МОДЕЛЬ  ТЕЧЕНИЯ  ЖИДКОСТИ  В  ТРУБЕ

Амосов  Евгений  Александрович

канд.  тех.  наук,  доцент  Самарского  гос.  технического  университета,  РФ,  г.  Самара

E -mail:  amosov-ea@rambler.ru

В  настоящей  работе  представлена  математическая  модель,  описывающая  взаимосвязь  основных  параметров  течения  жидкости  в  трубе  и  определяющая  переход  ламинарного  течения  в  турбулентное. 

Пусть  жидкость  течёт  в  трубе  радиуса  r  с  некоторой  характерной  скоростью  v  и  течение  жидкости  ламинарное.  Примем,  что  течение  жидкости  ламинарное,  если  выполняется  следующее  условие 

  ,  (1)

где  r₀  и  v₀  –  некоторые  критические  параметры  течения,  определяемые  из  опытов. 

Иначе  говоря,  течение  ламинарное,  если  параметры  течения  r  и  v  лежат  в  пределах  области,  изображенной  на  рисунке  1. 

Рисунок  1.  Область  ламинарного  течения  жидкости

Если  же  параметры  выходят  из  указанной  области,  то  течение  жидкости,  согласно  данной  модели,  становится  турбулентным.

Сравним  предложенное  нами  условие  изменение  течения  жидкости  с  литературными  данными.  Как  известно,  переход  жидкости  из  ламинарного  в  турбулентное  состояние  определяется  числом  Рейнольдса,  которое  может  быть  записано  как 

  ,  (2)

где:  r  —  радиус  трубы, 

v   —  скорость  течения, 

ν  —  вязкость  жидкости.  Если  формально  принять  ν  =1,  то  можно,  очевидно,  записать, 

  .  (3)

Если  число  Re,  при  котором  изменяется  течение  жидкости,  постоянная  величина,  то  можно  записать

  .  (4)

График  зависимости  (4),  как  известно,  будет  гиперболой.  Следовательно,  переход  течения  жидкости  в  другой  вид  определяется  критической  гиперболой,  связанной  с  числом  Рейнольдса.

Сравним  полученную  гиперболу  с  линией,  ограничивающей  область  ламинарного  течения  на  рисунке  1. 

Рисунок  2.  Сравнение  условий  изменения  течения  жидкости  согласно  различным  моделям

Согласно  нашей  модели,  течение  ламинарное,  если  параметры  r  и  v  лежат  в  пределах  некоторой  области,  согласно  литературным  данным,  течение  ламинарное,  если  параметры  r  и  v  лежат  ниже  некоторой  критической  гиперболы,  определяемой  числом  Рейнольдса. 

Сравнение  указанных  моделей  проведено  на  рисунке  2.

Как  видно  из  рисунка  2,  в  области  средних  значений  отношений  r/r₀  и  v/v₀  графики,  определяющие  переход  ламинарного  течения  в  турбулентное,  практически  совпадают.  Это  означает,  что  в  этой  области  предлагаемая  нами  модель  и  литературные  данные  согласуются  друг  с  другом. 

Предложенная  модель  является  аналогом  модели  устойчивости  твердого  тела,  разработанной  в  [3]  (рисунок  3).

Рисунок  3.  Область  устойчивости  твердого  тела

Согласно  этой  модели,  твердое  тело  становится  неустойчивым,  если  температура  Т  превышает  температуру  плавления  Т_пл  или  напряжение  σ  превышает  предел  прочности  σ_пр  или  твёрдое  тело  становится  неустойчивым  под  действием  и  температуры,  и  механических  усилий. 

Если  под  устойчивостью  понимать  упорядоченное  расположение  атомов  или  других  структурных  элементов  конденсированной  системы  в  течение  длительного  времени,  то  с  подобных  позиций  ламинарное  течение  с  упорядоченными  слоями  напоминает  твёрдое  тело  с  упорядоченными  атомами,  лежащими  на  кристаллографических  плоскостях.  Поэтому  неудивительно,  что  предлагаемая  нами  модель  устойчивого  и  неустойчивого  течения  жидкости  согласуется  с  моделью  устойчивого  и  неустойчивого  расположения  атомов  в  твёрдом  теле. 

Ламинарное  течение  слоёв  жидкости  можно  также  сравнить  с  согласованным  движением  электронов  в  сверхпроводнике,  так  как  можно  считать,  что  куперовская  пара  в  сверхпроводнике  —  это  связанные  электроны,  то  есть,  электроны  в  устойчивом  состоянии.  Как  известно  из  литературы  [2],  сверхпроводящее  состояние  металла  или  сплава  существует  в  некоторой  ограниченной  области  (рисунок  4). 

Рисунок  4.  Область  сверхпроводимости  материала

Эта  область  ограничена  критическими  значениями  напряженности  магнитного  поля  Н_кр  и  абсолютной  температуры  Т_кр.  И  хотя,  как  видно  из  сравнения  рисунков  1,  3,  4,  формы  границ  областей  отличаются,  во  всех  трёх  случаях  существует  замкнутая  область  в  относительных  координатах.

Таким  образом,  предлагаемая  нами  модель  не  противоречит  литературным  данным  и  поэтому  вполне  может  быть  использована  для  теоретического  описания  течения  жидкости  в  трубе. 

Список  литературы:

1.Лойцанский  Л.Г.  Механика  жидкости  и  газа.  М.:  Наука,  1970.  —  904  с.

2.Павлов  П.В.,  Хохлов  А.Ф.  Физика  твердого  тела.  М.:  Высш.  школа,  2000.  —  494  с.

3.Петров  В.А.,  Башкарев  А.Я.,  Веттегрень  В.И.  Физические  основы  прогнозирования  долговечности  конструкционных  материалов.  СПб:  Политехника,  1993.  —  475  с.