает  связанное  состояние  двух  таких  границ.  Из  Рисунка  2.  видно,  что  в  начальный  момент  времени  (при  t=0)  взаимодействие  носит  сложный  характер.  Анализ  дальнейшей  эволюции  данной  пары  показывает,  что  при  больших  значениях  x,  t  доменные  границы  расходятся  в  противоположные  стороны.

Рисунок  1.

Односолитонное  решение  ,  (  ,).

Рисунок  2.

Вырожденное  солитонное  решение  (11),  (  ,).

Список  литературы:

1.Абловиц  М.,  Сигур  Х.  Солитоны  и  метод  обратной  задачи.  М.,  Мир,  1987  —  478  с.

2.Косевич  А.М.,  Иванов  Б.А.,  Ковалев  А.С.  Нелинейные  волны  намагниченности.  Динамические  и  топологические  солитоны.  Киев:  Наук.  Думка,  1983  —  192  с.

3.Ньюэлл  А.  Солитоны  в  математике  и  физике.  М.,  Мир,  1989  —  326  с.

4.Bezmaternih  G.V.  (Khusainova  G.V.),  Borisov  A.B.  Rational  —  Exponential  Solutions  of  Nonlinear  Equations//  Lett.Math.Physics  —  1989  —  Vol.  18  —  P.  1—8.

5.Hirota  R.  Exact  solution  of  the  Korteweg  —  de  Vries  equation  for  multiple  collisions  of  solitons//  Phys.  Rev.  Lett.  —  1971  —  Vol.  27  —  P.  1192—1194.

6.Hirota  R.  Exact  solution  of  the  Sin-Gordon  equation  for  multiple  collisions  of  solitons//J.Phys.Soc.Jap.  —  1972  —  Vol.  33,  —  №  5  —  P.  1459—1464. 

7.Poppe  C.  Construction  of  solutions  of  the  sine  –  Gordon  equation  by  means  of  Fredholm  determinants//Physica  D  —  1983  —  Vol.  9  —  P.  103—139.