УПРАВЛЕНИЕ  ВИБРАТОРОМ  ДЛЯ  ВНЕДРЕНИЯ  В  ГРУНТ  СВАИ

Ле  Тхи  Тхань

аспирант,  кафедра  математического  моделирования,

Тульский  государственный  университет,

РФ,  г.  Тула

E-mail: 

CONTROL  OF  VIBRATOR  FOR  INTRODUCTION  IN  THE  SOIL  POLING

Le  Thi  Thanh

PhD  student,  Department  of  Mathematical  Modeling,

Tula  State  University, 
Russia,  Tula

АННОТАЦИЯ

Задачу  об  управлении  можно  решить  различными  способами.  В  настоящей  работе  функции  состояния  и  функция  управления  определяются  в  виде  многочлена  по  степеням  параметра    с  дополнительным  слагаемым.

ABSTRACT

The  problem  of  control  can  be  solved  by  various  methods.  In  this  paper,  state  function  and  control  function  are  defined  in  the  polynomial  form  along  degree  of  parameter    with  additional  summand.

Ключевые  слова:  управление;  функция  состояния;  функция  управления;  многочлен.

Keywords:  control;  state  function;  control  function;  polynome.

Рассмотрим  задачу  об  управлении  вибратором  для  внедрения  в  грунт  сваи,  на  которую  действует  сила,  вырабатываемая  быстрым  управляемым  вибратором  [2].  Динамика  быстрого  управляемого  вибратора  имеет  вид:

,                                     (1)

,                          (2)

где:    –  управление, 

  –  малый  параметр, 

  –  коэффициент  трения,  причем  .  Текущие  расходы

энергии  вибратора    описываются  уравнением

.                              (3)

Динамика  материальной  точки  имеет  вид

,                                                 (4)

,                                     (5)

где:    –  вертикальная  координата  точки, 

  –  гармоническая  вынуждающая  сила  с  большой  частотой,  создаваемая  вибратором, 

  –  ускорение  свободного  падения, 

  –  сила  трения,  пропорциональная    –  скорости  точки, 

  –  коэффициент  пропорциональности.

Заданы  следующие  условия

,        (6)

.                   (7)

Нужно  проверить  условие  управляемости  и  найти  управляющую  функцию    и  функции  состояния  задачи  .

Сначала  мы  рассмотрим  систему:

.         (8)

В  матричной  форме  эта  система  запишется  так:

,

где 

Для  неё  сначала  мы  проверим  условие  управляемости,  т.  е.  выполнение  условия  критерия  Калмана.

Построим  матрицу  .  Получим:

Так  как  ,  то  ,  т.  е.  условие  управляемости  выполнено.  Теперь  мы  решаем  систему  уравнений  (8)  с  условиями  (6),  (7).

Пусть    имеет  вид: 

.  (9)

Из  уравнения    следует:

.  (10)

Из  уравнения    получаем:

Из  условием  (7)  и  уравнений  (9),  (10)  получаем  систему  уравнений:

с  неизвестными  .  Эта  система,  содержащая  3  уравнения  с  6  неизвестными,  всегда  имеет  решение.  Мы  можем  выразить    через    и  получаем:

Подставив  величины    в  уравнения  (9),  (10),  мы  получаем  выражение  функций  .  И,  конечно,  мы  можем  найти  .

Поставив  величины    в  уравнение  (5),  получаем  функцию  ,  которая  имеет  вид: 

Конечно,  выражение    удовлетворяет  условиям:    и  .

Из  уравнения  (1)  мы  получаем  выражение  функции  .

Из  условий    и    следует  система  уравнений:

где    неизвестны.

Эта  система,  содержащая  2  уравнения  с  3  неизвестными,  всегда  имеет  решение.

Мы  можем  выразить  a,  b  через  c:

Подставим  величины  a,  b  в  выражения  .  Тогда  функции    имеют  вид: 

И,  конечно,  мы  можем  найти  функцию  ,  которая  имеет  вид:

С  найденными  функциями  ,    и  уравнением  (2)  определяется  функция  ,  имеющая  вид  .  После  этого  из  уравнения  (3)  следует:  .  Таким  образом,  все  требуемые  функции  найдены.

Список  литературы:

1. Андреев  Ю.Н.  Управление  конечномерными  линейными  объектами.  –  М.:  Наука,  1976.  –  424  с. 
2. Колпакова  Е.А.,  Субботина  Н.Н.  Об  определении  асимптотики  одного  класса  сингулярно  возмущенных  задач  вибрационной  механики  //  Автоматика  и  Телемеханика.  –  2007.  –  №  11.  –  C.  150–163.
3. Понтрягин  Л.С.  Обыкновенные  дифференциальные  уравнения.  –  М.:  Наука,  1982.  –  329  с.
4. Уонэм  У.М.  Линейные  многомерные  системы  управления.  –  М.:  Наука,  1980.  –  376  с.